高中數(shù)學(xué) 考前歸納總結(jié) 立體幾何常見題型與解法（通用）

1、立體幾何常見題型與解法一、求空間角問題1異面直線所成的角 設(shè)異面直線的方向向量分別為。則與所成的角滿足對應(yīng)的銳角或直 角即為直線a(AB)與b(CD)所成的角。OAP2線面所成的角設(shè)直線的方向向量與平面的法向量分別為，則直線的方向向量與平面所成角滿足。3二面角的求法二面角，平面的法向量，平面的法向量。二面角的大小為,若將法向量的起點(diǎn)放在兩個(gè)半平面上(不要選擇起點(diǎn)在棱上)，當(dāng)兩個(gè)法向量的方向都向二面角內(nèi)或外時(shí)，則為二面角的平面角的補(bǔ)角； 即：;當(dāng)兩個(gè)法向量的方向一個(gè)向二面角內(nèi)，另一個(gè)向外時(shí)，則為二面角的平面角。 即：; 圖（1） 圖（2）例1：在棱長為的正方體中，分別是的中點(diǎn)，（1）求直線所成角

2、的余弦值；（2）求直線與平面所成角的余弦值；（3）求平面與平面所成角的余弦值； 解：（1）如圖建立坐標(biāo)系，則ABCDEFGxyz ， 故所成角的余弦值為。（2） 所以在平面內(nèi)的射影在的平分線上， 又為菱形，為的平分線， 故直線與平面所成的角為， 建立如圖所示坐標(biāo)系，則， ， 故與平面所成角的余弦值為（3）由， 所以平面的法向量為下面求平面的法向量， 設(shè)，由， ， ，所以平面與平面所成角的余弦值為。例2. 如圖，在四棱錐P-ABCD中，PC底面ABCD，ABCD是直角梯形，ABAD，ABCD， AB= 2AD =2CD =2E是PB的中點(diǎn) （I）求證：平面EAC平面PBC; （II）若二面角P-

3、A C-E的余弦值為， 求直線PA與平面EAC所成角的正弦值解：（）PC平面ABCD，AC平面ABCD，ACPC，AB2，ADCD2，ACBC，AC2BC2AB2，ACBC，又BCPCC，AC平面PBC，DACEPBxyz AC平面EAC，平面EAC平面PBC （）如圖，以C為原點(diǎn)，、分別為x軸、 y軸、z軸正向，建立空間直角坐標(biāo)系， 則C(0，0，0)，A(1，1，0)，B(1，1，0)設(shè)P(0，0，a)（a0），則E(，)，(1，1，0)，(0，0，a)，(，)，取m(1，1，0)，則mm0，m為面PAC的法向量設(shè)n(x，y，z)為面EAC的法向量，則nn0，即取xa，ya，z2，則n(a

4、，a，2)，依題意，|cosm，n|，則a2于是n(2，2，2)，(1，1，2)設(shè)直線PA與平面EAC所成角為，則sin|cos，n|， 即直線PA與平面EAC所成角的正弦值為例3：如圖，四棱錐中，底面ABCD為矩形，底面ABCD，AD=PD，E， F分別CD、PB的中點(diǎn). （）求證：EF平面PAB；（）設(shè)AB=BC，求AC與平面AEF所成角的正弦值。 （）證明：建立空間直角坐標(biāo)系（如圖）， 設(shè)AD=PD=1，AB=（），ABCDEFxyzP 則E(a,0,0), C(2a,0,0), A(0,1,0), B(2a,1,0), P(0,0,1), . 得，. 由，得， 即， 同理，又， 所以E

5、F平面PAB. （）解：由，得，即. 得，. 有，. 設(shè)平面AEF的法向量為， 由， 解得. 于是. 設(shè)AC與面AEF所成的角為，與的夾角為. 則. . 所以，AC與平面AEF所成角的正弦值為. 二、探索性問題例4如圖，在直三棱柱中，（1）求證（2）在上是否存在點(diǎn)使得（3）在上是否存在點(diǎn)使得CABxDyZ解：直三棱柱，兩兩垂直， 以為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線分別 為軸軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系， 則， （1）， （2）假設(shè)在上存在點(diǎn)，使得，則 其中，則，于是， 由于，且 所以得， 所以在上存在點(diǎn)使得，且這時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)重合。（3） 假設(shè)在上存在點(diǎn)使得， 則其中 則， 又由于， 所以存在實(shí)數(shù)成立， 所以，所以在

6、上存在點(diǎn)使得，且使的中點(diǎn)。三、范圍問題例5.如圖，在梯形中，四邊形 為矩形，平面平面，.（1）求證：平面；（2）點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，設(shè)平面與 平面所成二面角的平面角為 ，試求的取值范圍.（1）證明：在梯形中， ,， 平面平面,平面平面, 平面 平面 （2）由（1）可建立分別以直線為的如圖所示空間直角坐標(biāo) 系，令，則， 設(shè)為平面的一個(gè)法向量， 由 ， 聯(lián)立得 ， 取，則 是平面的一個(gè)法向量 當(dāng)時(shí)，有最小值， 當(dāng)時(shí)，有最大值. 四、折疊問題 例6。在正三角形ABC中，E、F、P分別是AB、AC、BC邊上的點(diǎn)，滿足AE:EBCF:FACP:PB1:2（如圖1）.將AEF沿EF折起到的位置，使二面角A1E

7、FB成直二面角，連結(jié)A1B、A1P（如圖2） （1）求證：A1E平面BEP； （2）求直線A1E與平面A1BP所成角的大小； （3）求二面角BA1PF的余弦值. 解：不妨設(shè)正三角形ABC 的邊長為 3 . (1)在圖1中，取BE的中點(diǎn)D，連結(jié)DF AEEB=CFFA=12，AF=AD=2，而A=600,ADF是正三角形， 又AE=DE=1，EFAD 在圖2中，A1EEF，BEEF，A1EB為二面角A1-EF-B的平面角 由題設(shè)條件知此二面角為直二面角，A1EBE 又BEEF=E，A1E平面BEF，即A1E平面BEP (2)建立分別以ED、EF、EA為x軸、y軸、z軸的空間直角坐標(biāo)系，則E(0,

8、0,0),A(0,0,1), B(2,0,0),F(0, ,0), P (1, ,0), 則, 設(shè)平面ABP的法向量為， 由平面ABP知，即 令，得， , , 所以直線A1E與平面A1BP所成的角為600(2) ，設(shè)平面AFP的法向量為 由平面AFP知，即 令，得， , 所以二面角B-A1P-F的余弦值是 五、用法向量求點(diǎn)到平面的距離如右圖所示，已知AB是平面的 一條斜線，為平面的法向量，則 A到平面的 距離為； 例7、如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB=90，AC=BC=CC1=2. （I）證明：AB1BC1； （II）求點(diǎn)B到平面AB1C1的距離;（III）求二面角C1AB1A1的大小5解：（1）如圖建立直角坐標(biāo)系，其中C為坐標(biāo)原點(diǎn).依題意A（2，0，0），B（0，2