隨機(jī)樣本和統(tǒng)計(jì)量.ppt

1、1,它們都以隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律為研究對(duì)象.,數(shù)理統(tǒng)計(jì)與概率論是兩個(gè)有密切聯(lián)系的學(xué)科,但在研究問題的方法上有很大區(qū)別：,概率論 已知隨機(jī)變量服從某分布,尋求分布的性質(zhì)、 數(shù)字特征、及其應(yīng)用;,數(shù)理統(tǒng)計(jì) 通過對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析,尋找所服從的分布和數(shù)字特征, 從而推斷整體的規(guī)律性.,數(shù)理統(tǒng)計(jì)的核心問題由樣本推斷總體,第六章 樣本及抽樣分布,2,也就是說, 我們獲得的只是局部觀察資料.,因而從理論上講，只要對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行足夠多次觀察，,但客觀上只允許我們對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行次數(shù)不多的觀察試驗(yàn)，,被研究的隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律性一定能清楚地呈現(xiàn)出來.,數(shù)理統(tǒng)計(jì)就是在概率論的基礎(chǔ)上研究怎樣以有效的方式收集、整理和分析

2、可獲的有限的, 帶有隨機(jī)性的數(shù)據(jù)資料,由于大量隨機(jī)現(xiàn)象必然呈現(xiàn)出它的規(guī)律性.,對(duì)所考察問題的統(tǒng)計(jì)性規(guī)律盡可能地作出精確而可靠的推斷或預(yù)測(cè)，,為采取一定的決策和行動(dòng)提供依據(jù)和建議.,3,這部分內(nèi)容的重點(diǎn)在于介紹數(shù)理統(tǒng)計(jì)的一些重要概念和典型的統(tǒng)計(jì)方法，它們是實(shí)際中最常用的知識(shí).,學(xué)習(xí)統(tǒng)計(jì)無須把過多時(shí)間化在計(jì)算上, 應(yīng)更有效地把時(shí)間用在基本概念、方法原理的正確理解上.,在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，不是對(duì)所研究的對(duì)象全體 ( 稱為總體)進(jìn)行觀察，而是抽取其中的部分(稱為樣本)進(jìn)行觀察獲得數(shù)據(jù)（抽樣），并通過這些數(shù)據(jù)對(duì)總體進(jìn)行推斷.,數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法具有“部分推斷整體”的特征 .,總體中的每個(gè)元素,例如: 某工廠生產(chǎn)的燈

3、泡壽命是一個(gè)總體,每個(gè)燈泡的壽命是一個(gè)個(gè)體; 某學(xué)校男生的身高的全體是一個(gè)總體,每個(gè)男生的身高是一個(gè)個(gè)體,一、總體、個(gè)體、隨機(jī)樣本,總體 研究對(duì)象全體元素組成的集合 所研究的對(duì)象的某個(gè)(或某些)數(shù)量指標(biāo) 的全體,它是一個(gè)隨機(jī)變量.記為X . X 的分布函數(shù)和數(shù)字特征稱為總體的分布函數(shù)和數(shù)字特征.,個(gè)體:,6.1 隨機(jī)樣本和統(tǒng)計(jì)量,從總體中抽取一部分個(gè)體來進(jìn)行觀察或試驗(yàn),稱為抽樣; 被抽出的部分個(gè)體稱為總體的一個(gè)樣本,抽取樣本的目的在于對(duì)總體的統(tǒng)計(jì)規(guī)律進(jìn)行推斷或估計(jì), 故要求所抽取的樣本能很好的反映總體的特性.最常用的是簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本。,總體容量有限的稱為有限總體,稱總體中所含個(gè)體的數(shù)目為總體容量

4、,總體容量無限的稱為無限總體.,定義:,設(shè)X1, X2, . , Xn為來自總體X的樣本,如果X1, X2, . , Xn相互獨(dú)立,且每一個(gè)都是與總體X有相同分布的隨機(jī)變量, 則稱X1, X2, . , Xn為總體X的容量為n的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本,簡(jiǎn)稱為隨機(jī)樣本或樣本,其觀察值x1, x2, . , xn稱為樣本值.,7,它要求抽取的樣本X1, X2, , Xn 滿足下面兩點(diǎn):,2.代表性： Xi (i =1,2,n) 與所考察的總體 X 同分布.,1.獨(dú)立性： X1, X2, , Xn 是相互獨(dú)立的 隨機(jī)變量 ;,今后, 說到 “X1, , Xn 是取自某總體的樣本” 時(shí), 若不特別說明, 就指簡(jiǎn)

5、單隨機(jī)樣本.,簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本是應(yīng)用中最常見的情形,由定義知,若X1,X2,.,Xn為X的一個(gè)樣本, X的分布函數(shù)為F(x),則X1,X2,.,Xn的聯(lián)合分布函數(shù)為:,若X的概率密度為f(x),則X1,X2,.,Xn的聯(lián)合概率密度為:,9,求樣本(X1, X2, X3 )的 概率分布.,例1 設(shè)總體 X B(1, p), 即 P(X=x)= p x(1-p)1-x,X = 0 , 1 .,設(shè) X1, X2, X3 為 X 的一個(gè)樣本,解,x i = 0, 1;,i = 1, 2, 3 ., (X1, X2, X3 )的分布列,P(X1= x1 , X2= x2 , X3= x3 ),又 x1 +

6、x2 + x3 =0, 1, 2, 3 , P(X1= x1 , X2= x2 , X3= x3 ),k = 0, 1, 2, 3 .,10,例2,解,11,12,二、頻率直方圖,這是一種根據(jù)樣本觀察值來近似地求總體的概率密度的圖解法.,設(shè)總體X是一個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量，樣本觀察值x1 ,x2, ,xn,找個(gè)區(qū)間包括這些觀察值，再把區(qū)間分成若干部分.,13,三、經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù),14,例如,估計(jì)一個(gè)物體的重量,重復(fù)n次稱重,其結(jié)果依次記為X1,X2,.,Xn,通常用樣本的算術(shù)平均值 ,或其,它某個(gè)由樣本計(jì)算出來的且看上去合理的量來估計(jì)重量,在獲得了樣本之后,下一步對(duì)樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析, 即對(duì)樣本進(jìn)行加工

7、、整理, 從中提取有用信息.一個(gè)有效的方法就是構(gòu)造一些樣本的函數(shù),通過樣本函數(shù)把樣本中所含的(某一方面)的信息集中起來.,四、統(tǒng)計(jì)量,定義:,設(shè)X1,X2,.,Xn是總體X的一個(gè)樣本,隨機(jī)變量g(X1,X2,.,Xn)是X1,X2,.,Xn的一個(gè)連續(xù)函數(shù),且g中不包含任何未知參數(shù),則稱g(X1,X2,.,Xn)為一個(gè)統(tǒng)計(jì)量,統(tǒng)計(jì)量是樣本的函數(shù),它是一個(gè)隨機(jī)變量,統(tǒng)計(jì)量的分布稱為抽樣分布,設(shè)(x1, x2, . , xn)是樣本(X1,X2,.,Xn)的樣本值,則稱g(x1, x2, . , xn)是g(X1,X2,.,Xn)的一個(gè)觀察值.,這種不含任何未知參數(shù)、完全由樣本決定的量稱為統(tǒng)計(jì)量,1

8、7,例 是未知參數(shù),若 , 已知,則為統(tǒng)計(jì)量,是一樣本,是統(tǒng)計(jì)量, 其中,則,C,例3 設(shè)總體XB(2, p),其中p為未知參數(shù), (X1, X2, X3)是取自總體X的樣本,則_不是統(tǒng)計(jì)量 (A) X1+X2 (B) maxX1, X2, X3 (C) X3 +2p (D) (X2X1)2,設(shè)X1,X2,.,Xn是總體X的一個(gè)樣本,樣本平均值:,樣本方差:,樣本標(biāo)準(zhǔn)差:,常用統(tǒng)計(jì)量:,樣本k階(原點(diǎn))矩:,(k=1,2,),樣本k階中心矩:,(k=1,2,),例如,樣本平均值:,樣本方差:,樣本k階中心矩:,樣本k階(原點(diǎn))矩:,(k=1,2,),它們的觀察值分別為:,由樣本平均值和樣本方差

9、的表達(dá)式可得:,23,注 樣本方差 與樣本二階中心矩 的不同,故,推導(dǎo),24,例4 從一批機(jī)器零件毛坯中隨機(jī)地抽取10件, 測(cè)得其重量為(單位: 公斤): 210, 243, 185, 240, 215, 228, 196, 235, 200, 199 求這組樣本值的均值、方差、二階原點(diǎn)矩與二階中心矩.,解,令,25,則,26,例5 在總體 中,隨機(jī)抽取一個(gè)容量 為36的樣本,求樣本均值 落在50.8到53.8 之間的概率.,解,故,27,1.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 2. 2分布 3. t分布 4. F分布,6.2 數(shù)理統(tǒng)計(jì)中常用的分布,正態(tài)總體是最常見的總體, 本節(jié)介紹 的幾個(gè)抽樣分布均對(duì)正態(tài)總體而言

10、.,28,設(shè)XN(0,1),對(duì)任給的 , 01,稱滿足條件,1. 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,的點(diǎn)z為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上分位點(diǎn),z,定義:,29,例1 求z0.05,解:,PXz0.05,=1PXz0.05,=10.05,=0.95, PX1.64=0.9495 PX1.65=0.9505, z0.05(1.64+1.65)/2=1.645,公式: (z)=1,常用 數(shù)字,30,設(shè)Xi N(0,1) (i=1,2,.,n), 且它們相互獨(dú)立,則稱隨機(jī)變量,2 2分布,定義:,服從自由度為n的2分布,記為22(n),2分布最常用的是擬合優(yōu)度檢驗(yàn),31,一般,其中，,在x 0時(shí)收斂，稱為函數(shù)，具有性質(zhì),32,10

11、 設(shè) Y1 2 (m), Y2 2 (n), 且 Y1 , Y2 相互獨(dú)立，, 2 分布的基本性質(zhì),則, 2 分布的可加性,Y1 +Y2 = ?,20 若 Y 2 (n),則 = n , = 2n .,EY DY,= 1,= 3,30設(shè) X1, , Xn 相互獨(dú)立, 且都服從正態(tài)分布 N( , 2),40 若Y 2 分布,近似服從 N(0,1).,應(yīng)用中心極限定理可得,則,則當(dāng) n 充分大時(shí),33,設(shè)22(n),其密度函數(shù)為f(x),對(duì)于給定的正數(shù) (01),稱滿足條件,的點(diǎn)2(n)為2(n)分布的上分位點(diǎn),2分布的上分位點(diǎn):,當(dāng)n充分大時(shí),34,例2 (練習(xí)九.五) 設(shè)XN(,2),(X1,

12、X2,.,X16)是取自總體X的樣本,求概率:,解:, X1,X2,.,X16相互獨(dú)立,且,35,0.950.01,=0.94,36,例3 設(shè)總體,的樣本,為總體 X,解,故,因此,37,設(shè)XN(0,1),Y2(n),且X與Y相互獨(dú)立,則稱隨機(jī)變量,3 t分布,定義:,服從自由度為n的t分布,記為Tt(n),T 的密度函數(shù)為：,38,t分布的上分位點(diǎn):,設(shè)Tt(n),其密度函數(shù)為f(t),對(duì)于給定的正數(shù) (01),稱滿足條件,的點(diǎn)t(n)為t分布的上分位點(diǎn),t(n),39,t分布的性質(zhì):,(1) 其密度函數(shù)f(t)是偶函數(shù),(3) f(t)的極限為N(0,1)的密度函數(shù),即,(2) t1(n)

13、= t(n),當(dāng)n45時(shí), t(n)z,40,且 XN(2 , 1 ), Y i N(0 , 4 ),i = 1, 2, 3, 4 ,設(shè) X, Y1, Y2, Y3, Y4 相互獨(dú)立,例4,令,解 X-2 N(0 , 1 ),i = 1, 2, 3, 4 ., t(4),即 Z 服從自由度為 4 的 t 分布.,求 Z 的分布.,由 t 分布的定義,Y i / 2N(0 , 1),41,題 設(shè)隨機(jī)變量 X 與Y 相互獨(dú)立，X N(0,16), Y N(0,9) , X1, X2 , X9 與Y1, Y2 , Y16 分別是取自 X 與 Y 的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本, 求 統(tǒng)計(jì)量,所服從的分布.,解,42

14、,從而,43,t分布用于在小樣本場(chǎng)合下的正態(tài)分布(大樣本場(chǎng)合下可以用正態(tài)分布來近似),有時(shí)候在信息不足的情況下,只能用t分布,比如在整體方差不知的情況下,對(duì)總體均值的估計(jì)和檢驗(yàn)通常要用t統(tǒng)計(jì)量,44,記作 F F(m, n) .,由F 分布的定義可見，若 F F(m, n)，,定義:設(shè)隨機(jī)變量 X 與Y 獨(dú)立，,所服從的分布為第一自由度為 m , 第二自由度為 n 的 F 分布，,4、F 分布,則 F 的概率密度為,則稱統(tǒng)計(jì)量,其圖形 參見172,F分布多用于比例的估計(jì)和檢驗(yàn),45,F分布的上分位點(diǎn):,設(shè)FF(m,n),其密度函數(shù)為f(x),對(duì)于給定的正數(shù) (01), 稱滿足條件,的點(diǎn)F(m,

15、n)為F分布的上分位點(diǎn),F(m,n),46,F分布的性質(zhì):,(1) 若FF(m,n),則,(2),1 =PFF1(m,n),（3） 若 X t (n), 則 X 2 F(1, n);,47,例5 設(shè) F F(24, 15) ,求 F1, F2, F3, 使其分別滿足,解 (1) 由 m =24, n =15, = 0. 025 , 查 P342 附表7 知,(2) 無法直接查表獲得,但,由 F 分布性質(zhì)知,(3) F3 = F0. 95(24,15),查表可知,F 1 = F0.025 (24 , 15)= 2.70 ;, F2 = 1 / 2. 44 = 0.41 ;,由(*)式知,P(F

16、F1 )= 0. 025 , P(F F3 )= 0. 95 .,1/F F(15, 24),查附表7 知,統(tǒng)計(jì)三大分布的定義和基本性質(zhì)在后面的學(xué)習(xí)中常用到, 要牢記！,48,1. 單個(gè)正態(tài)總體的抽樣分布 2. 兩個(gè)正態(tài)總體的抽樣分布,6.3 抽樣分布定理,49,設(shè)X1,X2,.,Xn是來自正態(tài)總體N(,2)的樣本,則,1.單個(gè)正態(tài)總體的抽樣分布,定理:,(1),(3),(4),50,(1),為n個(gè)相互獨(dú)立的正態(tài),服從正態(tài)分布,=,隨機(jī)變量的線性組合,51,(4),且它們相互獨(dú)立,由t分布的定義,即,2(n1),52,例1(練習(xí)九.二.(1) 設(shè)(X1,X2,Xn)是取 自總體X的樣本, 是樣本均值,如果總體 XN( ,4),則樣本容量n應(yīng)取多大,才能使,解:,53,0.95,n1536.64,n1537,54,55,設(shè)總體XN(1,12),總體YN(2,