《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》課件之20.ppt

1、第七章,參數(shù)估計,7-1,第七章,參數(shù)估 計問題,假設(shè)檢 驗問題,點 估 計,區(qū)間估 計,7-2,什么是參數(shù)估計？,參數(shù)是刻畫總體某方面概率特性的數(shù)量.,當(dāng)此數(shù)量未知時,從總體抽出一個樣本， 用某種方法對這個未知參數(shù)進(jìn)行估計就 是參數(shù)估計.,例如，X N ( , 2),若, 2未知, 通過構(gòu)造樣本的函數(shù), 給出 它們的估計值或取值范圍就是參數(shù)估計 的內(nèi)容.,參數(shù)估計的類型,點估計 估計未知參數(shù)的值,區(qū)間估計 估計未知參數(shù)的取值范圍， 并使此范圍包含未知參數(shù) 真值的概率為給定的值.,7.1 點估計方法,點估計的思想方法,設(shè)總體X 的分布函數(shù)的形式已知, 但含有一個或多個未知參數(shù)：1,2, ,k,

2、設(shè) X1, X2, Xn為總體的一個樣本,構(gòu)造 k 個統(tǒng)計量：,隨機(jī)變量,7-5,7.1,當(dāng)測得樣本值(x1, x2, xn)時,代入上述 統(tǒng)計量，即可得到 k 個數(shù)：,數(shù) 值,如何構(gòu)造統(tǒng)計量？,如何評價估計量的好壞？,7-6,方法,用樣本 k 階矩作為總體 k 階矩的估計量, 建立含有待估參數(shù)的方程, 從而解出待估參數(shù),7-9,一般, 不論總體服從什么分布, 總體期望 與方差 2 存在, 則它們的矩估計量分別為,矩法,法二,兩種常用的點估計方法,7-10,事實上，按矩法原理，令,7-11,設(shè)待估計的參數(shù)為,設(shè)總體的 r 階矩存在，記為,樣本 X1, X2, Xn 的 r 階矩為,令, 含未知

3、參數(shù) 1,2, ,k 的方程組,7-12,解方程組 , 得 k 個統(tǒng)計量：,未知參數(shù) 1, ,k 的矩估計量,代入一組樣本值得 k 個數(shù):,未知參數(shù) 1, ,k 的矩估計值,例2 設(shè)總體 X N ( , 2 ), X1, X2, Xn為 總體的樣本, 求 , 2 的矩法估計量.,解,例3 設(shè)總體 X E(), X1, X2, Xn為總體的 樣本, 求 的矩法估計量.,解,令,7-13,故,例23,例4 設(shè)從某燈泡廠某天生產(chǎn)的燈泡中隨機(jī) 抽取10只燈泡，測得其壽命為(單位:小時) 1050, 1100, 1080, 1120, 1200 1250, 1040, 1130, 1300, 1200

4、試用矩法估計該廠這天生產(chǎn)的燈泡的平均 壽命及壽命分布的方差.,解,7-14,例4,例5 設(shè)總體 X U (a, b), a, b 未知, 求參數(shù) a, b 的 矩法估計量.,解,由于,令,7-15,例5,解得,7-16,極大似然估計法,思想方法：一次試驗就出現(xiàn)的 事件有較大的概率,例如: 有兩外形相同的箱子,各裝100個球 一箱 99個白球 1 個紅球 一箱 1 個白球 99個紅球,現(xiàn)從兩箱中任取一箱, 并從箱中任取一球, 結(jié)果所取得的球是白球.,答: 第一箱.,7-17,問: 所取的球來自哪一箱？,法三,例6 設(shè)總體 X 服從0-1分布,且P (X = 1) = p, 用極大似然法求 p 的

5、估計值.,解,總體 X 的概率分布為,設(shè) x1, x2, xn為總體樣本X1, X2, Xn 的樣本值,則,7-18,例6,對于不同的 p , L (p)不同, 見右下圖,現(xiàn)經(jīng)過一次試驗，,7-19,在容許范圍內(nèi)選擇 p ，使L(p)最大,注意到，ln L(p)是 L 的單調(diào)增函數(shù),故若 某個p 使ln L(p)最大, 則這個p 必使L(p)最大。,7-20,一般, 設(shè) X 為離散型隨機(jī)變量, 其分布律為,則樣本 X1, X2, Xn的概率分布為,7-21,或,稱 L( ) 為樣本的似然函數(shù),稱這樣得到的,為參數(shù) 的極大似然估計值,稱統(tǒng)計量,為參數(shù) 的極大似然估計量,7-22,極大似然法的思想,若 X 連續(xù), 取 f (xi, )為Xi 的密度函數(shù),似然函數(shù)為,7-23,注1,注2,未知參數(shù)可以不止一個, 如1, k,設(shè)X 的密度(或分布)為,則定義似然函數(shù)為,為似然方程組,若對于某組給定的樣本值 x1, x2, xn， 參數(shù) 使似然函數(shù)取得最大值, 即,7-24,顯然，,稱統(tǒng)計量,為1, 2, k 的極大似然估計量,7-25,例7 設(shè)總體 X N (, 2), x1, x2, xn 是 X 的樣本值, 求 , 2 的極大似然估計.,解,7-26,例7, 2 的極大似然估計量分別為,7-27,極大似然估計方法,1） 寫出似然函