石大線代16.ppt

1、概 念： 正交矩陣、正交變換、特征值、特征向量、 特征多項(xiàng)式、特征方程、相似矩陣,前次課內(nèi)容回顧,若 p 是A的對(duì)應(yīng)于的特征向量, 則 kp (k0) 也是 A 的 對(duì)應(yīng)于的特征向量。 若p1, p2是A的對(duì)應(yīng)于的特征向量, 則 p1+p2 (p1+p2 0) 也是A的對(duì)應(yīng)于的特征向量。,一些結(jié)論：,一般地，,3）若是 A 的特征值，則,若A可逆,且是A的特征值, 則 是A-1的特征值.,注意 n 階方陣A的特征值、特征向量的求法,2) 對(duì)每個(gè)特征值 解方程組,定理 3 若 n 階方陣A與B相似，則A與B的特征多項(xiàng)式相 同，從而A與B的特征值亦相同。,定理 4 n 階方陣A相似于對(duì)角陣（即A能

2、對(duì)角化）充分 必要條件是A有n 個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量。,推論 如果 n 階矩陣A的 n 個(gè)特征值各不相等，則A與對(duì) 角陣相似。,注意 由定理4的證明過(guò)程可知：,1）對(duì)角陣的對(duì)角線上的元素就是A的 n 個(gè)特征值； 2）相似變換矩陣 P 的列向量就是A的 n個(gè)線性無(wú)關(guān) 的特征向量。,定理 6 設(shè)1,2 是實(shí)對(duì)稱矩陣A的兩個(gè)特征值，P1, P2 是對(duì)應(yīng)的特征向量，若12，則P1, P2正交。,定理7 設(shè)A是 n 階實(shí)對(duì)稱矩陣, 是 A的特征方程的 r 重 根, 則特征值恰有 r 個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量。 （此時(shí)矩陣（AE）的秩 R(AE)= n - r 。),定理表明, n 階實(shí)對(duì)稱矩陣一定有 n 個(gè)

3、線性無(wú)關(guān)的特 征向量。,在上述三個(gè)定理的基礎(chǔ)上，可得下述定理8.,定理8 設(shè)A是 n 階實(shí)對(duì)稱矩陣, 則必有正交矩陣 P, 使 ，其中 是以 A 的 n 個(gè)特征值為對(duì)角元素 的對(duì)角陣。,注意此定理不僅表明實(shí)對(duì)稱矩陣可以對(duì)角化，而且指 出其相似變換矩陣可以是正交矩陣。,5 二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形,的幾何性質(zhì)，我們可以選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)旋轉(zhuǎn)變換,把方程化為標(biāo)準(zhǔn)形,引言 在解析幾何中，為了便于研究二次曲線,注意 此為正 交變換,稱為二次型。,（*）式的左邊是一個(gè)二次齊次多項(xiàng)式，從數(shù)學(xué)的觀點(diǎn) 看，化標(biāo)準(zhǔn)形的過(guò)程就是通過(guò)變量的線性變換化簡(jiǎn)一個(gè) 二次齊次多項(xiàng)式，使它只含有平方項(xiàng)。 我們把二次齊次多項(xiàng)式稱為二次型。,

4、稱只含平方項(xiàng)的二次型，如,于是，有,為二次型的標(biāo)準(zhǔn)形。,當(dāng) 為復(fù)數(shù)時(shí)， 稱為復(fù)二次型；當(dāng) 為實(shí)數(shù) 時(shí)， 稱為實(shí)二次型。我們僅討論實(shí)二次型。,二次型的矩陣形式表示,記, 矩陣A是實(shí)的對(duì)稱陣；,易知，在上述記法下：,稱對(duì)稱陣A為二次型 f 的矩陣，也把 f 叫做對(duì) 稱陣A的二次型，A的秩就叫做二次型 f 的秩。, 實(shí)二次型與實(shí)對(duì)稱陣之間是一一對(duì)應(yīng)的。,例 寫出下列二次型所對(duì)應(yīng)的矩陣：,注意：這種習(xí)題雖然簡(jiǎn)單，但它是正確解題的前提， 千萬(wàn)不能寫錯(cuò)。,解,可見(jiàn)，與標(biāo)準(zhǔn)形對(duì) 應(yīng)的矩陣是對(duì)角陣,解,問(wèn)： 與標(biāo)準(zhǔn)形,對(duì)應(yīng)的矩陣是什么？此標(biāo)準(zhǔn)形用矩陣如何表示？,用矩陣表述，即尋求可逆變換 X=CY ，其中,為

5、可逆陣，使二次型,化為標(biāo)準(zhǔn)形。也即：,尋求可逆的 線性變換,即,要討論的問(wèn)題是：,證,A 為對(duì)稱陣，則 B 亦為對(duì)稱陣，且,由上可見(jiàn)：二次型化簡(jiǎn)，即,稱滿足此式 的矩陣A， B是合同的。,的問(wèn)題等價(jià)于：當(dāng)實(shí)對(duì)稱陣A給定后，如何求 一個(gè)可逆陣C，使得 成為對(duì)角陣。,總有正交變換 ，使 化為標(biāo)準(zhǔn)形 其中 是 的矩陣 的特征值。,定理10 任給實(shí)二次型,在本章第四節(jié)，我們已經(jīng)知道，對(duì)于任意實(shí)對(duì)稱陣A， 一定有正交矩陣 P，使得 ，而對(duì)正交矩陣來(lái) 說(shuō) 。因此，我們可以借助于正交變換來(lái)將二 次型化簡(jiǎn)。從而有,例（教材P124例11）, 寫出二次型的矩陣A（一定是對(duì)稱陣）； 求A的特征值（共 n 個(gè)，重根

6、按重?cái)?shù)計(jì)算）； 求各特征值對(duì)應(yīng)的特征向量； （在正交化、單位化后）寫出正交矩陣P； 寫出二次型的標(biāo)準(zhǔn)形及所用的正交變換。,注 此類習(xí)題是本章的基本題型之一，要求大家必須掌 握，其解法步驟如下：,求一個(gè)正交變換把下列二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形。,解 二次型 的矩陣為,它的特征 多項(xiàng)式為,于是A的特征值為,對(duì)于,解方程組,得基礎(chǔ)解系,單位化得,對(duì)于,解方程組,可得正交的基礎(chǔ)解系,單位化 即得,于是，正 交變換為,標(biāo)準(zhǔn)形為,例 化簡(jiǎn)二次型,6 化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的其它方法,若不限于用正交變換，還可以有多種方法把二次型 化成標(biāo)準(zhǔn)形，這里僅介紹配方法。其它方法請(qǐng)大家自 學(xué)。用配方法可以分為兩種情形： 1）二次型中含有平方項(xiàng)； 2）二次型中不含平方項(xiàng)。,解 由于 中含