數(shù)列,通項(xiàng)公式方法,求前n項(xiàng)和例題講解和方法總結(jié)

1、數(shù)列的通項(xiàng)公式1.通項(xiàng)公式 如果數(shù)列的第n項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)n之間的函數(shù)關(guān)系可以用一個(gè)公式來表達(dá)，叫做數(shù)列的通項(xiàng)公式。2.數(shù)列的遞推公式 （1）如果已知數(shù)列的第一項(xiàng)，且任一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來表示。 （2）遞推公式是數(shù)列所特有的表示方法，它包含兩部分，一是遞推關(guān)系，二是初始條件，二者缺一不可3.數(shù)列的前n項(xiàng)和與數(shù)列通項(xiàng)公式的關(guān)系 數(shù)列的前n項(xiàng)之和，叫做數(shù)列的前n項(xiàng)和，用表示，即 與通項(xiàng)的關(guān)系是4.求數(shù)列通項(xiàng)公式的常用方法有：(前6種常用，特別是2,5,6)1）、公式法，用等差數(shù)列或等比數(shù)列的定義求通項(xiàng)2）前n項(xiàng)和與的關(guān)系法， 求解. (注意：求完后一定要考慮合并通項(xiàng))3）、累（疊）加

2、法：形如4）. 累（疊）乘法：形如 5）.待定系數(shù)法 ：形如a=p a+q（p1，pq0），（設(shè)a+k=p（a+k）構(gòu)造新的等比數(shù)列）6) 倒數(shù)法 ：形如（兩邊取倒，構(gòu)造新數(shù)列，然后用待定系數(shù)法或是等差數(shù)列）7). 對(duì)數(shù)變換法 ：形如，（然后用待定系數(shù)法或是等差數(shù)列）8).除冪構(gòu)造法: 形如 (然后用待定系數(shù)法或是等差數(shù)列)9). 歸納猜想證明”法直接求解或變形都比較困難時(shí)，先求出數(shù)列的前面幾項(xiàng)，猜測(cè)出通項(xiàng)，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明的方法就是“歸納猜想證明”法遞推數(shù)列問題成為高考命題的熱點(diǎn)題型，對(duì)于由遞推式所確定的數(shù)列通項(xiàng)公式問題，通?？蓪?duì)遞推式的變形轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列.下面將以常見的幾種遞

3、推數(shù)列入手，談?wù)劥祟悢?shù)列的通項(xiàng)公式的求法. 通項(xiàng)公式方法及典型例題1.前n項(xiàng)和與的關(guān)系法例1、已知下列兩數(shù)列的前n項(xiàng)和sn的公式，求的通項(xiàng)公式。（1）(1)sn2n23n； （2）解： (1)a1s1231，當(dāng)n2時(shí)，ansnsn1(2n23n)2(n1)23(n1)4n5，由于a1也適合此等式，an4n5. （1）， 當(dāng)時(shí)=3經(jīng)驗(yàn)證也滿足上式 =3（2），當(dāng)時(shí)， 由于不適合于此等式 。 (點(diǎn)評(píng)：要先分n=1和兩種情況分別進(jìn)行運(yùn)算，然后驗(yàn)證能否統(tǒng)一。)2.累加法: 型 2.在數(shù)列an中，a11，an1an2n；解:由an1an2n，把n1,2,3，n1(n2)代入，得(n1)個(gè)式子，累加即可得

4、(a2a1)(a3a2)(anan1)222232n1，所以ana1，即ana12n2，所以an2n2a12n1.當(dāng)n1時(shí)，a11也符合， 所以an2n1(nn*)3.累乘法 型，3. 已知數(shù)列中滿足a1=1，求的通項(xiàng)公式.解： . a1=*1= 4.待定系數(shù)法: a=p a+q（p1，pq0）型，通過分解常數(shù)，可轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列a+k的形式求解。解法：設(shè)a+k=p（a+k）與原式比較系數(shù)可得pkk=q，即k=，從而得等比數(shù)列a+k。4.在數(shù)列an中，a13，an12an1.由an12an1得an112(an1)，令bnan1，所以bn是以2為公比的等比數(shù)列所以bnb12n1(a11)2n12n

5、1， 所以anbn12n11(nn*)5.倒數(shù)變換法、形如的分式關(guān)系的遞推公式，分子只有一項(xiàng)（兩邊取倒，再分離常數(shù)化成求解）然后用待定系數(shù)法或是等差數(shù)列例5. 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：由 得是以首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列 考點(diǎn)六、構(gòu)造法 .形如 然后用待定系數(shù)法或是等差數(shù)列6、已知數(shù)列滿足求an解：將兩邊同除，得，變形為設(shè)，則所以，數(shù)列為首項(xiàng)，為公差的等比數(shù)列因，所以= 得=求數(shù)列的通項(xiàng)公式一、數(shù)列通項(xiàng)公式的求法1、觀察法觀察數(shù)列中各項(xiàng)與其序號(hào)間的關(guān)系，分解各項(xiàng)中的變化部分與不變部分，再探索各項(xiàng)中變化部分與序號(hào)間的關(guān)系，從而歸納出構(gòu)成規(guī)律寫出通項(xiàng)公式例、由數(shù)列的前幾項(xiàng)寫通項(xiàng)公式（1）

6、1，3，5，7，9 （2）9，99，999，9999， （3）2、定義法：當(dāng)已知數(shù)列為等差或等比數(shù)列時(shí)，可直接利用等差或等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，只需求得首項(xiàng)及公差或公比。這種方法適應(yīng)于已知數(shù)列類型的題目 例（1）已知是一個(gè)等差數(shù)列，且。求的通項(xiàng).；（2）已知數(shù)列為等比數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）已知等比數(shù)列，若，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。（4）數(shù)列中，求的通項(xiàng)公式（5）已知數(shù)列滿足，求的通項(xiàng)公式（6）已知數(shù)列中, ,且當(dāng)時(shí),則 ; . 3、公式法：已知數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，求通項(xiàng)公式的基本方法是：注意：要先分n=1和n2 兩種情況分別進(jìn)行運(yùn)算，然后驗(yàn)證能否統(tǒng)一。例（1）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，求的通項(xiàng)公式。（

7、2）已知數(shù)列中, ,則 .（3）已知數(shù)列前n項(xiàng)和，求的通項(xiàng)公式4 累加法：利用求通項(xiàng)公式的方法稱為累加法。累加法是求型如的遞推數(shù)列通項(xiàng)公式的基本方法（可求前項(xiàng)和）.反思:用累加法求通項(xiàng)公式的關(guān)鍵是將遞推公式變形為.例.（1）數(shù)列中，求的通項(xiàng)公式 （2）在數(shù)列中， ， 求數(shù)列的通項(xiàng)公式？5、 累乘法:利用恒等式求通項(xiàng)公式的方法稱為累乘法,累乘法是求型如: 的遞推數(shù)列通項(xiàng)公式的基本方法(數(shù)列可求前項(xiàng)積).例（1）已知數(shù)列的首項(xiàng)，且，求數(shù)列的通項(xiàng)公式（2）已知數(shù)列的首項(xiàng)，求數(shù)列的通項(xiàng)6、 湊配法（也叫構(gòu)造新數(shù)列）: 將遞推公式（為常數(shù)，）通過與原遞推公式恒等變成的方法叫湊配法（構(gòu)造新數(shù)列.）例（1）

8、數(shù)列中，求的通項(xiàng)公式（2）已知數(shù)列中, ,求的通項(xiàng)公式7、 倒數(shù)變換：將遞推數(shù)列,取倒數(shù)變成 的形式的方法叫倒數(shù)變換.例（1）在數(shù)列中, , 求數(shù)列的通項(xiàng)公式？求前n項(xiàng)和的方法 (1)公式法等差數(shù)列前n項(xiàng)和sn_，推導(dǎo)方法：_；等比數(shù)列前n項(xiàng)和sn推導(dǎo)方法：乘公比，錯(cuò)位相減法常見數(shù)列的前n項(xiàng)和：a123n_； b2462n_；c135(2n1)_；de (2)分組求和有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開，可以分為幾個(gè)等差或者等比數(shù)列或者常見的數(shù)列，即可以分別求和，然后再合并；(3)裂項(xiàng)(相消)法：有時(shí)把一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式分成兩項(xiàng)差的形式，相加過程消去中間項(xiàng)，只剩有限

9、項(xiàng)再求和常見的裂項(xiàng)公式有：_x0001_ ； ；. (4)錯(cuò)位相減：適用于一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)相乘構(gòu)成的數(shù)列求和這種方法主要用于求數(shù)列的前n項(xiàng)和，其中和分別是 和 ；(5)倒序相加：例如，等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)考點(diǎn)二、分組求和法： 2.求數(shù)列的前n項(xiàng)和。 考點(diǎn)三、.裂項(xiàng)相消法： 3. 求數(shù)列的前n項(xiàng)和.解：設(shè) （裂項(xiàng)）則 （裂項(xiàng)求和） 考點(diǎn)四、錯(cuò)位相減法：4. 求數(shù)列前n項(xiàng)的和.解：由題可知，的通項(xiàng)是等差數(shù)列2n的通項(xiàng)與等比數(shù)列的通項(xiàng)之積設(shè) （設(shè)制錯(cuò)位,乘以公比）_x0001_ - 得 （錯(cuò)位相減） 考點(diǎn)五、倒序相加法：5. 求的值解：設(shè). 將式右邊反序得 .（反序） 又因?yàn)?

10、+得 （反序相加）89 s44.5數(shù)列求和練習(xí)1、已知an是首項(xiàng)為19，公差為2的等差數(shù)列，sn為an的前n項(xiàng)和(1)求通項(xiàng)an及sn；(2)設(shè)bnan是首項(xiàng)為1，公差為3的等差數(shù)列，求bn的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和tn.3、已知等差數(shù)列an中，a5a9a710，記sna1a2an，則s13的值為()a. 130 b. 260 c. 156 d. 1684. 在數(shù)列an中，an4n，a1a2anan2bn，nn+，其中a，b為常數(shù)，則ab_.二、錯(cuò)位相減法這種方法是在推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，這種方法主要用于求數(shù)列anbn的前n項(xiàng)和，其中 an 、 bn 分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列.2設(shè)

11、數(shù)列的前n項(xiàng)和為，為等比數(shù)列，且 （）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式； （）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.例2已知數(shù)列的首項(xiàng)，（）證明：數(shù)列是等比數(shù)列； （）數(shù)列的前項(xiàng)和2設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，為等比數(shù)列，且 （）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式； （）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.三、分組法有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開，可分為幾個(gè)等差、等比或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可.2、已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則它的前n項(xiàng)的和 3：求數(shù)列的前n項(xiàng)和。四、裂項(xiàng)相消法求和例1 在數(shù)列an中，又，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)的和.練習(xí)1、設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)的和為，點(diǎn)均在函數(shù)的圖像上（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （2）設(shè)是數(shù)列的前

12、n項(xiàng)的和，求3、數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則它的前10項(xiàng)的和= 4、5已知數(shù)列是等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為（i）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （ii）求和：. 等差 等比 應(yīng)用 例1.在等差數(shù)列中，則 .練習(xí)1.設(shè)為等差數(shù)列，公差d = -2，為其前n項(xiàng)和.若，則=（ ）a.18 b.20 c.22 d.242.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，=5，=10，則=（ ）(a) (b) 7 (c) 6 (d) 3.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且 =6，=4， 則公差d_4. 等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn，若a12，s312，則a6_5. 數(shù)列an是等差數(shù)列，若a11，a33，a55構(gòu)成公比為q的等比數(shù)列，則q_.6.正項(xiàng)等比數(shù)列=

13、 。7.等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,已知,則(a) (b) (c) (d)8.已知等差數(shù)列的公差為3，若成等比數(shù)列，則等于（ ） a9 b3c -3 d-99. 設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,則 ( )a.3 b.4 c.5 d.610.已知數(shù)列為等差數(shù)列，且，那么則等于（ ）（a） （b） （c） （d）11.知數(shù)列為等差數(shù)列，是它的前項(xiàng)和.若，則( ) a10 b16 c20 d2412.在等比數(shù)列中，首項(xiàng)，則公比為 .13. 若等差數(shù)列的前6項(xiàng)和為23,前9項(xiàng)和為57,則數(shù)列的前項(xiàng)和_.14 等比數(shù)列中,公比,記(即表示數(shù)列的前 項(xiàng)之積),取最大值時(shí)n的值為（）a8b9c9或10d11 數(shù)列大題訓(xùn)練1、

14、已知等差數(shù)列滿足：，的前n項(xiàng)和為（）求及；（）令bn=(nn*)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和2函數(shù)對(duì)任意都有(1)求和的值(2)數(shù)列滿足：數(shù)列是等差數(shù)列嗎？請(qǐng)給予證明3已知數(shù)列滿足是首項(xiàng)為1、公比為的等比數(shù)列(1)求的表達(dá)式； (2)如果 求數(shù)列的前n項(xiàng)和4、數(shù)列的前項(xiàng)和記為 （）求的通項(xiàng)公式；（）等差數(shù)列各項(xiàng)為正，前項(xiàng)和為，又成等比數(shù)列，求. 5、已知數(shù)列是等差數(shù)列，且，是數(shù)列的前項(xiàng)和 ()求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和；() 若數(shù)列滿足，且是數(shù)列的前項(xiàng)和，求與6 設(shè)是正數(shù)組成的數(shù)列，其前n項(xiàng)和為 并且對(duì)于所有的自然數(shù)與2的等差中項(xiàng)等于與2的等比中項(xiàng) (1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)令 求證：7、已知數(shù)列是等

15、差數(shù)列， ；數(shù)列的前n項(xiàng)和是，且() 求數(shù)列的通項(xiàng)公式； () 求證：數(shù)列是等比數(shù)列；() 記，求的前n項(xiàng)和8.已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿足，其中（i）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （ii）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和為9.已知數(shù)列的首項(xiàng)為，前項(xiàng)和，且數(shù)列是公差為的等差數(shù)列（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和10、已知數(shù)列滿足 （1）求的通項(xiàng)公式；（2）證明：.11.已知數(shù)列的前項(xiàng)和是，且 （1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （2）設(shè)，求適合方程 的正整數(shù)的值 數(shù)列大題訓(xùn)練( 答案 ) 1、【解析】（）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，因?yàn)?，所以有，解得，所以?。（）由（）知，所以bn=，所以=，即數(shù)列的前n項(xiàng)和=2(1)因?yàn)?故令得 即(2) ：而兩式相加得所以 又故數(shù)列是等差數(shù)列3(1) 當(dāng)時(shí)， 故即 (2)因故 一得 故 又故4、解：（）由可得，兩式相減得：，又 故是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列 （）設(shè)的公比為，由得，可得，可得故可設(shè)，又，由題意可得，解得等差數(shù)列的各項(xiàng)為正， 5、()設(shè)數(shù)列的公差為，由題意可知：,解得: 3分 5分 6(1)由題意可知：整理得 所以故整理得：由題意知 而 故即數(shù)列為等差數(shù)列，其中 故(2)令 則故故7、解：()設(shè)的公差為，則