天津市高考數(shù)學文科試題含

1、20162016 年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（天津卷）年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（天津卷） 數(shù)數(shù)學（文史類）學（文史類） 本試卷分為第卷（選擇題）和第（非選擇題）兩部分，共 150 分，考試用時 120 分鐘。第卷 1 至 2 頁，第卷 3 至 5 頁。 答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上，并在規(guī)定位置粘貼考試用條形碼。答卷時， 考生務(wù)必將答案涂寫在答題卡上，答在試卷上的無效。考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。 祝各位考生考試順利！ 第第 I I 卷卷 注意事項： 1、每小題選出答案后，用鉛筆將答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂 其他

2、答案標號。 2.本卷共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分 參考公式：參考公式： 如果事件 A，B 互斥，那么如果事件 A，B 相互獨立， P(AB)=P(A)+P(B)P(AB)=P(A) P(B) 柱體的體積公式 V 柱體=Sh，圓錐的體積公式 V= 1 Sh 3 其中 S 表示柱體的底面積其中其中 S 表示錐體的底面積，h 表示圓錐的高 h 表示棱柱的高 一、選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的. （1）已知集合A 1,2,3，B y | y 2x 1,x A，則AI B= （A）1,3（B）1,2（C）2,3（D）1,2,3 （2）甲、乙兩人下棋，兩人下成和棋

3、的概率是 （A） 5 6 （B） 2 5 11 ，甲獲勝的概率是，則甲不輸?shù)母怕蕿?32 11 （C）（D） 36 （3）將一個長方形沿相鄰三個面的對角線截去一個棱錐，得到的幾何體的正視圖與俯視圖如圖所示，則該 幾何體的側(cè)（左）視圖為 x2y2 （4）已知雙曲線 2 2 1(a 0,b 0)的焦距為2 5，且雙曲線的一條漸近線與直線2x y 0垂直， ab 則雙曲線的方程為 x2y2 22 y 11 （A）（B）x 44 3x23y23x23y2 11 （D）（C） 520205 （5）設(shè)x 0，yR，則“x （A）充要條件 y”是“x | y |”的 （B）充分而不必要條件 （C）必要而不充

4、分條件（D）既不充分也不必要條件 |a1| （6）已知f (x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間(,0)上單調(diào)遞增，若實數(shù)a滿足f (2 ) f ( 2)， 則a的取值范圍是 （A）(,) 1 2 （B）(, )( ,)（C）(,)（D）(,) 1 2 3 2 1 3 2 2 3 2 （7）已知 ABC 是邊長為 1 的等邊三角形，點D,E分別是邊AB,BC的中點，連接DE并延長到點F， uuu r uuu r 使得DE2EF，則AFgBC的值為 1111 （C）（D） 848 x11 （8）已知函數(shù)f (x) sin2sinx ( 0)，xR.若f (x)在區(qū)間(,2)內(nèi)沒有零點，則的 222

5、 （A） 5 8 （B） 取值范圍是 （A）(0, （B）(0, ,1)（C）(0, （D）(0, , 1 8 1 4 5 8 5 8 1 8 1 5 4 8 第卷第卷 注意事項：注意事項： 1 1、用黑色墨水的鋼筆或簽字筆將答案寫在答題卡上、用黑色墨水的鋼筆或簽字筆將答案寫在答題卡上. . 2 2、本卷共、本卷共 1212 小題，共計小題，共計 110110分分. . 二、填空題：本大題共二、填空題：本大題共 6 6 小題，每小題小題，每小題 5 5 分，共分，共 3030 分分. . （9）i 是虛數(shù)單位，復數(shù)z滿足(1i)z 2，則z的實部為_. （10）已知函數(shù)f (x) (2x+1)

6、ex, f (x)為f (x)的導函數(shù)，則f (0)的值為_. （11）閱讀右邊的程序框圖，運行相應的程序，則輸出S的值為_. （第 11 題圖） （12） 已知圓 C 的圓心在 x 軸的正半軸上， 點M(0, 5)在圓 C 上， 且圓心到直線2x y 0的距離為 則圓 C 的方程為_. （13） 如圖， AB 是圓的直徑， 弦 CD 與 AB 相交于點 E， BE=2AE=2， BD=ED， 則線段 CE 的長為_. 4 5 ， 5 2 xx (4a 3)x3a,x 0 (14) 已知函數(shù)f (x) 且關(guān)于x的方程| f (x)| 2(a 0且a 1)在R上單調(diào)遞減， 3 log a (x1

7、)1,x 0 恰有兩個不相等的實數(shù)解，則a的取值范圍是_. 三、解答題：本大題共三、解答題：本大題共 6 6 小題，共小題，共 8080 分分. . 解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟. . （15） （本小題滿分 13 分） 在ABC中，內(nèi)角A,B,C所對應的邊分別為 a,b,c，已知asin2B 3bsin A. ()求 B； ()若cosA (16)(本小題滿分 13 分) 某化肥廠生產(chǎn)甲、乙兩種混合肥料，需要A,B,C 三種主要原料.生產(chǎn) 1 車皮甲種肥料和生產(chǎn) 1 車皮乙種肥料 所需三種原料的噸數(shù)如下表所示： 1 ，求 sinC 的值 3 現(xiàn)

8、有 A 種原料 200 噸，B 種原料 360 噸，C 種原料 300 噸，在此基礎(chǔ)上生產(chǎn)甲、乙兩種肥料.已知生產(chǎn) 1 車 皮甲種肥料，產(chǎn)生的利潤為 2 萬元；生產(chǎn) 1 車皮乙種肥料，產(chǎn)生的利潤為 3 萬元.分別用 x,y 表示計劃生產(chǎn) 甲、乙兩種肥料的車皮數(shù). ()用 x,y 列出滿足生產(chǎn)條件的數(shù)學關(guān)系式，并畫出相應的平面區(qū)域； ()問分別生產(chǎn)甲、乙兩種肥料各多少車皮，能夠產(chǎn)生最大的利潤？并求出此最大利潤. (17)(本小題滿分 13 分) 如圖，四邊形 ABCD 是平行四邊形， 平面 AED平面 ABCD，EF|AB，AB=2，BC=EF=1，AE= 6 ，DE=3， BAD=60，G 為

9、 BC 的中點. ()求證：FG|平面 BED； ()求證：平面 BED平面 AED； ()求直線 EF 與平面 BED 所成角的正弦值. (18)(本小題滿分 13 分) 已知an是等比數(shù)列，前 n 項和為SnnN，且 ()求an的通項公式； ()若對任意的nN,bn是log2an和log2an1的等差中項，求數(shù)列 （19） （本小題滿分 14 分） 112 ,S 6 63. a 1 a 2 a 3 1nb n 2 的前 2n 項和. x2y2113e 1（a 3）的右焦點為F，右頂點為A，已知 設(shè)橢圓 2 ，其中O為原點， a3|OF |OA| FA| e為橢圓的離心率. （）求橢圓的方程

10、； （） 設(shè)過點A的直線l與橢圓交于點B（B不在x軸上） ， 垂直于l的直線與l交于點M， 與y軸交于點H， 若BF HF，且MOA MAO，求直線的l斜率. （20） （本小題滿分 14 分） 設(shè)函數(shù) f (x) x axb，xR，其中a,b R （）求f (x)的單調(diào)區(qū)間； （）若f (x)存在極值點x 0 ，且 f (x 1) f (x0 )，其中x 1 x 0 ，求證：x 1 2x 0 0； （）設(shè)a 0，函數(shù)g(x) | f (x)|，求證：g(x)在區(qū)間1,1上的最大值不小于 . 3 1 4 20162016 年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（天津卷）年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（

11、天津卷） 數(shù)數(shù)學（文史類）參考答案學（文史類）參考答案 一、選擇題： （1） 【答案】A （2） 【答案】A （3） 【答案】B （4） 【答案】A （5） 【答案】C （6） 【答案】C （7） 【答案】B （8） 【答案】D 二、填空題：二、填空題： （9） 【答案】1 （10） 【答案】3 （11） 【答案】4 （12） 【答案】(x2)2 y29. （13） 【答案】 2 3 3 1 2 3 3 (14) 【答案】 , ) 三、解答題三、解答題 （15） 【答案】 （）B 【解析】 試題分析： （）利用正弦定理，將邊化為角：2sin AsinBcosB 3sinBsin A,再根據(jù)三角

12、形內(nèi)角范圍化簡 6 （） 2 6 1 6 得cosB 3 ，B （）已知兩角，求第三角，利用三角形內(nèi)角和為，將所求角化為兩已知角的和， 26 再根據(jù)兩角和的正弦公式求解 試題解析： （）解： 在ABC中，由 ab ，可得asinB bsinA，又由asin 2B 3bsin A得 sin Asin B 3 ，得B ； 26 2asin BcosB 3bsin A 3asin B，所以cosB （）解：由cos A 2 21 得sin A ，則sinC sin(A B) sin(A B)，所以 33 312 6 1 sin Acos A 226 sinC sin(A 6 ) 考點：同角三角函數(shù)的

13、基本關(guān)系、二倍角的正弦公式、兩角和的正弦公式以及正弦定理 (16) 【答案】 （）詳見解析（）生產(chǎn)甲種肥料20車皮，乙種肥料24車皮時利潤最大，且最大利潤為112萬 元 【解析】 試題分析： （）根據(jù)生產(chǎn)原料不能超過A 種原料 200 噸，B 種原料 360 噸，C 種原料 300 噸，列不等關(guān)系 式，即可行域，再根據(jù)直線及區(qū)域畫出可行域（）目標函數(shù)為利潤z 2x 3y，根據(jù)直線平移及截距變 化規(guī)律確定最大利潤 4x 5y 200 8x 5y 360 試題解析： （）解：由已知x, y滿足的數(shù)學關(guān)系式為3x 10y 300，該二元一次不等式組所表示的區(qū) x 0 y 0 域為圖 1 中的陰影部分

14、. y 8x+5y=360 10 x O10 4x+5y=200 3x+10y=300 (1) （）解：設(shè)利潤為z萬元，則目標函數(shù)z 2x 3y，這是斜率為 直線在y軸上的截距，當 2z ，隨z變化的一族平行直線.為 33 z 取最大值時，z的值最大.又因為x, y滿足約束條件，所以由圖2 可知，當直線 3 4x 5y 200 z 得點Mz 2x 3y經(jīng)過可行域中的點M時，截距的值最大， 即z的值最大.解方程組 33x 10y 300 的坐標為M(20,24)，所以zmax 220 324 112. 答：生產(chǎn)甲種肥料20車皮，乙種肥料24車皮時利潤最大，且最大利潤為112萬元. y 8x+5y

15、=360 M 10 x O10 2x+3y=z 4x+5y=200 3x+10y=300 (2) 2x+3y=0 考點：線性規(guī)劃 【結(jié)束】 (17) 【答案】 （）詳見解析（）詳見解析（） 【解析】 試題分析： （）證明線面平行，一般利用線面平行判定定理，即從線線平行出發(fā)給予證明，而線線平行尋 找與論證，往往結(jié)合平幾知識，如本題構(gòu)造一個平行四邊形：取BD的中點為O，可證四邊形OGFE是平 行四邊形，從而得出FG/OE（）面面垂直的證明，一般轉(zhuǎn)化為證線面垂直，而線面垂直的證明，往往 需多次利用線面垂直判定與性質(zhì)定理，而線線垂直的證明有時需要利用平幾條件，如本題可由余弦定理解 出ADB 900，即

16、BD AD（）求線面角，關(guān)鍵作出射影，即面的垂線，可利用面面垂直的性質(zhì)定 理得到線面垂直，即面的垂線：過點A作AH DE于點H，則AH 平面BED，從而直線AB與平面 5 6 BED所成角即為ABH.再結(jié)合三角形可求得正弦值 試題解析： （）證明：取BD的中點為O，連接OE,OG，在BCD中，因為G是BC的中點，所以O(shè)G/DC且 OG 1 DC 1，又因為EF / AB, AB/ DC，所以EF/OG且EF OG 2 ，即四邊形OGFE是平行四邊形，所以FG/OE，又FG 平面BED，OE 平面BED，所以FG/平 面BED. 0 （）證明：在ABD中，AD 1, AB 2,BAD 60，由余

17、弦定理可BD 3 ，進而可得 ADB 900，即BD AD，又因為平面AED 平面ABCD,BD 平面ABCD；平面AED 平面 ABCD AD，所以BD 平面AED.又因為BD 平面BED，所以平面BED 平面AED. （）解：因為EF/ AB，所以直線EF與平面BED所成角即為直線AB與平面BED所成角.過點A作 AH DE于點H，連接BH，又因為平面BED 平面AED ED，由（）知AH 平面BED，所 以直線AB與平面BED所成角即為ABH.在ADE中，AD 1,DE 3, AE 6，由余弦定理可得 cosADE 552 ，所以sinADE ，因此AH ADsinADE ，在RtAHB

18、中， 333 AH55 ，所以直線AB與平面BED所成角的正弦值為 AB66 sinABH 考點：直線與平面平行和垂直、平面與平面垂直、直線與平面所成角 【結(jié)束】 (18) n1 【答案】 （）a n 2（）2n2 【解析】 試題分析： （）求等比數(shù)列通項，一般利用待定系數(shù)法：先由 112 解得q 2,q 1，分別 a 1 a 1q a 1q 2 a 1 (1q6) 代入S n 63得q 1，a 1 1（）先根據(jù)等差中項得 1q b n 111 (log 2 a n log 2 a n1 ) (log 2 2n1 log 2 2n) n ，再利用分組求和法求和： 222 T 2n (b 1 2

19、b 2 2)(b 3 2b 4 2)(b 2 2 n1 b 2 2 n ) b 1 b 2 b 2n 試題解析： （）解：設(shè)數(shù)列an的公比為q，由已知有 2n(b 1 b 2n ) 2n2 2 112 ，解之可得q 2,q 1，又由 a 1 a 1q a 1q 2 a 1 (1 26)a 1 (1q6) 63，解之得a 1 1，所以an 2n1.S n 63知q 1，所以 1 21q （）解：由題意得bn 111 (log 2 a n log 2 a n1 ) (log 2 2n1 log 2 2n) n ，即數(shù)列bn是首項為 222 1 ，公差為1的等差數(shù)列. 2 n2 設(shè)數(shù)列(1) bn的

20、前n項和為Tn，則 T 2n (b 1 2b 2 2)(b 3 2b 4 2)(b 2 2 n1 b 2 2 n ) b 1 b 2 b 2n 考點：等差數(shù)列、等比數(shù)列及其前n項和 【結(jié)束】 （19） 2n(b 1 b 2n ) 2n2 2 x2y26 1（） 【答案】 （） 443 【解析】 試題分析： （）求橢圓標準方程，只需確定量，由 113c113c ，得 再利用 |OF |OA| FA|caa(a c) ， a2c2 b2 3，可解得c21，a2 4（）先化簡條件：MOAMAO| MA| MO | ，即 M 再 OA 中垂線上，xM1 ，再利用直線與橢圓位置關(guān)系，聯(lián)立方程組求 B ；

21、利用兩直線方程組求 H，最后 根據(jù) BF HF，列等量關(guān)系解出直線斜率. 試題解析： （1）解：設(shè)F(c,0)，由 113c113c ，即 ，可得a2c2 3c2，又 |OF |OA| FA|caa(a c) 2 x2y2 1.a c b 3，所以c 1，因此a 4，所以橢圓的方程為 43 2222 （2）設(shè)直線的斜率為k(k 0)，則直線l的方程為y k(x2)， x 2y2 1, 設(shè)B(xB, yB)，由方程組 4消去y，3 y k(x2), 8k26 整理得(4k 3)x 16k x16k 12 0，解得x 2或x ， 4k23 2222 8k2612k 由題意得xB，從而，y B2 2

22、4k 34k 3 uuu ruuu r 94k212k ,)， 由（1）知F(1,0)，設(shè)H(0, yH)，有FH (1, yH)，BF ( 24k 3 4k23 uuu r uuu r 4k2912ky H 0， 由BF HF，得BFHF 0，所以 24k 34k23 94k2194k2 解得yH，因此直線MH的方程為y x ， k12k12k 194k2 20k29,y x 設(shè)M(xM, yM)，由方程組，k12k消去y，得xM 212(k 1) y k(x2), 在MAO中，MOAMAO| MA| MO |， 20k29 即(x M 2) y x y ，化簡得xM1，即 1， 212(k

23、 1) 22 M 2 M 2 M 解得k 66 或k ， 44 所以直線l的斜率為k 66 或k . 44 考點：橢圓的標準方程和幾何性質(zhì)，直線方程 【結(jié)束】 （20） 【答案】 （）詳見解析.（）詳見解析（）詳見解析 【解析】 試題分析：（） 先求函數(shù)的導數(shù)：f (x) 3x a ， 再根據(jù)導函數(shù)零點是否存在情況， 分類討論： 當a 0 2 時，有f (x) 3x a 0恒成立，所以f (x)的單調(diào)增區(qū)間為(,).當a 0時，存在三個單調(diào)區(qū)間 2 （） 由題意得 f (x 0 ) 3x a 0 2 0即 2x 0 a f (x 1) f (x0 ) 3 ， 再由化簡可得結(jié)論 （） 實質(zhì)研究函

24、數(shù)g(x) 最大值：主要比較 f (1),f (1) ， | f ( 3a3a |,| f ()| 33 的大小即可，分三種情況研究當 a3時， 3a3a2 3a3a3a2 3a33 11 1 1 ， 當 a 3時， 當0 a 時， 33333344 1 2 3a2 3a 1. 33 32 試題解析： （1）解：由f (x) x axb，可得f (x) 3x a，下面分兩種情況討論： 當a 0時，有f (x) 3x a 0恒成立，所以f (x)的單調(diào)增區(qū)間為(,). 2 當a 0時，令f (x) 0，解得x 3a3a 或x . 33 當x變化時，f (x)、f (x)的變化情況如下表： x f (x) (, 3a ) 3 3a 3 ( 3a3a ,) 33 3a 3 0 極小值 ( 3a ,) 3 單調(diào)遞增 0 極大值 單調(diào)遞減 單調(diào)遞增 f (x) 所以f (x)的單調(diào)遞減區(qū)間為( 3a3a3a3a ,)，單調(diào)遞增區(qū)間為(,).)，( 3333 （2）證明：因為f (x)存在極值點，所以由（1）知a 0且x0 0. 22 由題意得f (x 0 ) 3x 0 a 0，即x 0 a ， 3 3 進而f (x 0 ) x 0 ax 0 b 2a x 0 b， 3 8a2a 3 又f (2x 0 ) 8x 0 2ax 0 b