高三數(shù)學(xué)一輪 9.7 雙曲線導(dǎo)學(xué)案 理 北師大版

1、學(xué)案52雙曲線導(dǎo)學(xué)目標(biāo)： 1.了解雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程，知道它們的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì).2.理解數(shù)形結(jié)合的思想自主梳理1雙曲線的概念平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)P與兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2(|F1F2|2c0)的距離之差的絕對(duì)值為常數(shù)2a(2a0，c0；(1)當(dāng)_時(shí)，P點(diǎn)的軌跡是_；(2)當(dāng)_時(shí)，P點(diǎn)的軌跡是_；(3)當(dāng)_時(shí)，P點(diǎn)不存在2雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程1(a0，b0)1(a0，b0)圖形性質(zhì)范圍xa或xa，yRxR，ya或ya對(duì)稱(chēng)性對(duì)稱(chēng)軸：坐標(biāo)軸對(duì)稱(chēng)中心：原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)軸：坐標(biāo)軸對(duì)稱(chēng)中心：原點(diǎn)頂點(diǎn)頂點(diǎn)坐標(biāo)：A1(a,0)，A2(a,0)頂點(diǎn)坐標(biāo)：A1(0，a)，A2(0，a)漸近線yxyx離心率e，

2、e(1，)，其中c實(shí)虛軸線段A1A2叫做雙曲線的實(shí)軸，它的長(zhǎng)|A1A2|2a；線段B1B2叫做雙曲線的虛軸，它的長(zhǎng)|B1B2|2b；a叫做雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)，b叫做雙曲線的虛半軸長(zhǎng)a、b、c的關(guān)系c2a2b2 (ca0，cb0)3.實(shí)軸長(zhǎng)和虛軸長(zhǎng)相等的雙曲線為_(kāi)，其漸近線方程為_(kāi)，離心率為_(kāi)自我檢測(cè)1(2011安徽)雙曲線2x2y28的實(shí)軸長(zhǎng)是()A2 B2C4 D42已知雙曲線1 (b0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，其中一條漸近線方程為yx，點(diǎn)P(，y0)在該雙曲線上，則等于()A12 B2C0 D43(2011課標(biāo)全國(guó))設(shè)直線l過(guò)雙曲線C的一個(gè)焦點(diǎn)，且與C的一條對(duì)稱(chēng)軸垂直，l與C交于A，B

3、兩點(diǎn)，|AB|為C的實(shí)軸長(zhǎng)的2倍，則C的離心率為()A. B.C2 D34(2011武漢調(diào)研)已知點(diǎn)(m，n)在雙曲線8x23y224上，則2m4的范圍是_5已知A(1,4)，F(xiàn)是雙曲線1的左焦點(diǎn)，P是雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)，求|PF|PA|的最小值探究點(diǎn)一雙曲線的定義及應(yīng)用例1已知定點(diǎn)A(0,7)，B(0，7)，C(12,2)，以C為一個(gè)焦點(diǎn)作過(guò)A，B的橢圓，求另一焦點(diǎn)F的軌跡方程變式遷移1已知?jiǎng)訄AM與圓C1：(x4)2y22外切，與圓C2：(x4)2y22內(nèi)切，求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程探究點(diǎn)二求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程例2已知雙曲線的一條漸近線方程是x2y0，且過(guò)點(diǎn)P(4,3)，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程變式遷

4、移2(2011安慶模擬)已知雙曲線與橢圓1的焦點(diǎn)相同，且它們的離心率之和等于，則雙曲線的方程為_(kāi)探究點(diǎn)三雙曲線幾何性質(zhì)的應(yīng)用例3已知雙曲線的方程是16x29y2144.(1)求此雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)、離心率和漸近線方程；(2)設(shè)F1和F2是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上，且|PF1|PF2|32，求F1PF2的大小變式遷移3已知雙曲線C：y21.(1)求雙曲線C的漸近線方程；(2)已知M點(diǎn)坐標(biāo)為(0,1)，設(shè)P是雙曲線C上的點(diǎn)，Q是點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)記，求的取值范圍方程思想的應(yīng)用例(12分)過(guò)雙曲線1的右焦點(diǎn)F2且傾斜角為30的直線交雙曲線于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)1為左焦點(diǎn)(1)求|A

5、B|；(2)求AOB的面積；(3)求證：|AF2|BF2|AF1|BF1|.多角度審題(1)要求弦長(zhǎng)|AB|需要A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)或設(shè)而不求利用弦長(zhǎng)公式，這就需要先求直線AB；(2)在(1)的基礎(chǔ)上只要求點(diǎn)到直線的距離；(3)要充分聯(lián)想到A、B兩點(diǎn)在雙曲線上這個(gè)條件【答題模板】(1)解由雙曲線的方程得a，b，c3，F(xiàn)1(3,0)，F(xiàn)2(3,0)直線AB的方程為y(x3)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由，得5x26x270.2分x1x2，x1x2，|AB|x1x2|.4分(2)解直線AB的方程變形為x3y30.原點(diǎn)O到直線AB的距離為d.6分SAOB|AB|d.8分(3)證明如圖，由雙曲線的

6、定義得|AF2|AF1|2，|BF1|BF2|2，10分|AF2|AF1|BF1|BF2|，即|AF2|BF2|AF1|BF1|.12分【突破思維障礙】寫(xiě)出直線方程，聯(lián)立直線方程、雙曲線方程，消元得關(guān)于x的一元二次方程，利用弦長(zhǎng)公式求|AB|，再求點(diǎn)O到直線AB的距離從而求面積，最后利用雙曲線的定義求證等式成立【易錯(cuò)點(diǎn)剖析】在直線和雙曲線相交的情況下解題時(shí)易忽視消元后的一元二次方程的判別式0，而導(dǎo)致錯(cuò)解1區(qū)分雙曲線中的a，b，c大小關(guān)系與橢圓中a，b，c的大小關(guān)系，在橢圓中a2b2c2，而在雙曲線中c2a2b2；雙曲線的離心率大于1，而橢圓的離心率e(0,1)2雙曲線1 (a0，b0)的漸近線

7、方程是yx，1 (a0，b0)的漸近線方程是yx.3雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的求法：(1)定義法，根據(jù)題目的條件，判斷是否滿(mǎn)足雙曲線的定義，若滿(mǎn)足，求出相應(yīng)的a、b、c，即可求得方程(2)待定系數(shù)法，其步驟是：定位：確定雙曲線的焦點(diǎn)在哪個(gè)坐標(biāo)軸上；設(shè)方程：根據(jù)焦點(diǎn)的位置設(shè)出相應(yīng)的雙曲線方程；定值：根據(jù)題目條件確定相關(guān)的系數(shù)(滿(mǎn)分：75分)一、選擇題(每小題5分，共25分)1已知M(2,0)、N(2,0)，|PM|PN|3，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是()A雙曲線 B雙曲線左邊一支C雙曲線右邊一支 D一條射線2設(shè)點(diǎn)P在雙曲線1上，若F1、F2為雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，且|PF1|PF2|13，則F1PF2的周長(zhǎng)等于()A2

8、2 B16 C14 D123(2011寧波高三調(diào)研)過(guò)雙曲線1 (a0，b0)的右焦點(diǎn)F作圓x2y2a2的切線FM(切點(diǎn)為M)，交y軸于點(diǎn)P.若M為線段FP的中點(diǎn)，則雙曲線的離心率為()A. B. C2 D.4雙曲線1的左焦點(diǎn)為F1，左、右頂點(diǎn)分別為A1、A2，P是雙曲線右支上的一點(diǎn)，則分別以PF1和A1A2為直徑的兩圓的位置關(guān)系是()A相交 B相離 C相切 D內(nèi)含5(2011山東)已知雙曲線1(a0，b0)的兩條漸近線均和圓C：x2y26x50相切，且雙曲線的右焦點(diǎn)為圓C的圓心，則該雙曲線的方程為()A.1 B.1C.1 D.1二、填空題(每小題4分，共12分)6(2011上海)設(shè)m是常數(shù)，

9、若點(diǎn)F(0,5)是雙曲線1的一個(gè)焦點(diǎn)，則m_.7設(shè)圓過(guò)雙曲線1的一個(gè)頂點(diǎn)和一個(gè)焦點(diǎn)，圓心在此雙曲線上，則此圓心到雙曲線中心的距離為_(kāi)8(2011銅陵期末)已知以雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)及虛軸的兩個(gè)端點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形中，有一個(gè)內(nèi)角為60，則雙曲線C的離心率為_(kāi)三、解答題(共38分)9(12分)根據(jù)下列條件，求雙曲線方程：(1)與雙曲線1有共同的漸近線，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3，2)；(2)與雙曲線1有公共焦點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)(3，2)10(12分)(2011廣東)設(shè)圓C與兩圓(x)2y24，(x)2y24中的一個(gè)內(nèi)切，另一個(gè)外切(1)求圓C的圓心軌跡L的方程；(2)已知點(diǎn)M(，)，F(xiàn)(，0)，且P為L(zhǎng)上動(dòng)點(diǎn)，求|MP|F

10、P|的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)11(14分)(2010四川)已知定點(diǎn)A(1,0)，F(xiàn)(2,0)，定直線l：x，不在x軸上的動(dòng)點(diǎn)P與點(diǎn)F的距離是它到直線l的距離的2倍設(shè)點(diǎn)P的軌跡為E，過(guò)點(diǎn)F的直線交E于B、C兩點(diǎn)，直線AB、AC分別交l于點(diǎn)M、N.(1)求E的方程；(2)試判斷以線段MN為直徑的圓是否過(guò)點(diǎn)F，并說(shuō)明理由學(xué)案52雙曲線自主梳理1雙曲線焦點(diǎn)焦距(1)ac3.等軸雙曲線yxe自我檢測(cè)1C2x2y28，1，a2，2a4.2C3B設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(a0，b0)，由于直線l過(guò)雙曲線的焦點(diǎn)且與對(duì)稱(chēng)軸垂直，因此直線l的方程為l：xc或xc，代入1得y2b2(1)，y，故|AB|，依題意4a，

11、2，e212，e.4(，4242，)5解設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為F1，則由雙曲線的定義可知|PF|2a|PF1|4|PF1|，|PF|PA|4|PF1|PA|.當(dāng)滿(mǎn)足|PF1|PA|最小時(shí)，|PF|PA|最小由雙曲線的圖象可知當(dāng)點(diǎn)A、P、F1共線時(shí)，滿(mǎn)足|PF1|PA|最小，易求得最小值為|AF1|5，故所求最小值為9.課堂活動(dòng)區(qū)例1解題導(dǎo)引求曲線的軌跡方程時(shí)，應(yīng)盡量地利用幾何條件探求軌跡的曲線類(lèi)型，從而再用待定系數(shù)法求出軌跡的方程，這樣可以減少運(yùn)算量，提高解題速度與質(zhì)量在運(yùn)用雙曲線的定義時(shí)，應(yīng)特別注意定義中的條件“差的絕對(duì)值”，弄清所求軌跡是整條雙曲線，還是雙曲線的一支，若是一支，是哪一支，以確保

12、軌跡的純粹性和完備性解設(shè)F(x，y)為軌跡上的任意一點(diǎn)，因?yàn)锳，B兩點(diǎn)在以C，F(xiàn)為焦點(diǎn)的橢圓上，所以|FA|CA|2a，|FB|CB|2a(其中a表示橢圓的長(zhǎng)半軸)所以|FA|CA|FB|CB|.所以|FA|FB|CB|CA|2.所以|FA|FB|2.由雙曲線的定義知，F(xiàn)點(diǎn)在以A，B為焦點(diǎn)，2為實(shí)軸長(zhǎng)的雙曲線的下半支上所以點(diǎn)F的軌跡方程是y21 (y1)變式遷移1解設(shè)動(dòng)圓M的半徑為r，則由已知得，|MC1|r，|MC2|r，|MC1|MC2|2，又C1(4,0)，C2(4,0)，|C1C2|8.20時(shí)，焦點(diǎn)在x軸上；當(dāng)0時(shí)，焦點(diǎn)在y軸上解方法一雙曲線的一條漸近線方程為x2y0，當(dāng)x4時(shí)，y20

13、，b0)，且c4，所以ac2，a24，b2c2a212，于是雙曲線的方程為1.例3解題導(dǎo)引雙曲線問(wèn)題與橢圓問(wèn)題類(lèi)似，因而研究方法也有許多相似之處，如利用“定義”“方程觀點(diǎn)”“直接法或待定系數(shù)法求曲線方程”“數(shù)形結(jié)合”等解(1)由16x29y2144，得1，a3，b4，c5.焦點(diǎn)坐標(biāo)F1(5,0)，F(xiàn)2(5,0)，離心率e，漸近線方程為yx.(2)|PF1|PF2|6，cosF1PF20，F(xiàn)1PF290.變式遷移3解(1)因?yàn)閍，b1，且焦點(diǎn)在x軸上，所以漸近線方程為yx0，yx0.(2)設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0)，則Q的坐標(biāo)為(x0，y0)，(x0，y01)(x0，y01)xy1x2.|x0|

14、，的取值范圍是(，1課后練習(xí)區(qū)1C2.A3.A4.C5A雙曲線1的漸近線方程為yx，圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x3)2y24，圓心為C(3,0)又漸近線方程與圓C相切，即直線bxay0與圓C相切，2，5b24a2.又1的右焦點(diǎn)F2(，0)為圓心C(3,0)，a2b29.由得a25，b24.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.616解析由已知條件有52m9，所以m16.7.8.9解(1)方法一由題意可知所求雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，(2分)設(shè)雙曲線的方程為1，由題意，得解得a2，b24.(4分)所以雙曲線的方程為x21.(6分)方法二設(shè)所求雙曲線方程 (0)，(2分)將點(diǎn)(3,2)代入得，(4分)所以雙曲線方程為，即x2

15、1.(6分)(2)設(shè)雙曲線方程為1.由題意c2.(8分)又雙曲線過(guò)點(diǎn)(3，2)，1.又a2b2(2)2，a212，b28.(10分)故所求雙曲線的方程為1.(12分)10解(1)設(shè)圓C的圓心坐標(biāo)為(x，y)，半徑為r.圓(x)2y24的圓心為F1(，0)，半徑為2，圓(x)2y24的圓心為F(，0)，半徑為2.由題意得或|CF1|CF|4.(4分)|F1F|24.圓C的圓心軌跡是以F1 (，0)，F(xiàn)(，0)為焦點(diǎn)的雙曲線，其方程為y21.(6分)(2)由圖知，|MP|FP|MF|，當(dāng)M，P，F(xiàn)三點(diǎn)共線，且點(diǎn)P在MF延長(zhǎng)線上時(shí)，|MP|FP|取得最大值|MF|，(8分)且|MF|2.(9分)直線MF的方程為y2x2，與雙曲線方程聯(lián)立得整理得15x232x840.解得x1(舍去)，x2.此時(shí)y.(11分)當(dāng)|MP|FP|取得最大值2時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(，)(12分)11解(1)設(shè)P(x，y)，則2，化簡(jiǎn)得x21(y0)(5分)(2)當(dāng)直線BC與x軸不垂直時(shí)，設(shè)BC的方程為yk(x2) (k0)，與雙曲線