勾股定理·

1、17.1 勾股定理（1）,相傳2500年前，畢達(dá)哥拉斯有一次在朋友家作客時(shí)，發(fā)現(xiàn)朋友家用磚鋪成的地面圖案反映了直角三角形三邊的某種數(shù)量關(guān)系,我們也來(lái)觀察右圖中的地面圖案，看看能發(fā)現(xiàn)些什么？,重溫偉大的發(fā)現(xiàn),（圖中每一格代表一平方厘米）,觀察左圖： （1）正方形P的面積是 平方厘米。,（2）正方形Q的面積是 平方厘米。,（3）正方形R的面積是 平方厘米。,1,2,1,SP+SQ=SR,R,Q,P,A,C,B,AC2+BC2=AB2,重溫偉大的發(fā)現(xiàn),上面三個(gè)正方形的面積之間有什么關(guān)系？,上面三角形ABC三邊之間有什么關(guān)系？,把R看作是大正方形面積減去四個(gè)直角三角形的面積。,（圖中每一格代表一平方厘

2、米）,重溫偉大的發(fā)現(xiàn),把R看作是小正方形面積加上四個(gè)直角三角形的面積。,（圖中每一格代表一平方厘米）,重溫偉大的發(fā)現(xiàn),R,Q,P,（圖中每一格代表一平方厘米）,觀察左圖： （1）正方形P的面積是 平方厘米。,（2）正方形Q的面積是 平方厘米。,（3）正方形R的面積是 平方厘米。,9,方法二,16,25,（1）你能用直角三角形的邊長(zhǎng)表示上述正方形的面積嗎？ （2）你能發(fā)現(xiàn)直角三角形三邊長(zhǎng)度之間存在什么關(guān)系嗎？,SQ=AC2, SP=BC2, SR=AB2,方法一,AC2+BC2=AB2,SQ+SP=SR,重溫偉大的發(fā)現(xiàn),在下圖中用三角尺畫(huà)出兩條直角邊分別為5cm、 12cm的直角三角形，然后用刻

3、度尺量出斜邊的長(zhǎng)，并驗(yàn)證上述關(guān)系對(duì)這個(gè)直角三角形是否成立。,52+122=132,重溫偉大的發(fā)現(xiàn),勾股定理：,直角三角形的兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。,在ABC中，C=90,AC2+BC2=AB2,a,b,c,（a2+b2=c2）,勾,股,弦,勾股定理,a,b,c,注意：勾股定理的前提條件是直角三角形！,勾股定理背景資料,勾股定理是“人類(lèi)最偉大的十個(gè)科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一”，是初等幾何中的一個(gè)基本定理。勾股定理的別稱(chēng)有：畢達(dá)哥拉斯定理，商高定理，百牛定理，驢橋定理和埃及三角形等。這個(gè)定理有十分悠久的歷史，幾乎所有文明古國(guó)（希臘、中國(guó)、埃及、巴比倫、印度等）對(duì)此定理都有所研究。勾股定理在西方被稱(chēng)為畢達(dá)

4、哥拉斯定理，相傳是古希臘數(shù)學(xué)家兼哲學(xué)家畢達(dá)哥拉斯（Pythagoras，公元前572?公元前497?）于公元前550年首先發(fā)現(xiàn)的。中國(guó)古代對(duì)這一數(shù)學(xué)定理的發(fā)現(xiàn)和應(yīng)用，遠(yuǎn)比畢達(dá)哥拉斯早得多。中國(guó)最早的一部數(shù)學(xué)著作周髀算經(jīng)的開(kāi)頭，記載著一段周公向商高請(qǐng)教數(shù)學(xué)知識(shí)的對(duì)話。周公與商高的對(duì)話則可以確定在公元前1100年左右的西周時(shí)期，比畢達(dá)哥拉斯要早了五百多年。,勾股定理的歷史,a,b,c,中國(guó)最早對(duì)勾股定理進(jìn)行證明的，是三國(guó)時(shí)期吳國(guó)的數(shù)學(xué)家趙爽。趙爽創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖” （左圖），用形數(shù)結(jié)合得到方法，給出了勾股定理的詳細(xì)證明。趙爽的這個(gè)證明可謂別具匠心，極富創(chuàng)新意識(shí)。這個(gè)圖也被后人稱(chēng)為“趙爽弦圖”

5、。,大正方形的面積可以表示為：,所以：,化簡(jiǎn)得：,八年級(jí)下冊(cè),勾股定理的證明,2002年在北京召開(kāi)的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)（ICM2002）的會(huì)標(biāo)，其圖案正是“弦圖”，它標(biāo)志著中國(guó)古代的數(shù)學(xué)成就.,a,a,a,b,b,b,c,c,c,大正方形的面積可以表示為：,你能通過(guò)下圖證明勾股定理嗎？,a,b,c,所以：,化簡(jiǎn)得：,八年級(jí)下冊(cè),勾股定理的證明,加菲爾德證法 （總統(tǒng)證法）:,s梯形= (a+b)(a+b)= (a2+2ab+b2) = a2+ab+ b2 s梯形=2 ab+ c2=ab+ c2 s梯形=s梯形 a2+ab+ b2=ab+ c2 a2+b2=c2,詹姆斯艾伯拉姆加菲爾德(1831188

6、1）美國(guó)政治家、數(shù)學(xué)家，美國(guó)共和黨人，美國(guó)第20任總統(tǒng) .他在數(shù)學(xué)方面的貢獻(xiàn)主要是在勾股定理的證明方面的新成就，他也是美國(guó)歷史上唯一一位數(shù)學(xué)家出身的總統(tǒng)。,勾股定理的證明,前面我們利用面積法得到：,即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方,A的面積+B的面積=C的面積,a2+b2=c2,從而探索了直角三角形的三邊關(guān)系，得到勾股定理：,勾股定理的運(yùn)用,勾股定理的運(yùn)用: 已知直角三角形的任意兩條邊長(zhǎng)，求第三條邊長(zhǎng).,a2=c2-b2,b2=c2-a2,c2=a2+b2,例1 如圖，在RtABC中,BC=24,AC=7,求AB的長(zhǎng).,B,24,A,C,7,如果將題目變?yōu)椋?在RtABC中,AB=4

7、1, BC=40,求AC的長(zhǎng).,24, RtABC中, C是直角,AC2+BC2=AB2,勾股定理的運(yùn)用,勾股定理的運(yùn)用,練習(xí)： 1.設(shè)直角三角形的兩條直角邊分別為a，b，斜邊長(zhǎng)為c. (1)已知a=6，c=10，求b. (2)已知a=5，c=12，求c. (3)已知c=25,b=15,求a.,勾股定理的運(yùn)用,練習(xí)： 2.如圖，圖中所有的三角形都是直角三角形，四邊形都是正方形。已知正方形A,B,C,D的邊長(zhǎng)分別是12，16，9，12.求最大的正方形E的面積。,勾股定理的運(yùn)用,練習(xí)： 3.在RtABC中，AB=c,BC=a,AC=b, (1)已知C=90,a=3,b=4,則c=_; (2)已知B=90,a=3,b=4,則c=_;,5,5,或,3,4,3,4,5,4.已知RtABC中，a=3,b=4,則c=_;,勾股定理的運(yùn)用,例2.如圖，在ABC中，A=45， AB= +1，求：邊BC的長(zhǎng)。,D,練習(xí)：如圖，在ABC中，ACB = 900，CD是高，若 AB=13cm，AC = 5cm，求CD的長(zhǎng)；,勾股定理的運(yùn)用,例3. ABC中,周長(zhǎng)是24,C=90,且 b=6,則三角形的面積是多少?,A,B,C,a,b,c,解：,周長(zhǎng)是24，且b=6,a+c=24-6=18,設(shè)a=x,則c=18-x, C=90,a2+b2=c2,x2+62=(18-x)2,解得：x=8,勾股定理的運(yùn)用,拓