斯托克斯定理課件

1、第一章矢量分析、主要內(nèi)容梯度、分散度、旋轉(zhuǎn)度、亥姆霍茲定理，1 .標(biāo)量場(chǎng)的方向?qū)Ш瘮?shù)和梯度，2 .向量場(chǎng)的無(wú)損音頻壓縮編碼和分散度，3 .向量場(chǎng)的環(huán)量和旋轉(zhuǎn)度，4 .無(wú)分散場(chǎng)和無(wú)旋轉(zhuǎn)場(chǎng)的5 .格林定理，6 .向量場(chǎng)的唯一定理，7 .亥姆霍茲定理8 .正交曲面坐標(biāo)系， 1 .標(biāo)量場(chǎng)的方向?qū)Ш瘮?shù)和梯度，方向?qū)Ш瘮?shù)：標(biāo)量場(chǎng)中的某個(gè)點(diǎn)的方向?qū)Ш瘮?shù)表示從標(biāo)量場(chǎng)的該點(diǎn)到某個(gè)方向的變化率。 例如，在標(biāo)量場(chǎng)的p點(diǎn)沿著l方向的方向?qū)Ш瘮?shù)中，標(biāo)量場(chǎng)的某個(gè)點(diǎn)的梯度的大小與該點(diǎn)的最大方向向?qū)Ш瘮?shù)相同，梯度的方向是具有該點(diǎn)的最大方向向?qū)Ш瘮?shù)的方向。 坡度是向量。 在正交坐標(biāo)系中，標(biāo)量場(chǎng)梯度可由方程中的grad或字母gr

2、adient的縮寫(xiě)表示。 如果引入了運(yùn)算符，則在垂直角坐標(biāo)系中，坡度可以表示為、 無(wú)損音頻壓縮編碼：沿著矢量a的某個(gè)有向曲面s的面積部分，稱為矢量a通過(guò)該有向曲面s的無(wú)損音頻壓縮編碼，用標(biāo)量表示。 也就是說(shuō)，2 .向量場(chǎng)的無(wú)損音頻壓縮編碼和分散度，無(wú)損音頻壓縮編碼可為正、負(fù)或?yàn)榱恪?矢量穿過(guò)某個(gè)閉合面時(shí)，該閉合面上存在產(chǎn)生其向量場(chǎng)的源的矢量進(jìn)入該閉合面時(shí)，該閉合面上有收斂其向量場(chǎng)的孔(或水槽)。 封閉有向曲面的方向通常定義為封閉面的外法向。 因此，在閉合面上活動(dòng)時(shí)，矢量通過(guò)該閉合面的無(wú)損音頻壓縮編碼一定為正，相反，在閉合面上存在孔的情況下，矢量通過(guò)閉合面的流束一定為負(fù)。 因此，上述源稱為正源，

3、孔稱為負(fù)源。 如從物理上所理解的，在真空中的電場(chǎng)強(qiáng)度e通過(guò)任何閉合曲面的無(wú)損音頻壓縮編碼中，在被該閉合面包圍的自由電荷的電荷量q與真空介電常數(shù)0的比，即，在閉合面中存在正電荷的情況下，無(wú)損音頻壓縮編碼是正的。 如果閉合面上有負(fù)電荷，則通量為負(fù)。 在不存在電荷的無(wú)源區(qū)域中，通過(guò)任一閉合平面的無(wú)損音頻壓縮編碼為零。 該電實(shí)例一盞茶地顯示了閉合平面上的正、負(fù)和無(wú)源無(wú)損音頻壓縮編碼特性。 但是，通量?jī)H表示封閉面的源總量，不能顯示源的分布特性。 因此有必要探討向量場(chǎng)的分散度。 當(dāng)閉合面s無(wú)限收縮到某一點(diǎn)時(shí)，矢量a通過(guò)該閉合面s的無(wú)損音頻壓縮編碼和由該閉合面s包圍的體積之比的界限稱為向量場(chǎng)a在該點(diǎn)的分散度

4、，用div A表示，式中div是英文dividence的縮寫(xiě)，v是由閉合面s包圍的體積。 從上式可以理解為分散度是標(biāo)量，包圍每單位體積的封閉面的流束。 直角坐標(biāo)系中的分散度可以表示為、所以分散度用算子表示為高斯定理，或者在數(shù)學(xué)上高斯定理構(gòu)筑了面積分和體積分的關(guān)系。 可理解，在物理上，高斯定理確立了區(qū)域v中的情況與包圍區(qū)域v的閉合面s中的情況之間的關(guān)系。 因此，如果知道區(qū)域v中的位置，則能夠根據(jù)高斯定理求出邊界s上的位置，反之也是可能的。 將沿著向量場(chǎng)a的有向曲線l的曲線積分稱為沿著向量場(chǎng)a的該曲線的環(huán)量，即，3 .如果在閉合有向曲線l的基礎(chǔ)上向量場(chǎng)a的方向與線元dl的方向在任何地方一致，則可知

5、向量場(chǎng)的環(huán)量和旋轉(zhuǎn)度為0 可知環(huán)量可以用于描述向量場(chǎng)的渦特性。 如從、和物理學(xué)可以看出，真空中的磁感應(yīng)強(qiáng)度b沿著任何閉合有向圖l的環(huán)量等于被該閉合格拉夫包圍的傳導(dǎo)電流強(qiáng)度I與真空磁導(dǎo)率0的乘積。 即，式中的電流I的正方向和dl的方向?yàn)橛倚年P(guān)系。 因此，環(huán)量表示產(chǎn)生具有渦特性的光源的強(qiáng)度，但環(huán)量表示由閉合曲線包圍的整體光源的強(qiáng)度，不能表示光源的分布特性。 因此，有必要研究向量場(chǎng)的旋轉(zhuǎn)度。 旋轉(zhuǎn)度：旋轉(zhuǎn)度是向量。當(dāng)以符號(hào)rot A表示向量a的旋轉(zhuǎn)速度時(shí)，其方向是使向量a具有最大循環(huán)量強(qiáng)度的方向，與針對(duì)該向量方向的最大循環(huán)量強(qiáng)度相等的大小，即，在式中，rot是字母rotation的略，en是最大循

6、環(huán)量強(qiáng)度的方向的單位矢量，s是閉合曲線l 根據(jù)上式，向量場(chǎng)的旋轉(zhuǎn)大小可以看作是包圍單位面積的封閉曲線上的最大環(huán)量。在垂直角坐標(biāo)系中的旋轉(zhuǎn)度可以用矩陣表示，或者用運(yùn)算符表示，梯度、分散度或旋轉(zhuǎn)度是微分運(yùn)算，表示場(chǎng)的某一點(diǎn)附近的變化特性，場(chǎng)的各點(diǎn)上的梯度、分散度或旋轉(zhuǎn)度可能不同。 因此，梯度、分散度和旋轉(zhuǎn)度稱為場(chǎng)的點(diǎn)特性或微分特性。 函數(shù)的連續(xù)性是一個(gè)微小的必要條件。 由此，在場(chǎng)量中發(fā)生間斷點(diǎn)，不存在先前定義的梯度、分散度或旋轉(zhuǎn)度。 斯托克斯定理與高斯定理相似，斯托克斯定理在數(shù)學(xué)上構(gòu)筑了面積分和曲線積分的關(guān)系。 物理上可以理解為串?dāng)_的定理建立了區(qū)域s中的情況和包圍區(qū)域s的閉合曲線l上的情況之間的關(guān)

7、系。 因而，如果知道區(qū)域s中的位置，則可以根據(jù)串?dāng)_定理獲得邊界l上的位置，反之亦然。 或者，、分散度為零的向量場(chǎng)寫(xiě)為無(wú)分散場(chǎng)，旋轉(zhuǎn)度為零的向量場(chǎng)寫(xiě)為無(wú)旋轉(zhuǎn)場(chǎng)。 4 .無(wú)分散場(chǎng)和無(wú)回轉(zhuǎn)場(chǎng)，兩個(gè)重要公式：左式表示，任何一個(gè)向量場(chǎng)a的回轉(zhuǎn)度分散度一定等于零。 因此，任何無(wú)分散場(chǎng)都一定是其他的向量場(chǎng)的旋轉(zhuǎn)度、或者任何旋轉(zhuǎn)場(chǎng)都是無(wú)分散場(chǎng)的。 右式表示標(biāo)量場(chǎng)梯度的旋轉(zhuǎn)度一定等于零。 因此，任何無(wú)旋轉(zhuǎn)場(chǎng)都一定可以表現(xiàn)為標(biāo)量場(chǎng)的梯度，或者任何梯度場(chǎng)都一定是無(wú)旋轉(zhuǎn)場(chǎng)。 假設(shè)存在任何兩個(gè)標(biāo)量場(chǎng)和區(qū)域v連續(xù)的二維偏導(dǎo)函數(shù)，則綠色定理如下圖示： 中，可以證明滿足這兩個(gè)標(biāo)量場(chǎng)和下式，根據(jù)方向?qū)Ш瘮?shù)和梯度的關(guān)系，上式也是

8、式中，s是包圍v的封閉曲面，是標(biāo)量場(chǎng)的s表面的外法線en方向的導(dǎo)數(shù)。 以上兩式稱為標(biāo)量第一綠定理。 基于、上式，也可以將上式稱為標(biāo)量第二格林定理。 另外，若設(shè)為任意2個(gè)向量場(chǎng)p和q，有與區(qū)域v連續(xù)的二次偏振導(dǎo)數(shù)，則能夠證明該向量場(chǎng)p和q滿足下式，其中，s為包圍v的閉合曲面，面元dS的方向?yàn)閟的外法線方向，上式稱為矢量第一格林定理。 根據(jù)、上式也能得到下式：把這個(gè)式稱為矢量第二格林定理。 另外，無(wú)論哪個(gè)綠色定理都說(shuō)明區(qū)域v中的場(chǎng)與邊界s中的場(chǎng)的關(guān)系。 因此，可以利用綠色定理將區(qū)域中場(chǎng)求解問(wèn)題轉(zhuǎn)化為邊界出場(chǎng)求解問(wèn)題。 另外，格林定理表示兩種標(biāo)量場(chǎng)或向量場(chǎng)之間應(yīng)滿足的關(guān)系。 因此，如果知道一個(gè)域的分布特性，則可以利用格林定理求解另一個(gè)域的分布特性。 格林定理被廣泛應(yīng)用于電磁理論。 在給定分散度、旋轉(zhuǎn)度及邊界上場(chǎng)量的切線或法線分量時(shí)，位于某一區(qū)域中的向量場(chǎng)可唯一確定該區(qū)域的向量場(chǎng)。 眾所周知分散度和旋轉(zhuǎn)度代表向量場(chǎng)的發(fā)生源，唯一定理表示向量場(chǎng)是由該源和邊界條件決定的。 當(dāng)、向量場(chǎng)F(r )是無(wú)限區(qū)域的任意一個(gè)單一值，其導(dǎo)函數(shù)連續(xù)有界，且在有限區(qū)域v分布有源時(shí)，給出向量場(chǎng)的分散度和旋