高等工程數(shù)學(xué)1--線性空間Win7

1、高 等 工 程 數(shù) 學(xué),主講 楊文強,tel 74257,第一章 線性空間和線性變換,第七章 假設(shè)檢驗,第三章 矩陣分析及其應(yīng)用,第五章 矩陣的廣義逆與直積,第四章 矩陣分解及其應(yīng)用,第六章 抽樣分布與參數(shù)估計,第二章 方陣的相似化簡,第八章 線性統(tǒng)計推斷,第九章 多元統(tǒng)計分析,上篇 矩陣論及其應(yīng)用,下篇 應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計,第一章 線性空間和線性變換,1 線性空間,2 線性變換及其矩陣表示,3 內(nèi)積空間,什么是空間？,空間是近代數(shù)學(xué)中的一個抽象概念，一般稱非空集合為空間,什么是線性空間？,線性空間是現(xiàn)實中的平面和空間的抽象推廣，是滿足一定線性運算的空間,從兩方面研究空間特性,代數(shù)特性,幾何特性,1

2、 線性空間,1 線性空間,數(shù)域的定義,定義,設(shè) F 是一個數(shù)集，且 0，1 F ，若對 F 中任意元素a，b，有,則稱 F 為數(shù)域 .,簡單講：數(shù)域就是有加、減、乘、除運算， 且對這四種運算封閉的非空集合,實數(shù)集 ，復(fù)數(shù)集 為數(shù)域 .,1 線性空間,線性空間的定義,定義,設(shè) F 是一個數(shù)集，V 是一非空集合.,對任意的 ，定義加法運算 + ：,對任意的 ，定義數(shù)乘運算 ：,若加法運算和數(shù)乘運算滿足如下性質(zhì)：,1 線性空間,(交換律） 有 ；,(結(jié)合律) 有 ；,(零元) ，使得對任意的 有 ；,(負元) ， 使得 記為,1 線性空間,(分配律） 有,(分配律) 有,(結(jié)合律) ，使得 有,有,

3、則稱 為數(shù)域 上的線性空間(向量空間)，記為,注： 中的元 稱為向量.,稱為實線性空間,稱為復(fù)線性空間,1 線性空間,常見線性空間,實線性空間.,例 1,例 2,實線性空間( F = ).,復(fù)線性空間( F = ).,例 3,記 Pn(t) 表示所有次數(shù)不超過 n 的實系數(shù)多項式的全體，按通常的多項式加法和數(shù)乘多項式運算，Pn(t) 構(gòu)成實線性空間.,1 線性空間,常見線性空間,記,例 4,按通常的矩陣加法和數(shù)乘矩陣運算， 構(gòu)成實線 性空間，稱為實矩陣空間.,同理可定義復(fù)矩陣空間,問,是否構(gòu)成線性空間？,1 線性空間,線性空間的性質(zhì),設(shè)V 是線性空間, V 中的零元素唯一, 負元素唯一,，有

4、，,有,1 線性空間,線性表示,定義,設(shè) 是線性空間V 中的向量，若存在V 中一組向量 ，及一組數(shù) ， 使得,則稱向量 能被向量組 線性表示，或線性表出.,1 線性空間,線性相關(guān)與線性無關(guān),定義,設(shè) 是線性空間V 中的一組向量，若存在一組不全為 0 的數(shù) .使得,則稱向量組 線性相關(guān).,若,則稱向量組 線性無關(guān).,1 線性空間,？,問,否！,問, 單個非零向量 線性,否！,無關(guān),單個零向量 線性,相關(guān),？,1 線性空間,線性空間的基與維數(shù),定義,設(shè) 是線性空間V 中的線性無關(guān)向量組，若對任意的 ，存在 ， 使得,則稱向量組 是V 的 基. 稱V為n維線性空間.記V 的維數(shù)為dim(V ) =

5、n. 記為V n.,如果V 中存在無窮個線性無關(guān)的向量，則稱 V 為無窮維線性空間。 本課程只研究有限維線性空間。,1 線性空間,定理,有唯一的線性表示,1 線性空間,結(jié)果分析,記,稱 為 在基 下的坐標(向量),則 ，有,按矩陣乘法運算法則,1 線性空間,滿足：若,則,稱 與 同構(gòu)，記為,因此存在 的 的映射：,它們有相同的代數(shù)結(jié)構(gòu),1 線性空間,例 5,取 的一個基 ，求,在基 下的坐標.,在 下的坐標為,1 線性空間,變換矩陣,是 的兩個基，這兩個基之間有什么關(guān)系,？,稱 為基 到 的變換矩陣(過渡矩陣),定義,設(shè) ,記 ，則有 ,1 線性空間,重要性質(zhì)：基 到基 的變換矩陣 是滿秩 矩

6、陣,推論：設(shè)基 到基 的變換矩陣為 ， 則 到 的變換矩陣為,設(shè) 是基 到 的變換矩陣，即有 = P,在兩個基下有 =x =y,坐標變換公式,1 線性空間,例 6,已知 的兩個基是：,試求1 到 2 的變換矩陣 .,1 , 2,1 線性空間,例 7,試求1 到 2的變換矩陣 ；,及 在基1 ， 2下的坐標.,取 的兩個基 1 ， 2,定義 設(shè)V 為線性空間， 是V 的子集,如果W 中的元按V 中的運算也構(gòu)成線性空間，則稱 W 為V 的線性子空間(簡稱子空間)，記為,1 線性空間,子空間,易知,稱 為平凡子空間,問, 單個零向量線性相關(guān), 不含線性無關(guān)向量,有,1 線性空間,例 8,給定 ，且

7、.令,dim(A) =rankA = r,dim(A) = n - rankA = n - r,1 線性空間,張成的子空間,例 9,設(shè) 是線性空間V 的一向量 組，記,則 是V 的子空間，稱為由 張成的子空間.,1 線性空間, 設(shè),則,(A),1 線性空間,基擴張定理,定理,設(shè) 是V n 中一組線性無關(guān)向量，則存在V n中 個向量 ，使得 構(gòu)成V n的基.,1 線性空間,子空間的交及和空間,定義,設(shè) ，令,稱 為 與 的交， 稱 為 與 的和.,1 線性空間,易知：, 都是 的子空間，分別稱為 與 的交空間及和空間., 的交與集合運算中的“交”相同，而 的和與集合運算中的“并”不相同.,1 線性空間,例 10,中的和空間與交空間：,且,則,設(shè) 是 中不平行的兩個平面,平面 與 的交線,問,對一般的V n是否有,？,1 線性空間,維數(shù)公式,定理,設(shè) 是線性空間V n的子空間，則有,例 11,設(shè) 的兩個子空間：,求 及 的基和維數(shù).,1 線性空間,但表示法可能不唯一.,有,也可表為,則 可表為,例 設(shè),1 線性空間,子空間的直和,定義,若 只有唯一分解式,則稱 為 的 直和，記為,問,在什么條件下,？,1 線性空間,定理 下列條件等價,1 線性