奧數(shù)最大公因數(shù)、最小公倍數(shù)講義及

1、數(shù)的整除（數(shù)的整除（3 3）最大公因數(shù)、最小公倍數(shù)）最大公因數(shù)、最小公倍數(shù) 教室姓名學(xué)號 【知識要點】【知識要點】 1、幾個數(shù)公有的因數(shù)，叫做這幾個數(shù)的公因數(shù)；其中最大的一個叫做這幾個數(shù) 的最大公因數(shù)。自然數(shù) a、b 的最大公因數(shù)記作（a，b） 。 2、幾個數(shù)公有的倍數(shù)，叫做這幾個數(shù)的公倍數(shù)；其中最小的一個叫做這幾個數(shù) 的最小公倍數(shù)。自然數(shù) a、b 的最小公倍數(shù)記作a，b 。 3、兩個自然數(shù)的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)的性質(zhì)： （1） （a，b）a，b=ab； （2）若 ab，則 ab 與 b 的最大公因數(shù)就等于 a 與 b 的最大公因數(shù)。 （3）a+b 與 b 的最大公因數(shù)，等于 a 與 b 的

2、最大公因數(shù)。 【典型例題】 例 1.甲數(shù)是 24，甲、乙兩數(shù)的最小公倍數(shù)是168，最大公因數(shù)是4，求乙 數(shù)。 解：由性質(zhì)（ 1）得到乙數(shù) =16842428. 例 2.將長為 90 厘米，寬為 42 厘米的長方形鐵皮剪成邊長是整厘米數(shù)，面 積相等的正方形鐵皮，恰無剩余，問至少剪成多少塊？ 解：把長方形鐵皮剪成邊長是整厘米數(shù)，面積相等的正方形，則正方形的 邊長應(yīng)是長方形的長和寬的公因數(shù)，又要求所剪正方形鐵片塊數(shù)最少，因 此正方形邊長是長方形長與寬的最大公因數(shù)。（90，42）=6.至少能剪90 42（66）=105（塊）. 例 3.馬鵬和李虎計算甲、乙兩個自然數(shù)的乘積，馬鵬把甲數(shù)的個位數(shù)字看 錯了

3、，得乘積 473；李虎把甲數(shù)的十位數(shù)字看錯了，得乘積407，那么甲、 乙兩數(shù)的乘積應(yīng)是多少？ 解： 473 與 407 的最大公因數(shù)是 11， 而 11 是質(zhì)數(shù)，所以乙數(shù)是 11， 又 473=43 11，4073711，所以甲數(shù)是47，甲乙兩數(shù)的乘積應(yīng)為：4711=517 或 1477=477. 例 4.有一種自然數(shù)，它加上1 是 2 的倍數(shù)，加上 2 是 3 的倍數(shù)，加上 3 是 4 的倍數(shù)，加上 4 是 5 的倍數(shù)，加上 5 是 6 的倍數(shù)，加上 6 是 7 的倍數(shù)，則 這種自然數(shù)中除 1 以外，最小數(shù)是多少？ 解：根據(jù)已知，若這個數(shù)分別加上1、2、3、4、5、6 是 2、3、4、5、6

4、、7 的倍數(shù)，求這個數(shù)最小是多少，即這個數(shù)是2，3，4，5，6，7 的最小公倍 數(shù)加上 1. 2，3，4，5，6，7=420，最小數(shù)是：420+1=421。 【精英班】例 5、兩個整數(shù)的最小公倍數(shù)是 1925，這兩個整數(shù)分別除以它們的最 大公因數(shù)，得到兩個商的和是 16，請寫出這兩個整數(shù)。 解：1925=55711，兩個商都是 1925 的因數(shù)，互質(zhì)，而且和為16，所以這 兩個商分別為 5、11.即：19255=385，192511=175. 【競賽班】例 6、大雪后的一天，小明和爸爸共同步測一個環(huán)形花圃的周長。他 倆的起步和走的方向完全相同。 小明的平均步長 54 厘米， 爸爸平均步長 72

5、 厘米， 由于兩人的腳印有重合，并且他們走了一圈后都回到起點，這時雪地上只留下 60 個腳印，這個花圃的周長是多少米？ 解： 根據(jù)題意從第一個腳印重合到下一個重合腳印點的路程長度是他們步長的最 小公倍數(shù)。 54，72=216，在這 216 厘米的路程中小明留下 21654=4 個腳印， 爸爸應(yīng)留下 21672=3 個腳印， 由于兩人最后重合了一個腳印， 所以雪地上實際 只留下 4+31=6 個腳印。周長：216（606）=2160 厘米=21.6 米。 【課后分層練習(xí)】【課后分層練習(xí)】 A 組：入門級 1. 甲數(shù)是 36，甲乙兩數(shù)的最小公倍數(shù)是288，最大公因數(shù)是4，乙數(shù)應(yīng)該 是多少？ 解：甲

6、數(shù)乙數(shù) =2884，所以乙數(shù) =288436=32. 2. 兩個數(shù)的最大公因數(shù)是21，最小公倍數(shù)是 126.這兩個數(shù)的和是多少？ 解：126=21 62123，所以這兩個數(shù)是212 與 213；或 21 與 21 6，從而這兩個數(shù)的和是： 212+213=105 或 21+216=147. 3. 從運動場一端到另一端全長96 米， 從一端起到另一端每隔4 米插一面小 紅旗?，F(xiàn)在要改成每隔6 米插一面小紅旗，問可以不拔出來的小紅旗有 多少面？ 解：因為 6，4=12，可以不拔出來的小紅旗有9612+1=9（面） 4. 三位小朋友每人隔不同的天數(shù)到圖書館一次：甲隔2 天去一次，乙隔3 天去一次，丙

7、隔 4 天去一次。上次他們在星期二在圖書館相遇，還要多 少天他們才能再在圖書館相遇；相遇時是星期幾？ 解：3，4，5=60；還要 60 天再次在圖書館相遇。 60 7=8 周 4 天；相遇時是星期六。 5. 四個自然數(shù)的和為 1111，這四個數(shù)的公因數(shù)最大是幾？ 解：1111=11 101，四個數(shù)的公因數(shù)必是其和的因數(shù)，故公因數(shù)最大不超 過 101，又 1+2+3+5=11 ，所以 101，202，303，505 這四個數(shù)的和為 1111， 且它們的最大公因數(shù)為101. B B 組：進(jìn)階級組：進(jìn)階級 1 1、甲、乙、丙三人繞操場競走，他們走一圈分別需要1 分、1 分 15 秒和 1 分 30

8、秒。三人同時從起點出發(fā)，最少需多長時間才能再次在起點相會？ 解解：甲、乙、丙走一圈分別需 60 秒、75 秒和 90 秒，因為要在起點相會，即三 人都要走整圈數(shù)，所以需要的時間應(yīng)是 60，75，90 的公倍數(shù)。所求時間為60， 75，90=900（秒）=15（分） 。 2、用自然數(shù) a 去除 498，450，414，得到相同的余數(shù)，a 最大是多少？ 解解：因為498，450，414 除以 a 所得的余數(shù)相同，所以它們兩兩之差的公約數(shù)應(yīng) 能被 a 整除。498-450=48，450-414=36，498-414=84。所求數(shù)是（48，36，84） =12。 3、用60 元錢可以買一級茶葉 144

9、 克，或買二級茶葉 180 克，或買三級茶葉 240 克?，F(xiàn)將這三種茶葉分別按整克數(shù)裝袋，要求每袋的價格都相等，那么每袋的價 格最低是多少元錢？ 解： （144，180，240）=223=12，即每 60 元的茶葉分裝成 12 袋，每袋的價格 最低是 6012=5（元） 。 4、一組五個連續(xù)自然數(shù)的和能分別被 2，3，4，5，6 整除，求滿足此條件的最 小一組數(shù)。 解：由于 2，3，4，5，6 的最小公倍數(shù)是 60，得這五個數(shù)的和為 60 的倍數(shù)，即 至少為 60，605=12，得 10+11+12+13+14=60,故滿足條件的最小一組數(shù)為 10、 11、12、13、14。 C C 組：挑戰(zhàn)

10、級組：挑戰(zhàn)級 1、在一個3024 的方格紙上畫一條對角線（見下頁上圖），這條對角線除兩個 端點外，共經(jīng)過多少個格點（橫線與豎線的交叉點）？ 解解： （30，24）=6，說明如果將方格紙橫、豎都分成 6 份， 即分成 66 個相同的矩形，那么每個矩形是由（306） （246）=54（個） 小方格組成。在 66 的簡化圖中，對角線也是它所經(jīng)過 的每一個矩形的對角線， 所以經(jīng)過 5 個格點（見左 下圖）。在對角線所經(jīng)過 的每一個矩形的 54 個小方格中，對角線不經(jīng) 過任何格點（見右下圖）。 所以，對角線共經(jīng)過格點（30，24）-1=5（個）。 2、爺爺對小明說：“我現(xiàn)在的年齡是你的 7 倍，過幾年是

11、你的 6 倍，再過若干 年就分別是你的 5 倍、4 倍、3 倍、2 倍?！蹦阒罓敔敽托∶鳜F(xiàn)在的年齡嗎？ 解解： 爺爺和小明的年齡隨著時間的推移都在變化， 但他們的年齡差是保持不變的。 爺爺?shù)哪挲g現(xiàn)在是小明的 7 倍，說明他們的年齡差是 6 的倍數(shù)；同理，他們的年 齡差也是 5，4，3，2，1 的倍數(shù)。由此推知，他們的年齡差是 6，5，4，3，2 的公倍數(shù)。6，5，4，3，2=60， 爺爺和小明的年齡差是 60 的整數(shù)倍?？紤]到年齡的實際情況，爺爺與小明的年 齡差應(yīng)是 60 歲。 所以現(xiàn)在小明的年齡=60 （7-1） =10 （歲） ， 爺爺?shù)哪挲g=107=70 （歲）。 3、已知 a 與 b，a 與 c 的最大公約數(shù)分別是 12 和 15，a，b，c 的最小公倍數(shù)是 120，求 a，b，c。 解解： 因為 12， 15 都是 a 的約數(shù)， 所以 a 應(yīng)當(dāng)是 12 與 15 的公倍數(shù)， 即是12， 15=60 的倍數(shù)。再由a，b，c=120 知， a 只能是 60 或 120。a，c=15，說明 c 沒有 質(zhì)因數(shù) 2，又因為a，b，c=120=2335，所以