北師大版數(shù)學(xué)九年級上冊 菱形的判定同步練習(xí)

菱形的判定

一、選擇題

1.下列條件能判斷四邊形48co是菱形的條件是（）

A.對角線互相平分B.對角線互相垂直

C.鄰邊相等D.對角線互相垂直且平分

2.若平行四邊形對角線的平方和等于它一邊平方的四倍，則該平行四邊形一定

為（）

A.矩形.B.菱形.C.矩形和菱形.D.正方形.

3.滿足下列（）的是菱形.

A.兩對角線相等

B.兩對角線垂直

C.兩條對?角線垂直且互相平分

D.兩條對角線相等且互相垂直

4.順次連結(jié)四邊形各邊中點(diǎn)得到的四邊形是一個(gè)菱形，則原來的四邊形必是

（）

A.等腰梯形B.矩形C.對角線相等D.菱形

5.將一張矩形紙對折再對折（如圖），然后沿著圖中的虛線剪下，得到①、②兩

部分，將①展開后得到的平面圖形是（）

A.矩形B.三角形C.正方形D.菱形

6.已知四邊形的兩條對角線相等，那么順次連結(jié)四邊形各邊中點(diǎn)，得到的四邊

形是（）

A.梯形B.矩形C.菱形D.正方形

7.用兩根等寬的木條交叉重疊在一起，則重疊部分的圖形一定是（）

A.矩形B.菱形C.正方形D.無法確定

8.已知四邊形4BCO是平行四邊形，下列結(jié)論中不一定正確的是（）

A.AB=CD

B.AC=BD

C.ACJ.8O時(shí)，它是菱形

D.當(dāng)乙48C=90時(shí)，它是矩形

二、填空題

9.依次連結(jié)等腰梯形各邊中點(diǎn)所成的四邊形是.

10.在四邊形中，對角線AC、BD交于點(diǎn)O,從(1)AB=CD；(2)

AB//CD;(3)OA=OC;(4)OB=OD；(5)AC-LBD；(6)AC平分N8AD

這六個(gè)條件中，選取三個(gè)推出四邊形ABCD是菱形.如(1)(2)(5)=>ABCD

是菱形，再寫出符合要求的兩個(gè)：nABCO是菱形；

=>A8c。是菱形.

11.延長等腰△ABC頂角平分線4;到￡使。E=AD,連結(jié)BE,CE,則四邊形

ABEC是_________形.

12.對角線的四邊形是菱形.

13.將矩形A8CD繞對角線交點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一角度后，使A與8重合，得

矩形BFDE,BF交AD于M,DE交BC于N,則四邊形8MON是______(填特

殊四邊形的名稱).

三、證明題

14.已知I,如圖，從菱形A8CD對角線的交點(diǎn)。分別向各邊引垂線，垂線分別是

E,F,G,H.

求證：四邊形及GH是矩形.

15.已知四邊形A3CO的四邊分別為a,b,c,d,n.滿足

aA+b4+c4+d4=4abcd,求證：四邊形A3CZ）是菱形.

16.已知口48CD是對角線AC、5力相交于0,如圖，且4。=而AC=6,

80=4,你能說明四邊形A8CQ是菱形嗎？

17.如圖所示，RtAABC中，ZACB=90,NABC的角平分線3。交AC于點(diǎn)Q,

CH上AB交BD于F,DE上AB于E,四邊形CDM是菱形嗎？

18.如圖，在五邊形ABCDE中，AB=BC=CD=DE=EA,ZABC=2NDBE.請

說明：四邊形ACDE是菱形.

19.如圖，在△ABC中，AO是N84。的平分線，所垂直平分A。交48于￡,

交AC于尸，求證：四邊形AEDF是菱形.

BD

23.如圖所示，在四邊形A8co中，對邊AB=CQ,M,N,P,Q分別是A。,

BC,AC,8。的中點(diǎn)，求證：MNA.PQ.

24.如圖，四邊形A8CZ）中，點(diǎn)E在上，且△ADE與△BCE都是正三角形,

點(diǎn)尸，Q,M,N分別為邊AB,BC,CD,的中點(diǎn).求證：四邊形PQMN

為菱形.

25.如圖，四邊形A8CD中，ZXBC=ZADC=90,M為AC中點(diǎn)，且

與MD的平行線8N交于N,求證：四邊形8NDV;為菱形.

A

D

M

BN

C

26.如圖RtZ\48C中，ZBAC=90,4O_L8C于。，CE平分NAC8交AO于G,

交AB于E,EFLBC于尸,求證：四邊形AEFG為菱形.

27.DABCD的對角線的垂直平分線與邊A￡>,8C分別交于￡F,求證：四邊

形AFTE是菱形.

28.已知：如圖，過口/WCD的對角線交點(diǎn)。作互相垂直的兩條直線￡GFH與

平行四邊形A8CO各邊分別相交于點(diǎn)EF,GH.

求證：四邊形EPG”是菱形.

29.如圖，在口48CD中，。是對角線AC的中點(diǎn)，過點(diǎn)。作AC的垂線與邊AD,

BC分別交于E,F.

求證：四邊形是菱形.

四、應(yīng)用題

30.如圖，在四邊形A8CO中，￡、F、G、H分別是A8、BC、CD、0A的中點(diǎn),

請?zhí)砑右粋€(gè)條件，使四邊形E/G”為菱形，并說明理由.

參考答案

一、選擇題

1.D

2.B

3.C

4.C

5.D

6.C

7.B

8.B

二、填空題

9.菱形

10.⑴⑵⑹⑶⑷(5)[或⑶(4)⑹]

11.菱

12.互相平分且垂直

13.菱形

三、證明題

14.先證四邊形Z/E尸G為平行四邊形，再證HF=EG.

15.解：因?yàn)?+；/+/+d4=4曲4,所以2/+2/?4+2/+2/一&活cd=0,所

以

(a4-2a2b2+//)+(//-2?2c2+c4)+(c4-2c2J2+J4)+(J4-2a2d24-a4)

+2(a2b?-2abcd+c2r)+2(a2d2-2abed+b?*)=Q

所以

2

伍2_12)2+(從-02)2+{c2一>y+(/_〃2)2+23b-Cdf+23d-be)=0由非負(fù)

數(shù)性質(zhì)得，a2-b2=0,b2-c2=0,c2-J2=0,

d2-a2=0,ab-cd=0,acl-be=0.

所以a=〃=c=c/.

所以四邊形ABC。是菱形.

16.解：???四邊形A8CO是平行四邊形，AC=6,BD=4.

：.OA=OC=3,OB=OD=2.

乂?.?AO=屈.

AD2=0^+002.

:.ZAOD=90,即:ACJ_8O

UM8c。是菱形.

17.解：四邊形CO所是菱形.理由如下：

?.?OEJ_AACHLAB,

;.DE//CH.

即：DE//CF.

又???3。是角平分線，

:.DE=DC,

且NBDE=NBDC.

?/DE//CH,

NBDE=NCFD.

/CDF=ZDFC.

:.CD=CF.

CF=DE.

四邊形CO耳'是平行四邊形，又因3c=OE.

四邊形CDEr是菱形.

18.提示：只需證四邊形EACD為平行四邊形，只需證明4石〃CO,過B作

3加〃/1￡經(jīng)證用0〃。力即可.

19.??,砂垂直平分AZ),:.AE=DE,AF=DF,

???AD平分N8AC,/.△AED^AAFD,：.AE=AF,：.AE=DE=AF=DF,

故四邊形A以加是菱形.

20.(1)可證OA=」AC,OB=-BD,：.OA=OB.

22

;人/垂直平分。/?,：.OA=AB=OB,故△AO8為等邊三角形.

(2)在等邊△AQ4中，AFA.OB,：./：OAE=^BAE=30,

可證明NFC4=NZMC,ZFCA=ZEAO,：.AF=CF,

可證明四邊形A”1〃是平行四邊形，而Ab=b,故四邊形是菱形.

21.(1)???在矩形A8C3中，AB//CD,:?ZE=/F,NEBO=NFDO,又

BO=OD，?MBOE部/\DOF.

(2)當(dāng)E尸與AC垂直時(shí)，四邊形AEb為菱形.

證明：?:ABOEmADOF,：.EO=FO.

又AO=OC,???四邊形AEb為平行四邊形.

又MJLAC,???四邊形AECF為菱形.

22.證明：設(shè)AN與ME交于點(diǎn)。，因?yàn)锳O是R【Z\A8C斜邊8c上的高，

所以N/W￡>=N6O.

又BE,AN分別平分448。和NC4O,

所以NE4N=Z/WE.

所以在RtZXA5E中，乙4。3=90,△AWE是等腰三角形，AN平分ME,

又因?yàn)镹ABO=NNBO,OB=OB,

所以RtZXAOBgRtZXNOB,AO=ON,即ME'垂直平分AN,四邊形AMNE是

菱形.

23.證明四邊形MQV尸是菱形即可.

24.連結(jié)AC,BD,?.?△ADE與△BCE都是正三角形，.?.A￡=O