概率論與數(shù)理統(tǒng)計第四講.ppt

1、一、乘法公式,設A、B為兩個事件，P（A）0,則 P(AB)P(A)P(B|A). (5.3) 式(5.3)就稱為事件A、B的概率乘法公式。,式(5.3)還可推廣到三個事件的情形： P(ABC)P(A)P(B|A)P(C|AB). (5.4) 一般地，有下列公式： P(A1A2An)P(A1)P(A2|A1).P(An|A1An1). (5.5),例3 盒中有3個紅球，2個白球，每次從盒中任取一只，觀察其顏色后放回，并再放 入一只與所取之球顏色相同的球，若從盒中連續(xù)取球4次,試求第1、2次取得白球、 第3、4次取得紅球的概率。,解：設Ai為第i次取球時取到白球，則,二、全概率公式與貝葉斯公式,

2、例4.市場上有甲、乙、丙三家工廠生產的同一品牌產品，已知三家工廠的市場占有率分別為1/4、1/4、1/2，且三家工廠的次品率分別為 2、1、3，試求市場上該品牌產品的次品率。,B,定義 事件組A1，A2，An (n可為)，稱為樣本空間S的一個劃分，若滿足：,A1,A2,An,B,定理1、 設A1，, An是S的一個劃分，且P(Ai)0，(i1，n)， 則對任何事件BS有,式(5.6)就稱為全概率公式。,例5 有甲乙兩個袋子，甲袋中有兩個白球，1個紅球，乙袋中有兩個紅球，一個白球這六個球手感上不可區(qū)別今從甲袋中任取一球放入乙袋，攪勻后再從乙袋中任取一球，問此球是紅球的概率？,解：設A1從甲袋放入

3、乙袋的是白球； A2從甲袋放入乙袋的是紅球； B從乙袋中任取一球是紅球；,甲,乙,思考：上例中，若已知取到一個紅球，則從甲袋放入乙袋的是白球的概率是多少？,答:,EX,已知某種疾病的發(fā)病率為0.1%, 該種疾病患者一個月 以內的死亡率為90%；且知未患該種疾病的人一個月以內的死亡率為0.1%；現(xiàn)從人群中任意抽取一人，問此人在一個月內死亡的概率是多少？若已知此人在一個月內死亡，則此人是因該種疾病致死的概率為多少？,定理2 設B1，, Bn是S的一個劃分，且P(Bi) 0，(i1，n)，則對任何事件AS，有,式(5.7)就稱為貝葉斯公式。,例6 商店論箱出售玻璃杯，每箱20只，其中每箱含0，1，2

4、只次品的概率分別為0.8, 0.1, 0.1，某顧客選中一箱，從中任選4只檢查，結果都是好的，便買下了這一箱.問這一箱含有一個次品的概率是多少？,解:設A:從一箱中任取4只檢查,結果都是好的. B0, B1, B2分別表示事件每箱含0，1，2只次品,已知:P(B0)=0.8, P(B1)=0.1, P(B2)=0.1,由Bayes公式:,例7數(shù)字通訊過程中，信源發(fā)射0、1兩種狀態(tài)信號，其中發(fā)0的概率為0.55，發(fā)1的概率為0.45。由于信道中存在干擾，在發(fā)0的時候，接收端分別以概率0.9、0.05和0.05接收為0、1和“不清”。在發(fā)1的時候，接收端分別以概率0.85、0.05和0.1接收為1

5、、0和“不清”。現(xiàn)接收端接收到一個“1”的信號。問發(fā)端發(fā)的是0的概率是多少?,0.067,解：設A-發(fā)射端發(fā)射0， B- 接收端接收到一個“1”的信號,0 (0.55),0 1 不清,(0.9) (0.05) (0.05),1 (0.45),1 0 不清,(0.85) (0.05) (0.1),1.6 事件的獨立性一、兩事件獨立,定義 設A、B是兩事件，若 P(AB)P(A)P(B)(6.1) 則稱事件A與B相互獨立。,注 ：當P(A) 0,式(6.1)等價于： P(B)P(B|A),從一付52張的撲克牌中任意抽取一張，以A表示抽出一張A，以B表示抽出一張黑桃，問A與B是否獨立？,定理、*以下

6、四件事等價 (1)事件A、B相互獨立；(2)事件A、B相互獨立； (3)事件A、B相互獨立；(4)事件A、B相互獨立。,EX,二、多個事件的獨立,定義2、 若三個事件A、B、C滿足： (1) P(AB)=P(A)P(B), P(AC)=P(A)P(C), P(BC)=P(B)P(C), 則稱事件A、B、C兩兩相互獨立；,若在此基礎上還滿足： (2) P(ABC)P(A)P(B)P(C), 則稱事件A、B、C相互獨立。,注:兩兩獨立未必相互獨立! 例:從分別標有1,2,3,4四個數(shù)字的4張卡片中隨機抽取一張,以事件A表示“取到1或2號卡片”;事件B表示“取到1或3號卡片”;事件C表示“取到1或4號卡片”.則事件A,B,C兩兩獨立但不相互獨立.,一般地，設A1，A2，An是n個事件，如果對 任意k (1kn), 任意的1i1i2 ik n，具有等式 P(A i1 A i2 A ik)P(A i1)P(A i2)P(A ik) 則稱n個事件A1，A2，An相互獨立。,思考： 1.設事件A、B、C、D相互獨立，則,2.一顆骰子擲4次至少得一個六點與兩顆骰子擲24次至少得一個雙六，這兩件事， 哪一個有更多的機會遇到？,答:0.518, 0.496,乘法公式,全概率公式,樣本空間劃分,事件 的 獨立性,Bayes公式,EX:一個學生欲到三家圖書館