2012年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)向?qū)У谒恼?第2講 導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用課件 理

1、第 2 講 導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用 1函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系 一般地，函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負有如下關(guān)系：在 某個區(qū)間(a，b)內(nèi)，如果 f(x)0，那么函數(shù) yf(x)在這個區(qū) 間內(nèi)_；如果 f(x)0，那么函數(shù) yf(x)在這個區(qū)間,內(nèi)_.,單調(diào)遞增,單調(diào)遞減,2判別 f(x0)是極大、極小值的方法 若 x0滿足 f(x0)0，且在 x0的兩側(cè) f(x)的導(dǎo)數(shù)異號，則 x0 是 f(x)的極值點，f(x0)是極值且如果 f(x)在 x0兩側(cè)滿足“左 正右負”，則 x0是 f(x)的_點，f(x0)是極大值；如果 f(x)在 x0兩側(cè)滿足“左負右正”，則 x0是 f(x)的_，f(x0

2、)是_,極大值,極小值,極小值,),D,1函數(shù) f(x)x33x21 是減函數(shù)的區(qū)間為( A(2，) B(，2) C(，0) D(0,2),2函數(shù) f(x)x3ax23x9，已知 f(x)在 x3 時取得極,值，則 a(,),D,A2,B3,C4,D5,3函數(shù) y2x33x212x5 在區(qū)間0,3上最大值與最小,值分別(,),A,A5，15,B5，4,C4，15,D5，16,A,解析：yexxex2，斜率 ke0023，所以，y1 3x，即 y3x1.,考點 1,討論函數(shù)的單調(diào)性,例 1：設(shè)函數(shù) f(x)x33axb(a0) (1)若曲線 yf(x)在點(2，f(2)處與直線 y8 相切，求

3、a、b 的值； (2)求函數(shù) f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值點,y3x1,5曲線 yxex2x1 在點(0,1)處的切線方程為_.,解題思路：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值 解析：(1)f(x)3x23a， 曲線 yf(x)在點(2，f(2)處與直線 y8 相切，,(2)f(x)3(x2a)(a0)， 當(dāng) a0 時，f(x)0， 函數(shù) f(x)在(，)上單調(diào)遞增，此時函數(shù) f(x)沒有極 值點 當(dāng) x(， a)時，f(x)0，函數(shù) f(x)單調(diào)遞增， 當(dāng) x( a， a)時，f(x)0，函數(shù) f(x)單調(diào)遞減， 當(dāng) x( a，)時，f(x)0，函數(shù) f(x)單調(diào)遞增， 此時 x a是 f(x

4、)的極大值點，x a是 f(x)的極小值點 本題出錯最多的就是將(1)中結(jié)論 a4 用到(2) 中,【互動探究】 1設(shè)函數(shù) f(x)xekx (k0) (1)求曲線 yf(x)在點(0，f(0)處的切線方程； (2)求函數(shù) f(x)的單調(diào)區(qū)間； (3)若函數(shù) f(x)在區(qū)間(1,1)內(nèi)單調(diào)遞增，求 k 的取值范圍,考點 2,導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值和最大(小)值,例 2：設(shè)函數(shù) f(x)2x33ax23bx8c 在 x1 及 x2 時 取得極值 (1)求 a、b 的值； (2)若對于任意的 x0,3，都有 f(x)c2成立，求 c 的取值 范圍,【互動探究】,考點 3,構(gòu)造函數(shù)來證明不等式,例 3：已

5、知函數(shù) f(x)是(0，)上的可導(dǎo)函數(shù)，若 xf(x)f(x) 在 x0 時恒成立,(2)求證：當(dāng) x10，x20 時，有 f(x1x2)f(x1)f(x2),所以函數(shù) g(x),因為 xf(x)f(x)，所以 g(x)0 在 x0 時恒成立，,f(x) x,在(0，)上是增函數(shù),(2)由(1)知函數(shù) g(x),f(x) x,在(0，)上是增函數(shù)，,所以當(dāng) x10，x20 時，,兩式相加得 f(x1x2)f(x1)f(x2),ln(x1)x.,1,x1,【互動探究】 3已知函數(shù) f(x)ln(x1)x. (1)求函數(shù) f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；,(2)若 x1，證明：1,1 x1,(1)解：函數(shù)

6、 f(x)的定義域為(1，)，,f(x),1 x1,x,.,由 f(x)0 及 x1，得 x0. 所以當(dāng) x(0，)時，f(x)是減函數(shù)， 即 f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0，) (2)證明：由(1)知，當(dāng) x(1,0)時，f(x)0； 當(dāng) x(0，)時，f(x)0. 因此，當(dāng) x1 時，f(x)f(0)，即 ln(x1)x0，,1，,.,x1,所以 ln(x1)x.,令 g(x)ln(x1),1 x1,則 g(x),1 1 x1 (x1), 2,x (x1),2,當(dāng) x(1,0)時，g(x)0；當(dāng) x(0，)時，g(x)0. 所以當(dāng) x1 時，g(x)g(0)，,即 ln(x1),1 x1,1

7、0，ln(x1)1,1,.,綜上可知，若 x1，則 1,1 x1,ln(x1)x.,錯源：f(x0)0 是 f(x0)為極值的必要但不充分條件 例 4：已知函數(shù) f(x)x33mx2nxm2 在 x1 時有極值 0，則 m_，n_.,誤解分析：對 f(x)為極值的充要條件理解不清，導(dǎo)致出現(xiàn)多 解 正解：f(x)3x26mxn， 由題意，f(1)36mn0， f(1)13mnm20，,即 x1 不是 f(x)的極值點，應(yīng)舍去 故 m2，n9.,糾錯反思：f(x)=0 是 f(x0)為極值的必要但不充分條件,判斷 x0不是極值點需要檢查 x0側(cè) f(x)的符號.如果左正右負，那么 f(x0) 是函

8、數(shù) f(x)的一個極大值；如果左負右正，那么 f(x0)是函數(shù) f(x) 的一個極小值；如果符號相同，那么 f(x0)不是函數(shù) f(x)的極值. 此題就沒有討論在兩種情況下，f(-1)是不是為極值.本題說明用 導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值時一定要判斷某函數(shù)值是不是極值，要檢驗相 關(guān)區(qū)間內(nèi)導(dǎo)數(shù)的符號.,【互動探究】 4設(shè) f(x)是函數(shù) f(x)的導(dǎo)函數(shù)，yf(x)的圖像如圖 4,),C,21，則 yf(x)的圖像最有可能的是( 圖 421,解析：由導(dǎo)函數(shù)的圖像知，導(dǎo)函數(shù)在 x0 和 x2 時的導(dǎo) 函數(shù)值為 0，故原來的函數(shù) yf(x)在 x0 和 x2 時取得極值 當(dāng) x0 或 x2 時，導(dǎo)函數(shù)值為正(或

9、0)，當(dāng) 0 x2 時，導(dǎo)函 數(shù)值為負，所以當(dāng) x0 或 x2 時函數(shù) yf(x)為增函數(shù)，當(dāng) 0 x2 時，函數(shù) yf(x)為減函數(shù)，故選項為 C.,(1)證明 a0；,(2)若 za2b，求 z 的取值范圍,解析：f(x)ax22bx2b. (1)由函數(shù) f(x)在 xx1 處取得極大值，在 xx2處取得極小 值，知 x1、x2是 f(x)0 的兩個根 所以 f(x)a(xx1)(xx2) 當(dāng) x0， 由 xx10. (2)在題設(shè)下，0x11x22 等價于,圖 422,1求函數(shù)的極值的步驟：,(1)確定函數(shù)的定義區(qū)間，求導(dǎo)數(shù) f(x) (2)求方程 f(x)0 的根,(3)用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為

10、0 的點，順次將函數(shù)的定義區(qū)間分成若 干小開區(qū)間，并列成表格檢查 f(x)在方程根左右的值的符號， 如果左正右負，那么 f(x)在這個根處取得極大值；如果左負右正， 那么 f(x)在這個根處取得極小值；如果左右不改變符號，那么 f(x) 在這個根處無極值,2求函數(shù)最值的步驟：,(1)求出 f(x)在(a，b)上的極值 (2)求出端點函數(shù)值 f(a)、f(b),(3)比較極值和端點值，確定最大值或最小值,1(2010 年佛山調(diào)研)已知函數(shù) f(x)x2axblnx(x0，實,數(shù) a、b 為常數(shù)),(1)若 a1，b1，求函數(shù) f(x)的極值； (2)若 ab2，討論函數(shù) f(x)的單調(diào)性,(1)求函數(shù) f(x)為奇函數(shù)的充要條件；,(2)若任取 a0,4，b0,3，求函數(shù) f(x)在 R 上是增函數(shù),的概率,所以 f(x)為奇函數(shù),故 f(x)為奇函數(shù)的充要條件是 a1.