期中專題01空間向量與立體幾何小題綜合（60題）（原卷版）

期中專題01空間向量與立體幾何小題綜合備考秘籍備考秘籍歐拉定理(歐拉公式)(簡單多面體的頂點(diǎn)數(shù)V、棱數(shù)E和面數(shù)F).（1）=各面多邊形邊數(shù)和的一半.特別地,若每個面的邊數(shù)為的多邊形，則面數(shù)F與棱數(shù)E的關(guān)系：；（2）若每個頂點(diǎn)引出的棱數(shù)為，則頂點(diǎn)數(shù)V與棱數(shù)E的關(guān)系：.空間的線線平行或垂直設(shè)，，則；.夾角公式設(shè)，b＝，則.異面直線所成角=（其中（）為異面直線所成角，分別表示異面直線的方向向量）直線與平面所成角，(為平面的法向量).二面角的平面角（，為平面，的法向量）.異面直線間的距離(是兩異面直線，其公垂向量為，分別是上任一點(diǎn)，為間的距離).點(diǎn)到平面的距離（為平面的法向量，是經(jīng)過面的一條斜線，）.真題訓(xùn)練真題訓(xùn)練一、單選題1．（2022秋·浙江杭州·高二學(xué)軍中學(xué)校考期中）已知，，且，則（

）A． B． C． D．2．（2021秋·山東濟(jì)南·高二山東師范大學(xué)附中?？计谥校┰O(shè)，，與垂直，則等于（

）A．6 B．14 C． D．3．（2022秋·浙江杭州·高二浙江省杭州第二中學(xué)校考期中）如圖，已知平行六面體，則(

)A． B． C． D．4．（2022秋·廣東廣州·高二華南師大附中?？计谥校┮阎比庵?，，，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．5．（2022秋·遼寧·高二遼寧實(shí)驗中學(xué)校考期中）在三棱錐中,,,,則異面直線與所成的角余弦值是（

）A． B． C．0 D．6．（2021秋·遼寧·高二遼寧實(shí)驗中學(xué)?？计谥校┮阎L方體中，，，，，若則（

）A． B． C． D．7．（2022秋·山東·高二山東省實(shí)驗中學(xué)校考期中）已知直線過定點(diǎn)，且方向向量為，則點(diǎn)到的距離為（

）A． B． C． D．8．（湖南省長沙市周南中學(xué)20212022學(xué)年高二上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題）如圖，在平行六面體ABCDA1B1C1D1中，AC與BD的交點(diǎn)為點(diǎn)M，＝，，，則下列向量中與相等的向量是（）A． B．C． D．9．（2022秋·山西·高二山西大附中?？计谥校┰谝黄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，已知，，現(xiàn)沿軸將坐標(biāo)平面折成60°的二面角，則折疊后，兩點(diǎn)間的距離為（

）A． B． C． D．10．（2022秋·浙江杭州·高二浙江省杭州第二中學(xué)?？计谥校┮阎獮榭臻g任意一點(diǎn)，滿足任意三點(diǎn)不共線，但四點(diǎn)共面，且，則的值為（

）A． B． C． D．111．（2022秋·重慶沙坪壩·高二重慶八中?？计谥校┰谡襟w中，E為AB的中點(diǎn)，則直線CE與所成的角的余弦值為（

）A． B． C． D．12．（2022秋·福建廈門·高二廈門一中?？计谥校╅L方體中，，，上底面的中心為，當(dāng)點(diǎn)在線段上從移動到時，點(diǎn)在平面上的射影的軌跡長度為（

）A． B． C． D．13．（新疆維吾爾自治區(qū)喀什第六中學(xué)20222023學(xué)年高二上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題）在底面半徑為1的圓柱中，過旋轉(zhuǎn)軸作圓柱的軸截面，其中母線，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，則（

）A．，與是共面直線B．，與是共面直線C．，與是異面直線D．，與是異面直線14．（2022秋·遼寧·高二遼寧實(shí)驗中學(xué)?？计谥校┮阎襟w的棱長為2，點(diǎn)E滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．15．（2021秋·山東濟(jì)南·高二山東師范大學(xué)附中?？计谥校┰谒拿骟w中，，，，，，用向量，，表示，則等于（

）A． B．C． D．16．（2022秋·山東·高二山東省實(shí)驗中學(xué)?？计谥校┤鐖D，正方形ABCD與矩形ACEF所在平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M在EF上，且AM∥平面BDE.則M點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A．(1，1，1) B． C． D．17．（2022秋·山東青島·高二青島二中校考期中）已知大小為的二面角棱上有兩點(diǎn)，，，，，，若，，，則的長為（

）．A．22 B．49 C．7 D．18．（2022秋·山西·高二山西大附中?？计谥校┤鐖D，在棱長為2的正方體中，E為的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段上，點(diǎn)P到直線的距離的最小值為（

）A．1 B． C． D．19．（2022秋·浙江杭州·高二學(xué)軍中學(xué)?？计谥校┰谥比庵?，，，動點(diǎn)在側(cè)面上運(yùn)動，且，則異面直線和所成角的余弦值的最大值為（

）A． B． C． D．20．（2022秋·浙江杭州·高二浙江省杭州第二中學(xué)校考期中）已知向量，是平面內(nèi)的兩個不共線的非零向量，非零向量在直線上，則“，且”是的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分又不必要條件21．（2022秋·浙江杭州·高二浙江省杭州第二中學(xué)?？计谥校┤鐖D，正方體中，異面直線，的夾角為（

）A．30° B．60° C．90° D．120°22．（2022秋·浙江杭州·高二浙江省杭州第二中學(xué)?？计谥校┰谄叫辛骟w中，，，，，則與所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．23．（2022秋·浙江杭州·高二浙江省杭州第二中學(xué)?？计谥校┤鐖D所示，在棱長為的正方體中，，分別為棱，的中點(diǎn)，為棱上的一點(diǎn)，且，則點(diǎn)到平面的距離為（

）A． B． C． D．24．（2022秋·湖南長沙·高二長郡中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在棱長為2的正四面體ABCD中，點(diǎn)N，M分別為和的重心，P為線段CM上一點(diǎn)．（

）A．的最小為2B．若DP⊥平面ABC，則C．若DP⊥平面ABC，則三棱錐P－ABC外接球的表面積為D．若F為線段EN的中點(diǎn)，且，則25．（2022秋·浙江杭州·高二學(xué)軍中學(xué)?？计谥校閼c祝國慶，立德中學(xué)將舉行全校師生游園活動，其中有一游戲項目是夾彈珠．如圖，四個半徑都是1cm的玻璃彈珠放在一個半球面形狀的容器中，每顆彈珠的頂端恰好與容器的上沿處于同一水平面，則這個容器的容積是（

）A． B．C． D．26．（2022秋·浙江杭州·高二學(xué)軍中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在三棱臺中，下底面是直角三角形，且，側(cè)面與都是直角梯形，且，若異面直線AC與所成角為，則BC與平面所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．二、多選題27．（2022秋·重慶沙坪壩·高二重慶一中?？计谥校┮阎臻g中兩個不同的平面，兩條不同的直線滿足，則以下結(jié)論正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若相交，則相交 D．若，則28．（2022秋·湖南長沙·高二長郡中學(xué)?？计谥校皦q堵”“陽馬”和“鱉臑”是我國古代對一些特殊幾何體的稱謂．《九章算術(shù)·商功》有如下敘述：“斜解立方，得兩塹堵，斜解塹堵．其一為陽馬，其一為鱉臑”．意思是說：將一個長方體沿對角面斜截（圖1），得到一模一樣的兩個塹堵（圖2），再沿一個塹堵的一個頂點(diǎn)和相對的棱斜截（圖2），得一個四棱錐稱為陽馬（圖3），一個三棱錐稱為鱉臑（圖4）．若長方體的體積為V，由該長方體斜截所得到的塹堵、陽馬和鱉臑的體積分別為，則下列選項不正確的是（

）A． B． C． D．29．（2022秋·浙江杭州·高二浙江省杭州第二中學(xué)?？计谥校┲本€l的方向向量為，兩個平面，的法向量分別為，，則下列命題為真命題的是（

）A．若，則直線平面B．若，則直線平面C．若，則直線l與平面所成角的大小為D．若，則平面，所成角的大小為30．（2022秋·浙江杭州·高二浙江省杭州第二中學(xué)?？计谥校┮阎臻g向量，則下列選項中正確的是（

）A．當(dāng)時， B．當(dāng)時，C．當(dāng)時， D．當(dāng)時，31．（2022秋·浙江杭州·高二學(xué)軍中學(xué)?？计谥校┮阎瑒t以下坐標(biāo)表示的點(diǎn)在平面ABC內(nèi)的是（

）A． B． C． D．32．（2023版北師大版（2019）選修第一冊突圍者第三章第二節(jié)課時2空間向量的數(shù)量積）如圖，在三棱柱中，，分別是，上的點(diǎn)，且，．設(shè)，，，若，，，則下列說法中正確的是（

）A． B．C． D．33．（2022秋·黑龍江哈爾濱·高二哈爾濱三中?？计谥校┤鐖D，正方體的棱長為2，E是的中點(diǎn)，則（

）A．B．點(diǎn)E到直線的距離為C．直線與平面所成的角的正弦值為D．點(diǎn)到平面的距離為34．（2021秋·湖北武漢·高二武漢外國語學(xué)校（武漢實(shí)驗外國語學(xué)校）期中）如圖，在邊長為1的正方體中，M為BC邊的中點(diǎn)，下列結(jié)論正確的有（

）

A．AM與所成角的余弦值為B．四而體的內(nèi)切球的表面積為C．正方體中，點(diǎn)P在底面（所在的平面）上運(yùn)動并且使，那么點(diǎn)P的軌跡是雙曲線D．每條棱所在直線與平面所成的角都相等，則截此正方體所得截面面積的最大值為35．（2022秋·湖南長沙·高二雅禮中學(xué)?？计谥校┤鐖D，已知A，B是相互垂直的兩條異面直線，直線AB與a，b均相互垂直，垂足分別為A，B，且，動點(diǎn)P，Q分別位于直線A，B上，且P異于A，Q異于B.若直線PQ與AB所成的角，線段PQ的中點(diǎn)為M，下列說法正確的是（

）A．PQ的長度為定值B．三棱錐的外接球的半徑長為定值C．三棱錐的體積為定值D．點(diǎn)M到AB的距離為定值36．（2022秋·遼寧·高二遼寧實(shí)驗中學(xué)?？计谥校┰陂L方體中，，，，則下列命題為真命題的是（

）A．若直線與平面所成的角為，則B．若經(jīng)過點(diǎn)的直線與長方體所有棱所成的角都為，則C．若經(jīng)過點(diǎn)的直線與長方體所有面所成的角都為，則D．若經(jīng)過點(diǎn)的平面與長方體所有面所成的二面角都為，則37．（2021秋·山東濟(jì)南·高二山東師范大學(xué)附中?？计谥校┱庵?，P點(diǎn)滿足（，）（

）A．當(dāng)時，△的面積是定值 B．當(dāng)時，△的周長是定值C．當(dāng)時，△的面積是定值 D．當(dāng)時，三棱錐的體積為定值38．（2021秋·山東濟(jì)南·高二山東師范大學(xué)附中?？计谥校┮阎?，，，則下列說法正確的有（

）A．與夾角的余弦為 B．的面積為C．平面的一個法向量 D．四面體的體積為39．（2022秋·山東青島·高二青島二中?？计谥校┰诶忾L為2的正方體中，、、分別為，，的中點(diǎn)，則下列選項正確的是（

）．A．B．直線與所成角的余弦值為C．三棱錐的體積為D．存在實(shí)數(shù)、使得40．（2022秋·山東青島·高二青島二中校考期中）已知空間中三點(diǎn)，，，則（

）．A． B．C． D．A，B，C三點(diǎn)共線41．（2022秋·浙江杭州·高二學(xué)軍中學(xué)?？计谥校┰陂L方體中，已知與平面和平面所成的角均為，則（

）A．B．與平面所成的角為C．與平面所成的角為D．42．（2022秋·重慶沙坪壩·高二重慶八中?？计谥校┮阎庵骼忾L均為4，且點(diǎn)E為棱上一動點(diǎn)（包含棱的端點(diǎn)），則下列結(jié)論正確的是（

）A．該三棱柱既有外接球，又有內(nèi)切球B．三棱錐的體積是C．直線與直線恒不垂直D．直線與平面所成角的正弦值范圍是43．（2022秋·廣東廣州·高二華南師大附中校考期中）在長方體中，，點(diǎn)為棱上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，點(diǎn)是長方形內(nèi)一動點(diǎn)（含邊界），且直線，與平面所成角的大小相等，則（

）A．平面B．三棱錐的體積為4C．存在點(diǎn)，使得D．線段的長度的取值范圍為44．（2022秋·湖南長沙·高二湖南師大附中?？计谥校c(diǎn)是正方體中側(cè)面正方形內(nèi)的一個動點(diǎn)，正方體棱長為1，則下面結(jié)論正確的是（

）A．滿足的點(diǎn)M的軌跡長度為B．點(diǎn)M存在無數(shù)個位置滿足直線平面C．在線段上存在點(diǎn)M，使異面直線與CD所成的角是30°D．若E是棱的中點(diǎn)，平面與平面所成銳二面角的正切值為45．（2022秋·山東·高二山東省實(shí)驗中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在平行四邊形中，，，，沿對角線將折起到的位置，使得平面平面，下列說法正確的有（

）A．平面平面B．三棱錐四個面都是直角三角形C．與所成角的余弦值為D．過的平面與交于，則面積的最小值為46．（2021秋·遼寧·高二遼寧實(shí)驗中學(xué)?？计谥校┰谡庵校?，點(diǎn)滿足，其中，，則（

）A．當(dāng)時，的周長為定值B．當(dāng)時，三棱錐的體積為定值C．當(dāng)時，有且僅有一個點(diǎn)，使得D．當(dāng)時，有且僅有一個點(diǎn)，使得平面47．（2022秋·浙江杭州·高二學(xué)軍中學(xué)校考期中）如圖，在五面體中，底面為矩形，和均為等邊三角形，平面，，，且二面角和的大小均為．設(shè)五面體的各個頂點(diǎn)均位于球的表面上，則（

）A．有且僅有一個，使得五面體為三棱柱B．有且僅有兩個，使得平面平面C．當(dāng)時，五面體的體積取得最大值D．當(dāng)時，球的半徑取得最小值三、填空題48．（2021秋·湖南長沙·高二湖南師大附中?？计谥校┤鐖D所示平行六面體中，，則.49．（2022秋·重慶沙坪壩·高二重慶八中校考期中）在直三棱柱中，，，，，則該直三棱柱的外接球的表面積為.50．（2022秋·山東·高二山東省實(shí)驗中學(xué)?？计谥校┱襟w棱長為1，為該正方體外接球表面上的兩點(diǎn)，在正方體表面且不在直線上，若，則的最小值為．51．（2022秋·浙江杭州·高二浙江省杭州第二中學(xué)校考期中）如圖，大小為的二面角的棱上有兩個點(diǎn)A，B，線段PM與NQ分別在這個二面角的兩個面內(nèi)，并且都垂直于棱l.若，，，則.52．（2022秋·安徽合肥·高二合肥一六八中學(xué)校考期中）空間四邊形中，，則其外接球表面積為．53．（2022秋·遼寧·高二遼寧實(shí)驗中學(xué)?？计谥校┌⒉_尼斯（約公元前262－190年）證明過這樣一個命題：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之比為常數(shù)且的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿波羅尼斯圓．在棱長為6的正方體中，點(diǎn)是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)是正方體表面上一動點(diǎn)（包括邊界），且滿足，則三棱錐體積的最大值為．54．（2021秋·山東濟(jì)南·高二山東師范大學(xué)附中?？计谥校┢叫辛骟w，，，，則55．（2021秋·山東濟(jì)南·高二山東師范大學(xué)附中校考期中）正方體的棱長為1，P點(diǎn)滿足，則P到的距離為56．（2022秋·山東·高二山東省實(shí)驗中學(xué)校考期中）已知，，且與垂直，則的值為