88.2高斯定理.ppt

1、(1) 點電荷的場強,庫侖定律,電場強度,(2) 場強疊加原理,(3) 電荷連續(xù)分布的 帶電體的電場,7.3 高斯定理,高斯（CarlFriedrichGauss，17771855） 德國數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家、物理學(xué)家,高斯在數(shù)學(xué)上的建樹頗豐，有 “數(shù)學(xué)王子” 美稱。,因家境貧寒，父親靠短工為生，在一位貴族資助下與17951798年入格丁根大學(xué)學(xué)習(xí)。,1777年4月30日生于布倫瑞克。童年時就聰穎非凡，10歲發(fā)現(xiàn)等差數(shù)列公式而令教師驚嘆。,大學(xué)一年級（19歲）時就解決了幾何難題：用直尺與圓規(guī)作正十七邊形圖。1799年以論文 所有單變數(shù)的有理函數(shù)都可以解成一次或二次的因式這一定理的新證明獲得博土學(xué)位

2、。,1807年起任格丁根大學(xué)數(shù)學(xué)教授和天文臺臺長，一直到逝世。1838年因提出地球表面任一點磁勢均可以表示為一個無窮級數(shù)，并進行了計算，從而獲得英國皇家學(xué)會頒發(fā)的科普利獎?wù)隆?1855年2月23日在格丁根逝世。,(1)物理學(xué)和地磁學(xué)：關(guān)于靜電學(xué)、溫差電和摩擦電的研究、利用絕對單位（長度、質(zhì)量和時間）法則量度非力學(xué)量以及地磁分布的理論研究。 (2)光學(xué) ：利用幾何學(xué)知識研究光學(xué)系統(tǒng)近軸光線行為和成像，建立高斯光學(xué)。 (3)天文學(xué)和大地測量學(xué)中：如小行星軌道的計算，地球大小和形狀的理論研究等。 (4)試驗數(shù)據(jù)處理：結(jié)合試驗數(shù)據(jù)的測算，發(fā)展了概率統(tǒng)計理論和誤差理論，發(fā)明了最小二乘法，引入高斯誤差曲線

3、。 (5)高斯還創(chuàng)立了電磁量的絕對單位制。,高斯長期從事于數(shù)學(xué)并將數(shù)學(xué)應(yīng)用于物理學(xué)、天文學(xué)和大地測量學(xué)等領(lǐng)域的研究，主要成就：,規(guī)定：,1、電場線 ( Electric Field Line ) （電場的幾何描述）,2）通過垂直于電場方向單位面積的電場線條數(shù)等 于該點電場強度的大小。,1）曲線上每一點的切線方向表示該點場強的方向；,電場線密集的地方場強大。,電場線稀疏的地方場強小，,一、電通量,電場線的特性,1） 電場線起始于正電荷(或無窮遠處)， 終止于負電荷，不會在沒有電荷處中斷； 2） 電場線不相交。 3） 靜電場電場線不閉合。,電場線的這些性質(zhì)是由靜電場的基本性質(zhì)和場的單值性決定的?？?/p>

4、用靜電場的基本性質(zhì)方程加以證明。,一對等量異號點電荷的電場線,一對等量正點電荷的電場線,一對不等量異號點電荷的電場線,帶電平行板電容器的電場線,2、電場強度通量（Electric Flux）,定義：通過電場中某一曲面的電場線數(shù)，叫做通過這個面的電通量。,均勻電場 ， 垂直平面 S,均勻電場 ， 與平面夾角,，,非均勻電場，S 為任意曲面（不閉合的）,為面元矢量,為通過 S 面的電通量。,通過閉合曲面的電通量為：,為封閉曲面,規(guī)定：閉合面上各面元的外法線方向為正向。,表示穿出與穿入閉合曲面的電場線的條數(shù)之差，也就是凈穿出閉合曲面的電場線的總條數(shù)。,電場線穿出閉合面為正通量，,電場線穿入閉合面為負

5、通量。,解：,例：一個三棱柱體處在電場強度 的勻強電場中。求：通過此三棱柱體表面的電通量。,二、靜電場中的高斯定理（Gauss Law）,在真空中的靜電場內(nèi)，通過任一閉合曲面的電場強度通量，等于該曲面所包圍的所有電荷的代數(shù)和除以 。,（與面外電荷無關(guān)，閉合曲面稱為高斯面）,請思考：1）高斯面上的 與那些電荷有關(guān) ？,2）哪些電荷對閉合曲面 的 有貢獻 ？,高斯定理可用庫侖定律和場強疊加原理導(dǎo)出。,1、高斯定理,高斯定理的導(dǎo)出,結(jié)果與球面半徑無關(guān)，即以點電荷q 為中心的任一球面，不論半徑大小如何，通過球面的電通量都相等。,1）點電荷位于球面 中心,2）點電荷在任意閉合曲面 內(nèi),和 包圍同一個點電

6、荷。由于電場線的連續(xù)性，通過兩個閉合曲面的電場線的數(shù)目是相等的，所以,通過 的電通量：,即：通過任一個包圍點電荷的閉合曲面的電通量與曲面無關(guān)，結(jié)果都等于,3）點電荷在閉合曲面之外,4）在點電荷系的電場中，通過任意閉合曲面的電通量,面內(nèi)電荷產(chǎn)生,面外電荷產(chǎn)生,是指面內(nèi)電荷代數(shù)和。,對連續(xù)帶電體，高斯定理為：,表明：電力線從正電荷發(fā)出，穿出閉合曲面， 所以正電荷是靜電場的源頭。,表明：有電力線穿入閉合曲面而終止于負電荷， 所以負電荷是靜電場的尾。,高斯定理,高斯定理,1）高斯面上的電場強度為所有內(nèi)外電荷的總電場強度。,2）僅高斯面內(nèi)的電荷對高斯面的電場強度通量有貢獻。,4）反映了靜電場的基本性質(zhì)靜

7、電場是有源場。,3）穿進高斯面的電場強度通量為負，穿出為正。,正電荷是發(fā)出電場線的源頭，負電荷是吸收電場線的閭尾。,問題：,4）高斯面內(nèi)的電荷代數(shù)和為零時，則高斯面上各點的 場強一定為零。,高斯面內(nèi)的電荷代數(shù)和為零時，則高斯面上各點的 場強不一定處處為零。,在點電荷 和 的靜電場中，做如下的三個閉合面 求通過各閉合面的電通量。,例：一點電荷位于邊長為 a 的立方體的頂角上， 求：通過該立方體表面總的電通量。,解：,頂角所在的三個面上的通量為零。,其余三個面上直接計算困難,考慮用 8 個這樣的立方體將點電荷擁在中心。,其外表面上的電通量為：,由對稱性：,2、高斯定理的應(yīng)用,球?qū)ΨQ：如均勻帶電的球

8、體、球面、球殼。 軸對稱：如均勻帶電的長直柱體、柱面。 平面對稱：如均勻帶電的無限大平面、平板。,高斯定理的一個重要應(yīng)用是： 計算帶電體周圍電場的電場強度。,常見的具有對稱性分布的源電荷有：,求解的關(guān)鍵是選取適當?shù)母咚姑妗?只有在場強分布具有一定的對稱性時，才能比較方便應(yīng)用高斯定理求出場強。,1）分析場強分布的對稱性，找出場強的方向和場強大小的分布。 2）選擇適當?shù)母咚姑妫懗鐾ㄟ^該高斯面的電通量。 3）求出高斯面所包圍的電量。 4）按高斯定理求出場強。,用高斯定理計算場強的步驟：,如何選取高斯面：,2）高斯面必須通過所求的場點；,3）高斯面的形狀必須簡單規(guī)則，以便于計算穿過該面的電通量。,

9、4）使高斯面上各點的場強大小相等，方向與高斯面法線方向一致。,或高斯面上某一部分各點的場強方向與高斯面法線方向垂直，該部分的通量為零。而另一部分各點的場強大小相等，方向與高斯面法線方向一致。,1）高斯面必須是閉合曲面；,注意,高斯定理在任何電荷分布情況下都成立，但只有少數(shù)幾種高度對稱電荷分布的系統(tǒng)，其場強才能用高斯定理簡單地計算出來。,這是因為：,已知電荷分布，利用高斯定理求場強，意味著要解上面的積分方程！,但如果電荷分布具有的對稱性，能使場強這個物理量從積分號下提出來，左面只剩下面積積分，問題就簡單地解決了。,解：,均勻帶電球面的電場分布具有球?qū)ΨQ性。,由高斯定理：,球?qū)ΨQ時的高斯定理可寫為

10、：,取半徑 r 的同心球面為高斯面，,高斯面上場強大小相等，方向與面元外法向一致。,（1）,（2）,例：均勻帶電球體，已知 q、R。 求：任意點的電場強度。,解：,r R 時：,場強：,對稱性分析，,取高斯面。,r R 時：,電量,由高斯定理,場強,電通量,R,均勻帶電球體場強大小分布曲線,例：兩同心均勻帶電球面，半徑為 R1 和 R2 ，分別帶電 q1 和 q2 。求：空間電場分布。,解：由對稱性可知，電場方向是沿徑向向外的。,q1,q1+q2,R R1 :,由球?qū)ΨQ時的高斯定理：,0,= 0;,解：,作閉合圓柱面為高斯面。,例：無限大均勻帶電平面，面電荷密度為 ， 求：平面附近某點的電場強度。,具有面對稱性，,無限大均勻帶電平面的場強,討 論,解：,場