代數(shù)學(xué)的新生-19世紀(jì)的代數(shù)學(xué).ppt

1、18世紀(jì)的幾何與代數(shù),分析的光芒使18世紀(jì)綜合幾何的發(fā)展暗然失色，但分析方法的應(yīng)用卻開拓出了一個嶄新的幾何分支，即微分幾何，從而改變了18世紀(jì)幾何學(xué)的面貌?！按鷶?shù)”在18世紀(jì)數(shù)學(xué)家心目中則是“分析”的同義語，他們將分析看作是代數(shù)的延伸。在這種情況下，18世紀(jì)的代數(shù)學(xué)為下個世紀(jì)的革命性發(fā)展做出了必要準(zhǔn)備。,1 微分幾何的形成,微積分的創(chuàng)始人已經(jīng)利用微積分研究曲線的曲率、拐點、漸伸線、漸屈線等而獲得了屬于微分幾何范疇的部分結(jié)果。但微分幾何成為獨立的數(shù)學(xué)分支主要是在18世紀(jì)。1731年法國數(shù)學(xué)家克萊洛發(fā)表了關(guān)于雙重曲率曲線的研究，開創(chuàng)了空間曲線理論，是建立微分幾何的重要一步。 歐拉是微分幾何的重要奠

2、基人。他早在1736年就引進了平面曲線的內(nèi)在坐標(biāo)概念，即以曲線弧長作為曲線上點的坐標(biāo)。在無限小分析引論第2卷中則引進了曲線的參數(shù)表示： x = x(s), y = y(s), z = z(s),歐拉將曲率定義為曲線的切線方向與一固定方向的交角相對于弧長的變化率,并推導(dǎo)了空間曲線任一點曲率半徑的解析表達式 歐拉的曲率定義是對克萊洛引進的空間曲線的兩個曲率之一的標(biāo)準(zhǔn)化（另一個曲率,現(xiàn)在叫“撓率”，其解析表示到19世紀(jì)初才得到）。歐拉關(guān)于曲面論的經(jīng)典工作關(guān)于曲面上曲線的研究（1760）被公認(rèn)為微分幾何史上的一個里程碑。歐拉在其中,將曲面表示為z = f ( x, y ), 并引進了相當(dāng)于,的標(biāo)準(zhǔn)符號

3、外，歐拉還正確地建立了曲面的曲率概念，引進了法曲率、主曲率等概念，并得到了法曲率的歐拉公式,（其中 是主曲率，是一法截面與主曲率所在法截面的交角）。1771年以后，歐拉還率先對可展曲面理論進行了研究，導(dǎo)出了曲面可展性的充分必要條件。 18世紀(jì)微分幾何的發(fā)展因蒙日的工作而臻于高峰。蒙日于1795年發(fā)表的關(guān)于分析的幾何應(yīng)用的活頁論文是第一部系統(tǒng)的微分幾何著述。他將空間曲線與曲面理論與微分方程緊密結(jié)合，在曲面簇、可展曲面及直紋面研究方面獲得了大量深刻的結(jié)果。與大多數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)家不同的是，蒙日不僅將分析應(yīng)用于幾何，同時也反過來用幾何去解釋微分方程，從而推動后者的發(fā)展。他開創(chuàng)了偏微分方程的特征理論，引進了探

4、討偏微分方程的幾何工具：特征曲線與特征錐（現(xiàn)稱“蒙日錐”）等，它們至今仍是現(xiàn)代偏微分方程論中的重要概念。,18世紀(jì)代數(shù)學(xué)的主題仍然是代數(shù)方程。在這個世紀(jì)的最后一年，年青的高斯在他的博士論文中公布了代數(shù)基本定理的第一個實質(zhì)性證明。高斯的這一成果可以看作是18世紀(jì)方程論的一個漂亮的總結(jié)。代數(shù)基本定理斷言n次代數(shù)方程恰有n個根。它最早是由荷蘭數(shù)學(xué)家吉拉爾于1629年提出，后經(jīng)笛卡爾、牛頓等眾多學(xué)者反復(fù)陳述、應(yīng)用，但均未給出證明。高斯的思想具有深刻的意義，因為其證明是純粹存在性的。在此之前，幾乎所有的數(shù)學(xué)家都習(xí)慣于通過實際構(gòu)造來證明問題解的存在。 相對于代數(shù)基本定理而言，高次方程根式可解性問題顯得并不

5、怎么幸運。盡管未能在18世紀(jì)奏響解決的凱歌, 但這個世紀(jì)的數(shù)學(xué)家們還是為此做出了歷史性貢獻，其中以拉格朗日的工作最為重要。他在1770年的一篇長文中探討了一般三、四次方程能根式求解的原因，并猜測高次方程一般不能根式求解。1799年，拉格朗日的部分猜測被意大利的魯菲尼所證實?？梢哉f，他們已經(jīng)走到了成功的邊緣，雖然未能達到目標(biāo)，卻為下一世紀(jì)的最終沖刺指明了方向。 方程組理論也是頗受關(guān)注的代數(shù)方程問題。首先是線性方程組與行列式理論。瑞士數(shù)學(xué)家克拉姆在其代數(shù)曲線分析引論（1750）中提出了由系數(shù)行列式來確定線性代數(shù)方程組解的表達式的法則，即“克拉姆法則”。行列式理論在1772年被法國數(shù)學(xué)家范德蒙德系統(tǒng)

6、化，自此成為獨立的數(shù)學(xué)對象。范德蒙德用二階子行列式及其余子式來展開行列式的法則，后來被拉普拉斯推廣到一般情形而稱為“拉普拉斯展開”。,2 方程論及其他,與方程論相聯(lián)系的是人們對數(shù)的認(rèn)識。18世紀(jì)的數(shù)學(xué)家還談不上有完整的數(shù)系概念和建立數(shù)系的企圖。雖然在接受負(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)方面還存有疑慮與爭議，但在弄清復(fù)數(shù)的意義方面卻也有些功績。隨著微積分的發(fā)展，復(fù)數(shù)幾乎進入了所有的初等函數(shù)領(lǐng)域，并且在應(yīng)用上卓有成效。達朗貝爾在1747年關(guān)于一切復(fù)數(shù)均可以表示成形式 a + b i 的斷言開始被多數(shù)人接受。1797年，丹麥數(shù)學(xué)家韋塞爾創(chuàng)造了復(fù)數(shù)的幾何表示，并發(fā)展了復(fù)數(shù)的運算法則。等到1806年瑞士人阿爾岡、1831年高

7、斯各自獨立發(fā)表了關(guān)于復(fù)數(shù)幾何表示的研究之后，籠罩著虛數(shù)的疑云終于被驅(qū)散開來。 18世紀(jì)數(shù)學(xué)家在澄清無理數(shù)邏輯基礎(chǔ)方面沒有進展，但他們以相對平靜的態(tài)度接受了一些數(shù)的無理性。歐拉在1737年證明了e是無理數(shù)。他的證明以連分?jǐn)?shù)為基礎(chǔ)，他得到 e 的連分?jǐn)?shù)展開：,因為他已經(jīng)證明了每一個有理數(shù)都能表示成一個有限的連分?jǐn)?shù)，所以e必定是無理數(shù)。1761年，蘭伯特用類似方法證明了圓周率是無理數(shù)。稍后勒讓德甚至猜測說可能不是任何有理系數(shù)方程的根。這促使數(shù)學(xué)家們將無理數(shù)區(qū)分為代數(shù)數(shù)和超越數(shù)。1844年，法國數(shù)學(xué)家劉維爾第一次真正地顯示了超越數(shù)的存在，他證明了形如,的數(shù)（a1 , a2 , a3 , 為從0到9的任

8、意整數(shù)）都是超越數(shù)。1873年和1882年，法國數(shù)學(xué)家埃爾米特和德國數(shù)學(xué)家林德曼又分別證明了e和 的超越性。,雖然古希臘、中國與印度的數(shù)學(xué)著作中早就給出了不少問題和結(jié)果，但近代意義上的數(shù)論研究還得從費馬開始。費馬提出了大量定理或猜想，讓全世界的數(shù)學(xué)家們忙碌了好幾個世紀(jì)，有的至今仍為現(xiàn)代數(shù)論饒有興趣的課題。 (1)費馬小定理：如果 p是素數(shù)， a與p互素，則 ap - a可以被 p 整除。 1640年10月18日,費馬給德貝西（B.Frenicle de Bessy）的信中提出。 (2)費馬大定理：對于任意大于 2的自然數(shù) n，方程xn + yn = zn 沒有整數(shù)解。 費馬閱讀巴歇（C.-G.

9、Bachet）校訂的丟番圖算術(shù)時的批注。1670年費馬及其子薩繆爾（Samuel）的批注連同巴歇校訂的算術(shù)再版，此問題公諸于世。 (3)平方數(shù)問題：I）每個4n + 1形的素數(shù)和它的平方都只能以一種方式表示為兩個平方數(shù)之和；每個4n + 1形的素數(shù)的三次方和它的四次方都只能以兩種方式；其五次方和六次方都能以三種方式，如此等等，以至無窮。如 n = 1時， 5 = 22 + 12 ， 52 = 32 + 42， 53 = 22 + 112 = 52 + 102 ，等等；II）每個正整數(shù)可表示成四個或少于四個平方數(shù)之和。 (4)費馬數(shù)：形如 Fn = 22 + 1 （n = 0, 1, 2, 3,

10、 ）的數(shù)永遠是素數(shù). 1640年，費馬給梅森的信中提出。 (5)佩爾方程的解：當(dāng)A是正數(shù)而非完全平方數(shù)時，佩爾（J.Pell, 1611-1685）方程 x2 - Ay2 = 1 有無窮個整數(shù)解。 1657年2月,費馬給德貝西（B.Frenicle de Bessy）的信中提出。 18世紀(jì)的數(shù)論尤其受到了費馬思想的主宰，該時期得到的許多結(jié)果，都與證明費馬提出的這些猜想有關(guān)。,3 數(shù)論的進展,n,1732年，歐拉推翻了費馬關(guān)于費馬數(shù)的結(jié)論，證明n = 5時， Fn = 22 + 1 不是素數(shù)，它有一個因子641。今天我們知道，對于 n = 5 16， Fn 都是合數(shù)。還存在其他的 n 使 Fn

11、是合數(shù)。 1736年，歐拉證明了費馬小定理是正確的。 1753年，歐拉在致哥德巴赫(C.Goldbach,1690-1764)的一封信中宣布證明了n = 3時的費馬大定理。其證明使用了一種稱為“無限下降法”技巧。該技巧實際也是費馬的發(fā)明。他曾使用這種方法證明了如下定理：邊長為整數(shù)的直角三角形其面積不可能是整數(shù)的平方。這也是費馬惟一寫出了證明過程的定理。證明大意是：令x, y, z為直角三角形的邊長， z 是斜邊，則有x2 + y2 = z2 ,設(shè)三角形面積為 u2, u是整數(shù)，三角形面積應(yīng)為u2 = xy/2. 依靠一套巧妙的推理, 費馬導(dǎo)出了另一組正整數(shù) X1 , Y1 , Z1 和 U1

12、, 因為X1 , Y1 , Z1 和 x , y , z有同樣性質(zhì)，故根據(jù)同樣推理可導(dǎo)出另一組正整數(shù)X2 , Y2 , Z2 , U2 , 使得,5,且有Z2 Z1 .,且有Z1 z ,使得,這一推理過程可以無限繼續(xù)下去，這將引出矛盾，因為不可能有無限下降的正整數(shù)序列，所以結(jié)論只能是：不存在面積為某個整數(shù)的平方而邊長均為整數(shù)的直角三角形。 費馬還曾在給朋友的信中宣稱自己用無限下降法證明了n = 4時的費馬大定理，但卻沒有寄出證明過程。德貝西根據(jù)費馬的提示在1676年補出了這一證明。無限下降法在18世紀(jì)成為一種證明數(shù)論問題的有用技巧。,18世紀(jì)的數(shù)學(xué)家們也有自己的猜想，其中最著名的是哥德巴赫猜想

13、與華林問題。1742年6月7日，哥德巴赫在給歐拉的信中提出了自己的猜想： 每個偶數(shù)是兩個素數(shù)之和；每個奇數(shù)是三個素數(shù)之和。 哥德巴赫的原始陳述相當(dāng)含糊，歐拉將其進一步明確化，但卻未能證明這個命題。哥德巴赫猜想現(xiàn)在的表述形式是英國數(shù)學(xué)家華林在他的代數(shù)沉思錄中首先給出的。華林在同一著作中還提出了他自己的一個猜想： 任一自然數(shù)n，可表示成至多r個數(shù)的k次冪之和，其中r依賴于k。 “華林問題”與哥德巴赫猜想，以及費馬那些未獲得解決的命題一起，為后世數(shù)論研究提供了持久的刺激。華林問題直至1909年才由德國數(shù)學(xué)家希爾伯特首次證明。1994年，費馬大定理也由英國數(shù)學(xué)家維爾斯證明，而哥德巴赫猜想至今仍然懸而未

14、決。（格爾曼1776-31） 18世紀(jì)數(shù)論還有兩項深刻的工作需要特別提到，它們都屬于歐拉。一個是歐拉在1737年導(dǎo)出的一個恒等式,該恒等式在數(shù)論與分析之間架起了一座橋梁，是解析數(shù)論的肇端。另一個是歐拉在1743年發(fā)現(xiàn)的二次互反律。誠如他所預(yù)言，二次互反律在19世紀(jì)成為數(shù)論研究的重要課題并引出“許多偉大的結(jié)果”，從而開啟了代數(shù)數(shù)論的新領(lǐng)域。,其中 s 1, n 取遍所有的正整數(shù)， p取遍所有素數(shù)。,從17世紀(jì)初開始，數(shù)學(xué)經(jīng)歷了近兩個世紀(jì)的開拓，在18世紀(jì)行將結(jié)束的時候，數(shù)學(xué)家們對自己從事的這門科學(xué)卻奇怪地存在著一種普遍的悲觀情緒。拉格朗日于1781年在寫給達朗貝爾的信中說：“在我看來似乎（數(shù)學(xué)的

15、）礦井已經(jīng)挖掘很深了，除非發(fā)現(xiàn)新的礦脈，否則遲早勢必放棄它，科學(xué)院中幾何學(xué)（指數(shù)學(xué)）的處境將會有一天變成目前大學(xué)里阿拉伯語的處境一樣，那也不是不可能的?！睔W拉和達朗貝爾都同意拉格朗日的觀點。法國法蘭西學(xué)院一份關(guān)于1789年以來數(shù)學(xué)科學(xué)進展的歷史及其現(xiàn)狀的報告更是預(yù)測在數(shù)學(xué)的“幾乎所有的分支里，人們都被不可克服的困難阻擋住了；把細(xì)枝末節(jié)完善化看來是剩下來惟一可做的事情了，所有這些困難好象是宣告我們的分析的力量實際上是已經(jīng)窮竭了”。 這種世紀(jì)末悲觀主義的由來，可能是因為17、18世紀(jì)數(shù)學(xué)與天文力學(xué)的緊密結(jié)合，使部分?jǐn)?shù)學(xué)家把天文與力學(xué)看成是數(shù)學(xué)發(fā)展的幾乎惟一源泉，而一旦這種結(jié)合變得相對滯緩和暫時進入

16、低谷，就會使人感到迷失方向。當(dāng)然也有人看到了曙光，孔多塞在1781年寫道：“不應(yīng)該相信什么我們已經(jīng)接近了這些科學(xué)必定會停滯不前的終點，我們應(yīng)該公開宣稱，我們僅僅是邁出了萬里征途的第一步！”,4 18世紀(jì)末數(shù)學(xué)發(fā)展的悲觀情緒,從根本上說，數(shù)學(xué)的發(fā)展與人類的生產(chǎn)實踐和社會需求密切相關(guān)，對自然的探索是數(shù)學(xué)研究最豐富的源泉。但是，數(shù)學(xué)的發(fā)展對于現(xiàn)實世界又表現(xiàn)出相對的獨立性。一種數(shù)學(xué)理論一經(jīng)建立，便可基于邏輯思維向前推進，并由此導(dǎo)致新理論與新思想的產(chǎn)生。因此，內(nèi)在的邏輯需要也是數(shù)學(xué)進步的重要動力之一。過于看重數(shù)學(xué)進展對現(xiàn)實需要的依賴，而忽視數(shù)學(xué)發(fā)展的內(nèi)在動力，難免產(chǎn)生對數(shù)學(xué)發(fā)展前景的悲觀預(yù)見. 生產(chǎn)實踐

17、的需要 數(shù)學(xué)發(fā)展的動力 數(shù)學(xué)內(nèi)部的矛盾 數(shù)學(xué)家的求知欲,實際上，就在18世紀(jì)后半葉，數(shù)學(xué)內(nèi)部悄悄積累的矛盾已經(jīng)開始醞釀新的變革。當(dāng)時的數(shù)學(xué)家們面臨著一系列數(shù)學(xué)自身產(chǎn)生的、長期懸而未決的問題，其中最突出的是： （1）高于四次的代數(shù)方程的根式求解問題； （2）歐幾里得幾何中平行公理的證明問題； （3）牛頓、萊布尼茲微積分算法的邏輯基礎(chǔ)問題。 在19世紀(jì)初，這些問題已變得越發(fā)尖銳而不可回避。,19世紀(jì)的代數(shù)學(xué)：新生的時代,1 代數(shù)方程的可解性與群的發(fā)現(xiàn),發(fā)現(xiàn)者：阿貝爾 伽羅瓦 發(fā)展者：凱萊 若爾當(dāng) F.克萊因 李,中世紀(jì)的阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家把代數(shù)學(xué)看成是解代數(shù)方程的學(xué)問。直到19世紀(jì)初，代數(shù)研究仍未超出這

18、個范圍。不過這時數(shù)學(xué)家們的注意力集中在了五次和高于五次的代數(shù)方程上。 二次方程的解法古巴比倫人就已掌握。中世紀(jì)，阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家將二次方程的理論系統(tǒng)化。三、四次方程的求解在文藝復(fù)興時期獲得解決。接下來，讓人關(guān)心的自然是一般的五次或更高次的方程求解。在解出三、四次方程后的整整兩個半世紀(jì)內(nèi)，很少有人懷疑五次代數(shù)方程根式解法的存在性。但是尋求這種解法的努力卻都以失敗而告終。,Niels Henrik Abel (18021829）,挪威數(shù)學(xué)家。1802年8月5日生于芬島一個牧師家庭,1829年4月6日卒于弗魯蘭。13歲入奧斯陸一所教會學(xué)校學(xué)習(xí),年輕的數(shù)學(xué)教師B.M.霍爾姆博發(fā)現(xiàn)了阿貝爾的數(shù)學(xué)天才,對他給

19、予指導(dǎo)。少年時,阿貝爾就已經(jīng)開始考慮一些數(shù)學(xué)問題。1821年在一些教授資助下,入奧斯陸大學(xué)。在學(xué)校里,他幾乎全是自學(xué),同時花大量時間作研究。1824年,他解決了用根式求解五次方程的不可能性問題。為了能有更多的讀者,他的論文以法文寫成,也送給了C.F.高斯,可是在外國數(shù)學(xué)家中沒有任何反響。1825年,他去拍林,結(jié)識了A.L.克雷爾,并成為好友。他鼓勵克雷爾創(chuàng)辦了著名的數(shù)學(xué)刊物純粹與應(yīng)用數(shù)學(xué)雜志。第1卷（1826）刊登了7篇阿貝爾的文章,其中有一般五次方程用根式不能求解的證明。以后各卷也有很多他的文章。1826年阿貝爾到巴黎,遇見了A.M.勒讓德和A.L.柯西等著名數(shù)學(xué)家。他寫了一篇關(guān)于橢圓積分的

20、論文,提交給法國科學(xué)院,不幸未得到重視,他只好又回到拍林?？死谞枮樗\求教授職位,沒有成功。1827年阿貝爾貧病交迫地回到了挪威,靠作家庭教師維生。直到阿貝爾去世前不久,人們才認(rèn)識到他的價值。,1828年,四名法國科學(xué)院院士上書給挪威國王,請他為阿貝爾提供合適的科學(xué)研究位置,勒讓德也在科學(xué)院會議上對阿貝爾大加稱贊。次年4月6日,不到27歲的阿貝爾就病逝。柏林大學(xué)邀請他擔(dān)任教師的信件在他去世后的第二天才送出。此后榮譽和褒獎接踵而來,1830年他和C.G.J.雅可比共同獲得法國科學(xué)院大獎。 阿貝爾在數(shù)學(xué)方面的成就是多方面的。除了五次方程之外,他還研究了更廣的一類代數(shù)方程,后人發(fā)現(xiàn)這是具有交換的伽羅

21、瓦群的方程。為了紀(jì)念他,后人稱交換群為阿貝爾群。阿貝爾還研究過無窮級數(shù),得到了一些判別準(zhǔn)則以及關(guān)于冪級數(shù)求和的定理。這些工作使他成為分析學(xué)嚴(yán)格化的推動者。,1.1 阿貝爾,阿貝爾和雅可比是公認(rèn)的橢圓函數(shù)論的奠基者。阿貝爾發(fā)現(xiàn)了橢圓函數(shù)的加法定理、雙周期性、并引進了橢圓積分的反演。他研究了形如R(x,y)dx的積分(現(xiàn)稱阿爾貝積分)，其中R（x, y）是x 和y 的有理函數(shù),且存在二元多項式f, 使 f ( x , y)=0。他還證明了關(guān)于上述積分之和的定理,現(xiàn)稱阿貝爾定理,它斷言:若干個這種積分之和可以用g個這種積分之和加上一些代數(shù)的與對數(shù)的項表示出來,其中g(shù)只依賴于f,就是f的虧格。阿貝爾這

22、一系列工作為橢圓函數(shù)論的研究開拓了道路,并深刻地影響著其他數(shù)學(xué)分支。C.埃爾米特曾說:阿貝爾留下的思想可供數(shù)學(xué)家們工作150年。,阿貝爾銅像,阿貝爾中學(xué)時代的筆記,Evariste Galois (18111832）,1.2 伽羅瓦,盡管1824年阿貝爾完全證實了拉格朗日的命題：“不可能用根式解四次以上方程”，粉粹了人們對根式求解五次以上代數(shù)方程的奢望，而且沒有忘記給出一些特殊的能用根式求解的方程，其中的一類現(xiàn)在被稱為“阿貝爾方程”。在此過程中，阿貝爾已在實際上引進了“域”這一重要的近世代數(shù)思想。 然而數(shù)學(xué)家們并不滿足，他們又開始追問：究竟什么樣的特殊方程能夠用根式來求解？在其1829-183

23、1年間完成的幾篇論文中，一位同樣年青的法國數(shù)學(xué)家伽羅瓦對此做出了解答。,伽羅瓦的思想是將一個n次方程,的n個根（由代數(shù)基本定理可知）x1、 x2 、 、 xn作為一個整體來考察，并研究它們之間的排列或稱“置換”。,為了容易理解起見，我們以四次方程的四個根x1、 x2 、 x3 、 x4為例，在包含這些 xi 的任何表達式中交換 x1和 x2 就是一個置換，用,來表示。另一個置換用,表示。第一個置換后再實行第二個置換，等價于實行第三個置換,我們說頭兩個置換按上述順序作成的“乘積”就是第三個置換，即P1 P2 = P3 . 對于四次方程的情形，易知共有4！=24個可能的置換。這些置換的全體構(gòu)成一個

24、集合，而其中任意兩個置換的乘積仍是原來集合中的一個置換，伽羅瓦稱之為“群”。這是歷史上最早的“群”的定義，不過它只是針對一個具體的群（置換群）所作的定義，還不是抽象群的一般定義。但伽羅瓦正是利用他提出的群的概念來解決方程根式可解性問題的。 進一步考慮一個方程根的置換群中某些置換組成的“子群”。這個群，伽羅瓦稱之為“方程的群”，也就是我們今天所說的“伽羅瓦群”。它的含義如下：考慮由方程系數(shù)的 有限次加、減、乘、除運算可能得到的一切表達式的集合。這個集合，現(xiàn)在叫方程的“基本域”，并記為 F = Q ( a1, a2 , , an )， Q為有理數(shù)域， a1, a2 , , an 是方程的系數(shù)，但伽

25、羅瓦沒有用“域”這個名稱。伽羅瓦群就是由方程的根的置換群中這樣一些置換構(gòu)成的子群，這些置換保持方程的根以 F 的元素為系數(shù)的全部代數(shù)關(guān)系不變。我們以四次方程為例來說明這個重要的概念。,設(shè)方程,，其中 p、 q 是獨立的，令F 是 p , q的有理表達式,形成的域（基本域），如,就是這樣一個表達式。這個方程的四個根：,是我們已經(jīng)知道的，并且容易看出這些根的系數(shù)在F中的下列兩個關(guān)系成立： x1 + x2 = 0, x3 + x4 = 0 , 可以驗證，在方程根的所有24個可能置換中，下面8個置換,都能使上述兩個關(guān)系在 F 中保持成立，并且這8個置換是24個置換中，使根之間在域F中的全部代數(shù)關(guān)系都保

26、持不變的僅有的置換。這8個置換就是方程在域F中的群，即伽羅瓦群。 需要指出，保持根的代數(shù)關(guān)系不變，就意味著在此關(guān)系中根的地位是對稱的。因此，伽羅瓦群刻畫了方程的根的對稱性。伽羅瓦于是指出，方程的群（即伽羅瓦群）與它是否根式可解存在著本質(zhì)聯(lián)系，對方程的群的認(rèn)識，是解決全部根式可解問題的關(guān)鍵。伽羅瓦證明，當(dāng)且僅當(dāng)方程的群滿足一定的條件（即方程的群是可解群）時，方程才是根式可解的，也就是他找到了方程根式可解的充分必要條件。 伽羅瓦攻克的難題雖然是三百年前的老問題,但他的思想?yún)s遠遠超出了他的時代。他的工作可以看成是近世代數(shù)的發(fā)端。這不只是因為它解決了方程根式可解性這樣一個難題，更重要的是群概念的引進導(dǎo)

27、致了代數(shù)學(xué)在對象、內(nèi)容和方法上的深刻變革。,伽羅瓦之后，數(shù)學(xué)家們逐漸認(rèn)識到“群”可以是一個更加普遍的概念，而不必僅限于置換群。 凱萊（A .Cayley）在1849-1854年間指出了矩陣在乘法下、四元數(shù)在加法下都構(gòu)成群，人們還發(fā)現(xiàn)高斯在數(shù)論中研究過的具有同一判別式的二次型類 f = ax2 + 2bxy + cy2 (a, b, c 為整數(shù)，x, y 取整數(shù)值，D = b2 ac 取固定值) 對于型的合成運算也構(gòu)成群。 1868-1869年間，若爾當(dāng)（C.Jordan）在物理學(xué)家布拉維斯(A.Bravais)關(guān)于運動群的理論的啟發(fā)下開展了無限群（即有無限多個元素的群）的系統(tǒng)研究。 若爾當(dāng)?shù)墓?/p>

28、作影響克萊因(F.Klein)關(guān)于幾何分類中的無限變換群的研究。 1874-1883年間, 挪威數(shù)學(xué)家李(S.Lie,1842-1899 )又研究了無限連續(xù)變換群（李群）。,Arthur Cayley,Camille Jordan,Felix Christian Klein 1849-1925,Sophus Lie,在抽象的群概念中，其元素本身的具體內(nèi)容已無關(guān)緊要，關(guān)鍵是聯(lián)系這些元素的運算關(guān)系。這樣建立起來的一般群論也就成了描寫其他各種數(shù)學(xué)和物理現(xiàn)象的對稱性質(zhì)的普遍工具。在19世紀(jì)末，群論已被應(yīng)用于晶體結(jié)構(gòu)的研究，在現(xiàn)代物理中，群論更成為研究基本粒子、量子力學(xué)的有力武器。 代數(shù)學(xué)由于群的概念的

29、引進和發(fā)展而獲得新生，它不再僅僅是研究代數(shù)方程，而更多地是研究各種抽象對象的運算關(guān)系，從而為20世紀(jì)代數(shù)結(jié)構(gòu)觀念的產(chǎn)生奠定了基礎(chǔ)。,到19世紀(jì)80年代，關(guān)于各種不同類型的群的研究使數(shù)學(xué)家們有了足夠的積累來形成抽象群的概念：,（A） 封閉性： 對于運算 * , a , b R，則a * b = c R ； （B） 結(jié)合性： 對于運算 * ， a ，b ，c R， 則（a * b ） * c = a * （ b * c ） ； （C） 存在單位元： I R，使 I * a = a * I = a ; （D） 存在逆元： a R，則 a -1 R，使 a * a -1 = a -1 * a = I

30、.,2 從四元數(shù)到超復(fù)數(shù),（1） 19世紀(jì)初復(fù)數(shù)的幾何表示 四元數(shù)的發(fā)現(xiàn)是繼伽羅瓦提出群的概念后，19世紀(jì)代數(shù)學(xué)最重大的事件。四元數(shù)是推廣平面復(fù)數(shù)系結(jié)構(gòu)的產(chǎn)物。 18末19世紀(jì)初，韋塞爾、阿爾岡和高斯等人給出了復(fù)數(shù) a + bi (a，b 為實數(shù))的幾何表示，這樣復(fù)數(shù)才有了合法地位。在稍微熟悉了復(fù)數(shù)的幾何表示之后，數(shù)學(xué)家們認(rèn)識到復(fù)數(shù)能用來表示和研究平面上的向量。,O,a,b,y,x,（2） 空間向量及其運算 向量概念在物理學(xué)上十分重要，力、速度或加速度這些有大小和方向的量都是向量，而人們很早就已知道向量的合成服從平行四邊形法則。數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)兩個復(fù)數(shù)相加的結(jié)果正好對應(yīng)于平行四邊形法則相加的向量和

31、。用復(fù)數(shù)來表示向量及其運算有一個很大的優(yōu)點，那就是，人們從此不必幾何地作出向量運算，就能通過代數(shù)的方法研究它們。這就像方程能用來表示和研究曲線而帶給人們方便一樣。然而事實卻使數(shù)學(xué)家們很快發(fā)覺，他們無法在三維情況下找到復(fù)數(shù)的一個類似物。,O,Sir William Rowan Hamilton,（3） 哈密頓對復(fù)數(shù)的推廣 在尋找復(fù)數(shù)三維推廣的數(shù)學(xué)家中，愛爾蘭數(shù)學(xué)家哈密頓也是其中一員。他在1837年曾把復(fù)數(shù)處理成實數(shù)的有序數(shù)偶，并希望通過推廣這種有序數(shù)偶的思想，來達到自己的目的。如此經(jīng)過15年的努力，他終于發(fā)現(xiàn)自己所要找的新數(shù)組應(yīng)包含四個分量，而且必須放棄乘法的交換性。他把這種新數(shù)組命名為四元數(shù)。

32、 哈密頓的四元數(shù)形如 a + b i + c j + d k，其中a , b ,c , d為實數(shù)，i，j，k滿足 i 2 = j 2 = k 2 = -1 ; ij = -ji = k , jk = -kj =i , ki = -ik = j 兩個四元數(shù)相乘可以根據(jù)上面的規(guī)則仿照復(fù)數(shù)乘法那樣去做，例如，設(shè) p =1+2i + 3j + 4k , q = 4+3i +2j + k, 則 pq =(1+2i + 3j + 4k )(4+3i +2j + k ) = -12 + 6i + 24j + 12k qp =(4+3i +2j + k) (1+2i + 3j + 4k ) = -12 + 1

33、6i + 4j + 22k,可見，但哈密頓證明了四元數(shù)乘法具有“結(jié)合性”，這是第一次使用這個術(shù)語。 四元數(shù)也是歷史上第一次構(gòu)造的不滿足乘法交換律的數(shù)系。四元數(shù)本身雖然沒有廣泛的應(yīng)用，但它對于代數(shù)學(xué)的發(fā)展來說是革命性的。哈密頓的作法啟示了數(shù)學(xué)家們，他們從此可以更加自由地構(gòu)造新的數(shù)系，通過減弱、放棄或替換普通代數(shù)中的不同定律和公理，就為眾多代數(shù)系的研究開辟了道路。,由四元數(shù)構(gòu)成的Jyuria集合,在哈密頓之后，各種新的超復(fù)數(shù)像雨后春筍般涌現(xiàn)出來。 事實上，就在哈密頓建立四元數(shù)的同時，一位德國數(shù)學(xué)家格拉斯曼也在試圖對復(fù)數(shù)作出推廣，與哈密頓相比，格拉斯曼的推廣更為大膽。他實際上涉及的是n維向量空間。他

34、的“擴張的量”就是一種有n個分量的超復(fù)數(shù)。例如：當(dāng) n = 3 時，考慮兩個超復(fù)數(shù) = a1e1 + a2e2 + a3e3 , = b1e1 + b2e2 + b3e3 其中， ai 和 bi 是實數(shù)， ei 是基元素，格拉斯曼定義它們的加減法為 = (a1 b1 ) e1 +(a2 b2 ) e2 + (a3 b3 ) e3 , 而對于乘法則定義了兩種，一種稱為內(nèi)積，另一種稱為外積。對于內(nèi)積，他假設(shè) ei ei = 1, ei ej = 0, i j , 所以 = a1b1 + a2 b2 + a3 b3 ,并且有 = .,4 格拉斯曼,Hermann Grassmann,對于外積，他假設(shè)

35、 eiei = 0, eiej = - ej ei , i j , 所以 = (a2 b3 a3 b2 ) e2e3 + (a3 b1 a1 b3 ) e3e1 + (a1 b2 a2 b21 ) e1e2 , 顯然 . 格拉斯曼還討論了超復(fù)數(shù)之間的混合積。在1855年的一篇文章中，格拉斯曼對超復(fù)數(shù)給出了16種不同類型的乘積。他對這些乘積作了幾何解釋，并給出了它們在力學(xué)、磁學(xué)和結(jié)晶學(xué)等方面的應(yīng)用。,麥克斯韋,（5） 吉布斯與亥維賽,將復(fù)數(shù)推廣到超復(fù)數(shù)的一個重要動力原本來源于物理中力學(xué)計算的需要。格拉斯曼的超復(fù)數(shù)在一定程度上滿足了這種需要，但他的工作在相當(dāng)長的一段時間里被人忽視了。四元數(shù)倒是很快

36、吸引了人們的注意力，但它卻不適合物理學(xué)家的需要。將四元數(shù)改造成物理學(xué)家所需要的工具的第一步，是由英國數(shù)學(xué)物理學(xué)家麥克斯韋邁出的。他將四元數(shù)結(jié)構(gòu)區(qū)分為數(shù)量部分和向量部分，并在此基礎(chǔ)上創(chuàng)造了大量的向量分析，不過他還是沒有把向量與四元數(shù)完全分開，仍然經(jīng)常把四元數(shù)作為基本的數(shù)學(xué)實體。,獨立于四元數(shù)的三維向量代數(shù)和向量分析，是在19世紀(jì)80年代初由美國數(shù)學(xué)物理學(xué)家吉布斯和英國數(shù)學(xué)物理學(xué)家亥維賽創(chuàng)立的。他們兩人對這個課題的發(fā),展結(jié)果，除了記法外本質(zhì)上是一致的。根據(jù)他們提出的思想，一個向量只是四元數(shù)的向量部分，但獨立于任何四元數(shù)。因此，向量 v = ai+bj+ck 其中i，j，k 是分別沿軸x, y, z

37、的單位向量，a,b,c是三個實數(shù)，稱為向量的分量。兩個向量的和仍是一個向量，它的分量就是相加的兩個向量相應(yīng)分量的和。 向量的乘法有兩種，一種是數(shù)量乘法，用“ ”表示，也稱為“點乘”，在這種情形中， i，j，k滿足 i i = j j = k k =1 , i j = j i = i k = k i = j k = k j =0,J Willard Gibbs,因此，把 v 和 v = ai + bj + ck 點乘就得到 v v = aa + bb + cc 點 這個乘積不再是向量而是一個數(shù)量，稱為數(shù)量積。所以。兩個向量的數(shù)量乘法與兩個實數(shù)或復(fù)數(shù)或四元數(shù)的乘法都不同，它不滿足封閉性。 向量的另

38、一種乘法是向量積，用“”表示，也稱為“叉乘”，在這種情形中，i，j，k 滿足 i i = j j = k k =0 , i j = k , j i = k , j k = i , k j = i , k i = j , i k = j , 因此，把 v 和 v叉乘就得到 v v = (bc bc) i + (ca ac ) j + (ab ba ) k 它也可寫成行列式的形式 :,兩個向量的向量積是一個向量，它的方向垂直于和所決定的平面，且指向通過較小的角度轉(zhuǎn)到時右手螺旋所指的方向。 有趣的是，魏爾斯特拉斯在1861年證明：有有限個基元素的實系數(shù)或復(fù)系數(shù)線性結(jié)合代數(shù)，如果要服從乘積定律和乘法交

39、換律，就只有實數(shù)代數(shù)和復(fù)數(shù)代數(shù)。這才使人們了解到為什么尋求“三維復(fù)數(shù)”的努力是徒勞的。,3 布爾代數(shù),3.1 前奏-萊布尼茨的工作,3.2 布爾及布爾代數(shù),3.3 杰文斯 皮爾斯 施羅德 弗雷格 皮亞諾 懷特海 羅素,19世紀(jì)中后葉，代數(shù)學(xué)還開拓了另一個完全不同的領(lǐng)域，即布爾代數(shù)。,3.1 前奏-萊布尼茨的工作,早在17世紀(jì)，萊布尼茲就試圖建立一種推理代數(shù)，通過演算完成一切正確的推理過程。但是萊布尼茲并沒有完成這項工作。,3.2 布爾及布爾代數(shù),萊布尼茲提出的邏輯數(shù)學(xué)化的思想在兩個世紀(jì)后才獲得實質(zhì)性進展。英國數(shù)學(xué)家布爾的邏輯代數(shù)即現(xiàn)今所稱的“布爾代數(shù)”基本上完成了邏輯的演算工作。 布爾的邏輯代

40、數(shù)建立于“謂詞量化”的基礎(chǔ)上。傳統(tǒng)的亞里士多德邏輯所討論的命題是一種具有“主-謂”形式的命題，在其三段論的各種基本形式中，只有主詞是被量化的。19世紀(jì)上半葉，一些邏輯學(xué)家在對邏輯形式做出新的分析后，發(fā)現(xiàn)實際判斷不但要考慮主詞的量，而且也要考慮謂詞的量。將謂詞量化的努力使人們想到可以用等式來處理命題，從而為布爾的邏輯代數(shù)作了技術(shù)上的準(zhǔn)備。,George Boole,Augustus De Morgan,1835年，20歲的喬治布爾開辦了一所私人授課學(xué)校。為了給學(xué)生們開設(shè)必要的數(shù)學(xué)課程，他興趣濃厚地讀起了當(dāng)時一些介紹數(shù)學(xué)知識的教科書。不久，他就感到驚訝，這些東西就是數(shù)學(xué)嗎？實在令人難以置信。于是，

41、這位只學(xué)過初級數(shù)學(xué)的青年自學(xué)了艱深的天體力學(xué)和很抽象的分析力學(xué)。由于他對代數(shù)關(guān)系的對稱和美有很強的感覺，在孤獨的研究中，他首先發(fā)現(xiàn)了不變量，并把這一成果寫成論文發(fā)表。這篇高質(zhì)量的論文發(fā)表后，布爾仍然留在小學(xué)教書, 是他開始和許多第一流的英國數(shù)學(xué)家交往或通信，其中有數(shù)學(xué)家、邏輯學(xué)家德摩根。摩根在19世紀(jì)前半葉卷入了一場著名的爭論，布爾知道摩根是對的，于是在1848年出版了一本薄薄的小冊子來為朋友辯護。這本書是他6年后更偉大的東西的預(yù)告，它一問世，立即激起了摩根的贊揚，肯定他開辟了新的、棘手的研究科目。布爾此時已經(jīng)在研究邏輯代數(shù)，即布爾代數(shù)。他把邏輯簡化成極為容易和簡單的一種代數(shù)。在這種代數(shù)中，適

42、當(dāng)?shù)牟牧仙系摹巴评怼保闪斯降某醯冗\算的事情，這些公式比過去在中學(xué)代數(shù)第二年級課程中所運用的大多數(shù)公式要簡單得多。這樣，就使邏輯本身受數(shù)學(xué)的支配。為了使自己的研究工作趨于完善，布爾在此后6年的漫長時間里，又付出了不同尋常的努力。 1854年，他發(fā)表了思維規(guī)律這部杰作，當(dāng)時他已39歲，布爾代數(shù)問世了，數(shù)學(xué)史上樹起了一座新的里程碑。幾乎像所有的新生事物一樣，布爾代數(shù)發(fā)明后沒有受到人們的重視。歐洲大陸著名的數(shù)學(xué)家蔑視地稱它為沒有數(shù)學(xué)意義的哲學(xué)上稀奇古怪的東西，他們懷疑英倫島國的數(shù)學(xué)家能在數(shù)學(xué)上做出獨特貢獻。布爾在他的杰作出版后不久就去世了。20世紀(jì)初，羅素在數(shù)學(xué)原理中認(rèn)為，純數(shù)學(xué)是布爾在一部他稱之

43、為思維規(guī)律的著作中發(fā)現(xiàn)的。此說一出，立刻引起世人對布爾代數(shù)的注意。今天，布爾發(fā)明的邏輯代數(shù)已經(jīng)發(fā)展成為純數(shù)學(xué)的一個主要分支。,布爾代數(shù)的基本公式,在布爾之后，一些邏輯學(xué)家和數(shù)學(xué)家又對他的邏輯演算作了改進和發(fā)展。其中比較重要的如： 杰文斯改進了相加的類必須不相交的限制； 皮爾斯則區(qū)分了命題和命題函數(shù)，并引入了兩個變量的命題函數(shù)； 在施羅德的三大卷邏輯代數(shù)講義（1890-1905）中，布爾代數(shù)更是發(fā)展到了頂峰。,William Jevons 1835-1882,Charles S Peirce 1839-1914,Ernst Schrder 1841-1902,1879年，德國數(shù)學(xué)家弗雷格開創(chuàng)了數(shù)

44、理邏輯研究的另一種傳統(tǒng)，即數(shù)學(xué)基礎(chǔ)傳統(tǒng)。他的目標(biāo)不是把數(shù)學(xué)應(yīng)用于邏輯以實現(xiàn)邏輯規(guī)律和邏輯推理的數(shù)學(xué)化，而是利用精密化的邏輯為數(shù)學(xué)建立一個可靠的基礎(chǔ)。,Gottlob Frege 1848-1925,Giuseppe Peano 1858-1932,Alfred Whitehead 1861-1947,以后，通過佩亞諾（G.Peano）、懷特海(A.Whitehead)和羅素（B.Russell）等人的工作，就將數(shù)理邏輯研究中的邏輯代數(shù)傳統(tǒng)和數(shù)學(xué)基礎(chǔ)傳統(tǒng)匯合在一起。,Bertrand Russell 1872-1970,4.1 高斯的算術(shù)研究,4 代數(shù)數(shù)論,在19世紀(jì)以前，數(shù)論只是一系列孤立的結(jié)

45、果，但自從高斯在1801年發(fā)表了他的算術(shù)研究后，數(shù)論作為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個重要分支得到了系統(tǒng)的發(fā)展。 算術(shù)研究中有三個主要思想：同余理論，復(fù)整數(shù)理論和型的理論。其中復(fù)整數(shù)理論正是代數(shù)數(shù)論的開端，而這個理論又是從高斯對同余理論的研究中派生出來的。如果 a , b , m 是整數(shù)，并且ab 能被m 整除，那么這時就說 a 和 b 關(guān)于模 m是同余的，高斯將這一事實記為 a b (mod m ), 它也稱為同余式。對于模相同的同余式，可以像等式那樣來處理。例如，從 a b (mod m ) 和 a b (mod m ), 可以得出 a a b b (mod m ) 。,Gauss,高斯特別研究了二次剩余

46、。而關(guān)于二次剩余和二次非剩余，有一個著名的定理與之相聯(lián)系，高斯稱之為二次互反律： 設(shè) p 和 q 是兩個相異的奇素數(shù)，如果乘積 是偶數(shù)，則當(dāng)且僅當(dāng) x2 p (mod q )有解時， x2 q(mod p)有解 ；如果上述乘積是奇數(shù)，則當(dāng)且僅當(dāng) x2 p (mod q )無解時， x2 q(mod p)有解 。利用勒讓德后來引入的一個記號 （q / p）：,如果 x2 q(mod p)有解,如果 x2 q(mod p)無解,還可以把二次互反律表達成如下優(yōu)美的形式：,它最先由歐拉所發(fā)現(xiàn)，但缺少證明。高斯非常欣賞這個定律，把它譽為“算術(shù)中的寶石”，算術(shù)研究中就有該定律的一個完全證明。 高斯在證明了

47、二次互反律之后，試圖將它推廣到三次或四次互反律，但他發(fā)現(xiàn)為使三次和四次剩余的理論簡單、優(yōu)美，就必須超出通常的整數(shù)范圍，引進復(fù)整數(shù)，即實部和虛部皆為整數(shù)的復(fù)數(shù)。對于復(fù)整數(shù)可以像處理普通整數(shù)那樣討論它的數(shù)論性質(zhì)。從而開辟了數(shù)論的一個新天地。,Adrien-Marie Legendre,4.2 庫默爾與理想數(shù),Eduard Kummer,在高斯之后對代數(shù)數(shù)論作出重要貢獻的是德國數(shù)學(xué)家?guī)炷瑺?。他引進了一種新的代數(shù)數(shù)，從而推廣了高斯的復(fù)整數(shù)理論。庫默爾原本打算基于這種代數(shù)數(shù)來證明費馬大定理。然而不久，他的設(shè)想便因狄利克雷對這種代數(shù)數(shù)唯一分解性的否定而被否定。因為對于一般的代數(shù)整數(shù)，唯 一分解定理并不成立

48、。例如考慮形如 的代數(shù)整數(shù)，這里 a , b 是整數(shù)。我們有,容易證明這四個因子都是素整數(shù)，可見唯一分解定理不成立。為了重建唯一分解定理，使得普通數(shù)論的一些結(jié)果在推廣到代數(shù)數(shù)論時仍能成立，為了使普通數(shù)論的一些結(jié)果在推廣到代數(shù)數(shù)論時仍能成立，庫默爾在1844-1847年間又創(chuàng)立了理想數(shù)理論。如針對上面的例子，在引入理想數(shù),后，6 就可以唯一地表示成四個因子的乘積： 6 =212 。后來德國數(shù)學(xué)家戴德金又把庫默爾的工作系統(tǒng)化并推廣到一般的代數(shù)數(shù)域，從而創(chuàng)立了現(xiàn)代代數(shù)數(shù)的理論。 戴德金將代數(shù)數(shù)的概念一般化之后，遂開始重建代數(shù)數(shù)域中的唯一因子分析定理，他引進了代數(shù)數(shù)類來代替理想數(shù)，為了紀(jì)念庫默爾的理想

49、數(shù)，他把它們稱為理想。,代數(shù)數(shù)域中整數(shù)環(huán)的除子半群中的元素。理想數(shù)的概念是由德國數(shù)學(xué)家?guī)炷瑺栐谘芯糠謭A域上的算術(shù)時提出來的。 在19世紀(jì)中葉，很多數(shù)學(xué)家還不清楚在代數(shù)整數(shù)環(huán)中是否和整數(shù)環(huán)一樣有素因子唯一分解定理，就連大數(shù)學(xué)家柯西也認(rèn)為唯一分解是對的。庫默爾就此問題與狄利克雷展開討論，在1844年他認(rèn)識到分解是不唯一的。于是，在18451847年庫默爾提出了理想數(shù)的概念。 如果從理想數(shù)的觀點看，整數(shù)環(huán)的分解是唯一的。庫默爾的理想數(shù)就是現(xiàn)今理想的雛形。在庫默爾理想數(shù)理論的基礎(chǔ)上，戴德金和克羅內(nèi)克創(chuàng)立了一般理想理論。戴德金將每個理想數(shù)與環(huán)中的理想一一對應(yīng)起來，這個理想被他定義為環(huán)中由0及能被這個理想數(shù)整除的所有元素組成的子集。 若al，an是理想 I 的生成元，則對應(yīng)于I的理想數(shù)是理想