廣東省肇慶市2020屆高三數(shù)學(xué)畢業(yè)班第二次模擬考試試題 理 新人教A版（通用）

1、廣東省肇慶市2020屆高三4月第二次模擬數(shù) 學(xué)（理科）本試卷共4頁(yè)，21小題，滿分150分. 考試用時(shí)120分鐘.注意事項(xiàng)：1. 答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆，將自己所在縣（市、區(qū)）、姓名、試室號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卷上對(duì)應(yīng)位置，再用2B鉛筆將準(zhǔn)考證號(hào)涂黑.2. 選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卷上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；如需要改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案，答案不能寫在試卷上或草稿紙上.3. 非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卷各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)的位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液. 不按以上要求作答

2、的答案無(wú)效.參考公式：錐體的體積公式，其中S為錐體的底面積，為錐體的高.列聯(lián)表隨機(jī)變量. 與k對(duì)應(yīng)值表：0.100.050.0250.0100.0050.001k2.7063.8415.0246.6357.87910.828一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分. 在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)（是虛數(shù)單位），則實(shí)數(shù)A B3 C1 D1或2已知集合，若，則實(shí)數(shù)A2 B C D 3圖1分別是甲、乙、丙三種品牌手表日走時(shí)誤差分布的正態(tài)分布密度曲線，則下列說(shuō)法不正確的是A三種品牌的手表日走時(shí)誤差的均值相等；B三種品牌的手表日走時(shí)誤差的均值從大到小依次

3、為甲、乙、丙；C三種品牌的手表日走時(shí)誤差的方差從小到大依次為甲、乙、丙；D三種品牌手表中甲品牌的質(zhì)量最好4若如圖2所示的程序框圖輸出的S是，則在判斷框中M表示的“條件”應(yīng)該是A BC D5已知向量，則“且”是“”的 A充分而不必要條件 B必要而不充分條件C充分必要條件 D既不充分也不必要條件6已知某幾何體的三視圖（單位：cm）如圖3所示，則該幾何體的體積是A B30C40 D427已知實(shí)數(shù)，函數(shù)，若，則的值為A B C D8設(shè)有一組圓：. 下列四個(gè)命題：存在一條定直線與所有的圓均相切； 存在一條定直線與所有的圓均相交；存在一條定直線與所有的圓均不相交； 所有的圓均不經(jīng)過(guò)原點(diǎn).其中真命題的個(gè)數(shù)為

4、A1 B2 C3 D4二、填空題：本大題共7小題，考生作答6小題，每小題5分，滿分30分. （一）必做題（913題）9已知等比數(shù)列滿足，則 .10不等式的解集為 .11若雙曲線的漸近線方程是，則雙曲線的離心率等于 .12在的展開式中，的系數(shù)為 .13直角坐標(biāo)系xOy中，已知兩定點(diǎn)A（1，0），B（1，1）動(dòng)點(diǎn)滿足，則點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)域的面積等于 .（ ） 14（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）已知C的參數(shù)方程為(為參數(shù))，C在點(diǎn)（0，3）處的切線為l，若以直角坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，則l的極坐標(biāo)方程為 .15.（幾何證明選講選做題）如圖4，在中，AB=BC，圓O是的外接圓，過(guò)點(diǎn)C的

5、切線交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D， BD=4，則AC的長(zhǎng)等于 三、解答題：本大題共6小題，滿分80分. 解答須寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程和演算步驟. 16.（本小題滿分12分）已知銳角ABC的面積等于，且AB=3，AC=4.（1）求的值；（2）求的值.17.（本小題滿分12分）為考察高中生的性別與是否喜歡數(shù)學(xué)課程之間的關(guān)系，在我市某普通中學(xué)高中生中隨機(jī)抽取200名學(xué)生，得到如下列聯(lián)表：喜歡數(shù)學(xué)課不喜歡數(shù)學(xué)課合計(jì)男306090女2090110合計(jì)50150200（1）根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想，約有多大的把握認(rèn)為“性別與喜歡數(shù)學(xué)課之間有關(guān)系”？（2）若采用分層抽樣的方法從不喜歡數(shù)學(xué)課的學(xué)生中隨機(jī)抽取5人，則男

6、生和女生抽取的人數(shù)分別是多少？（3）從（2）隨機(jī)抽取的5人中再隨機(jī)抽取3人，該3人中女生的人數(shù)記為，求的數(shù)學(xué)期望.18.（本小題滿分14分）如圖5，在四棱錐中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，且DAB=60. 側(cè)面PAD為正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD，G為AD邊的中點(diǎn).（1）求證：BG平面PAD；（2）求平面PBG與平面PCD所成二面角的平面角的余弦值；（3）若E為BC邊的中點(diǎn)，能否在棱PC上找到一點(diǎn)F，使平面DEF平面ABCD，并證明你的結(jié)論.19.（本小題滿分14分）如圖6，圓，P是圓C上的任意一動(dòng)點(diǎn)，A點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），線段PA的垂直平分線l與半徑CP交于點(diǎn)Q.（1）求點(diǎn)Q的

7、軌跡G的方程；（2）已知B，D是軌跡G上不同的兩個(gè)任意點(diǎn)，M為BD的中點(diǎn). 若M的坐標(biāo)為M（2，1），求直線BD所在的直線方程；若BD不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，且不垂直于x軸，點(diǎn)O為軌跡G的中心. 求證：直線BD和直線OM的斜率之積是常數(shù)（定值）.20.（本小題滿分14分）已知正項(xiàng)數(shù)列滿足（）.（1）證明：；（2）證明：；（3）證明：.21（本小題滿分14分）已知函數(shù)，（1）若a=1，判斷函數(shù)是否存在極值，若存在，求出極值；若不存在，說(shuō)明理由；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）設(shè)函數(shù)若至少存在一個(gè)，使得成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍數(shù)學(xué)（理科）參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一、選擇題題號(hào)12345678答案ADBCADCB8題解

8、析：圓的圓心（k-1，3k）在直線y=3（x+1）上運(yùn)動(dòng)，因此存在定直線y=3（x+1）與所有的圓均相交；因圓的半徑在變化，故錯(cuò)，正確.對(duì)于：假設(shè)存在某個(gè)圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，則（*），下面轉(zhuǎn)化為這個(gè)關(guān)于k的方程是否有正整數(shù)解，可以從k的奇偶性分析：若k為奇數(shù)，則k-1為偶數(shù)，3k為奇數(shù)，于是為偶數(shù)，為奇數(shù)，從而方程（*）的左邊為奇數(shù)，但方程（*）的右邊為偶數(shù)，矛盾！若k為偶數(shù)，則k-1為奇數(shù)，3k為偶數(shù)，于是為奇數(shù)，為偶數(shù)，從而方程（*）的左邊為奇數(shù)，但方程（*）的右邊為偶數(shù)，矛盾！綜上知，假設(shè)不成立，故正確. 二、填空題9 10-3，1 11 12134 14 1513題解析：由，得設(shè)M（s，t），

9、則，解得，由，得.三、解答題16.（本小題滿分12分）解：（1）， （2分）. （3分）又ABC是銳角三角形， （4分）. （5分）（2）由余弦定理 （7分） （8分）由正弦定理得， （9分）又B為銳角，得. （10分） （11分） （12分）17.（本小題滿分12分）解：（1）， （2分）約有97.5%以上的把握認(rèn)為“性別與喜歡數(shù)學(xué)課之間有關(guān)系”. （4分）（2）男生抽取的人數(shù)有：（人） （5分）女生抽取的人數(shù)各有：（人） （6分）（3）由（2）可知，男生抽取的人數(shù)為2人，女生抽取的人數(shù)為3人，所以的取值為1，2，3. （7分），所以的分布列為：123（10分）所以的數(shù)學(xué)期望為 （12分）1

10、8.（本小題滿分14分）（1）證明：連結(jié)BD. 因?yàn)锳BCD為棱形，且DAB=60，所以DABD為正三角形. （1分）又G為AD的中點(diǎn)，所以BGAD. （2分）又平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCD=AD， （3分）BG平面PAD. （4分）解：（2）PAD為正三角形，G為AD的中點(diǎn)，PGAD.PG平面PAD，由（1）可得：PGGB. 又由（1）知BGAD.PG、BG、AD兩兩垂直. （5分）故以G為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系， （6分）所以， ， ， （7分）設(shè)平面PCD的法向量為， 即 令，則 （8分）又平面PBG的法向量可為， （9分）設(shè)平面PBG與平面PCD所成二面角的

11、平面角為，則即平面PBG與平面PCD所成二面角的平面角的余弦值為. （10分）（3）當(dāng)F為PC的中點(diǎn)時(shí)，平面DEF平面ABCD. （11分）取PC的中點(diǎn)F，連結(jié)DE，EF，DF，CG，且DE與CG相交于H.因?yàn)镋、G分別為BC、AD的中點(diǎn)，所以四邊形CDGE為平行四邊形，故H為CG的中點(diǎn). 又F為CP的中點(diǎn)，所以FH/PG. （12分）由（2），得PG平面ABCD，所以FH平面ABCD. （13分）又FH平面DEF，所以平面DEF平面ABCD. （14分）19.（本小題滿分14分）解：（1）圓C的圓心為C（-2，0），半徑r=6，. （1分）連結(jié)，由已知得， （2分）所以. （3分）根據(jù)橢圓的

12、定義，點(diǎn)Q的軌跡G是中心在原點(diǎn)，以C、A為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于的橢圓，即a=3，c=2， （4分）所以，點(diǎn)Q的軌跡G的方程為. （5分）（2）設(shè)B、D的坐標(biāo)分別為、，則 （6分）兩式相減，得， （7分）當(dāng)BD的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，1）時(shí)，有， （8分）所以，即. （9分）故BD所在的直線方程為，即. （10分） 證明：設(shè)，且，由可知, （11分）又 （12分）所以（定值）. （14分）20.（本小題滿分14分）證明：（1）方法一：因?yàn)?，所以?（1分）故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立. （2分）方法二：因?yàn)椋裕?（1分）故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立. （2分）（2）由（1）知，又，所以，所以. （4分）（

13、3）先證：當(dāng)n=1時(shí)，不等式顯然成立； （5分）假設(shè)當(dāng)n=k（）時(shí)不等式成立，即. （6分）當(dāng)n=k+1時(shí)，由得， （7分）即當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式成立； （8分）綜上，對(duì)一切都有成立. （9分）再證：由及（），得（），所以當(dāng)n=1時(shí)，不等式顯然成立； （10分）當(dāng)時(shí)，假設(shè)存在k，使得， （11分）則有，即，所以， （12分）與題設(shè)矛盾. （13分）所以對(duì)一切都有成立. （14分）所以對(duì)一切都有成立.21.（本小題滿分14分）解：（1）當(dāng)時(shí)，其定義域?yàn)椋?，+）.因?yàn)椋?（1分）所以在（0，+）上單調(diào)遞增， （2分）所以函數(shù)不存在極值. （3分）（2）函數(shù)的定義域?yàn)楫?dāng)時(shí)，因?yàn)樵冢?，+）上恒成立，所以在（0，+）上單調(diào)遞減. （4分）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，方程與方程有相同的實(shí)根. （5分）當(dāng)時(shí)，D0，可得，且因?yàn)闀r(shí)，所以在上單調(diào)遞增； （