第6章 抽樣分布與參數(shù)估計

1、統(tǒng)計學教程 第6章 抽樣分布與參數(shù)估計,2020年8月1日/下午5時38分,第6章 抽樣分布與參數(shù)估計,6.1 抽樣分布 6.3 單一總體參數(shù)的區(qū)間估計 6.1.1 總體、個體和樣本 6.3.1 總體均值的區(qū)間估計 6.1.2 大數(shù)定律和中心極限定理 6.3.2 總體比例的區(qū)間估 6.1.3 三種分布 6.3.3 總體方差的區(qū)間估計 6.1.4 樣本均值的抽樣分布 6.4 兩個總體參數(shù)的區(qū)間估計 6.1.5 樣本比例的抽樣分布 6.4.1 兩個總體均值之差的 6.1.6 樣本方差的抽樣分布 區(qū)間估計 6.1.7 兩個總體樣本統(tǒng)計量的抽樣分布 6.4.2 兩個總體比例之差的 6.2 參數(shù)估計的一

2、般問題 區(qū)間估計 6.2.1 估計量和估計值 6.4.3 兩個總體方差比值的 6.2.2 點估計 區(qū)間估計 6.2.3 點估計量的評價準則 6.2.4 區(qū)間估計,第6章 抽樣分布與參數(shù)估計,6.1 抽樣分布,統(tǒng)計學教程,2020年8月1日/下午5時38分,統(tǒng)計學教程第6章 抽樣分布與參數(shù)估計,6.1 抽樣分布,6.1.1 總體、個體和樣本 總體（Population）是指所研究的事物及其現(xiàn)象的全體，由該事物及其現(xiàn)象的全部個體組成。 個體（Item Unit）是指構成總體的元素。 總體容量（Population Size）是指構成總體的全部個體的數(shù)量。 樣本（Sample）是指從總體抽取的若干個

3、體構成的集合。 抽樣（Sampling）是指按照具體的抽樣方法和抽樣設計，從總體中抽取若干個體的過程。 樣本容量（Sample size）是指構成樣本的全部個體的數(shù)量。,2020年8月1日/下午5時38分,統(tǒng)計學教程第6章 抽樣分布與參數(shù)估計,6.1 抽樣分布,6.1.1 總體、個體和樣本 總體（Population）是指所研究的事物及其現(xiàn)象的全體，由該事物及其現(xiàn)象的全部個體組成。 個體（Item Unit）是指構成總體的元素。 總體容量（Population Size）是指構成總體的全部個體的數(shù)量。 樣本（Sample）是指從總體抽取的若干個體構成的集合。 抽樣（Sampling）是指按照具

4、體的抽樣方法和抽樣設計，從總體中抽取若干個體的過程。 樣本容量（Sample size）是指構成樣本的全部個體的數(shù)量。 討論題 請用經濟管理中的實例，解釋上述的總體、個體和樣本等概念。,2020年8月1日/下午5時38分,統(tǒng)計學教程第6章 抽樣分布與參數(shù)估計,6.1 抽樣分布,6.1.2 大數(shù)定律和中心極限定理 1大數(shù)定律 在對客觀事物及其現(xiàn)象進行觀測和實驗中，隨著觀測或實驗的次數(shù)增多，事件發(fā)生的頻率和均值逐漸地趨于某個常數(shù)。 （1）貝努利定理（Bernoulli Theorem） （6.1） 貝努利定理表明事件發(fā)生的頻率依概率收斂于事件發(fā)生的概率。從而以嚴格的數(shù)學形式表述了頻率的穩(wěn)定性特征，

5、即n當很大時，事件發(fā)生的頻率與概率之間出現(xiàn)較大的偏差的可能性很小。由此，在n充分大的場合，可以用事件發(fā)生的頻率來替代事件的概率。,2020年8月1日/下午5時38分,統(tǒng)計學教程第6章 抽樣分布與參數(shù)估計,6.1 抽樣分布,（2）車比雪夫定理（Chebyshev Theorem） 設隨機變量相互獨立，且具有相同的有限的數(shù)學期望和方差，對于任意正整數(shù)有 （6.2） 稱序列 依概率收斂于總體均值。即當n充分大時，車比雪夫不等式幾乎都是成立的；當n趨于無窮大時，n個隨機變量的均值趨于總體均值。,2020年8月1日/下午5時38分,統(tǒng)計學教程第6章 抽樣分布與參數(shù)估計,6.1 抽樣分布,2中心極限定理

6、在客觀現(xiàn)實中，有許多隨機變量是由大量的相互獨立的隨機因素的綜合影響而形成的，任何一個因素在總的影響中的作用都是微小的，這種隨機變量往往近似地服從正態(tài)分布。 中心極限定理（Central Limit Theorem）反映了隨機變量近似地服從正態(tài)分布的特征。中心極限定理是大樣本推斷的理論基礎。 獨立同分布的中心極限定理是應用最多的一種中心極限定理。設隨機變量相互獨立，服從同一分布，且具有相同的有限的數(shù)學期望和方差，則 （6.3）,2020年8月1日/下午5時38分,統(tǒng)計學教程第6章 抽樣分布與參數(shù)估計,6.1 抽樣分布,2中心極限定理 在客觀現(xiàn)實中，有許多隨機變量是由大量的相互獨立的隨機因素的綜合

7、影響而形成的，任何一個因素在總的影響中的作用都是微小的，這種隨機變量往往近似地服從正態(tài)分布。 中心極限定理（Central Limit Theorem）反映了隨機變量近似地服從正態(tài)分布的特征。中心極限定理是大樣本推斷的理論基礎。 獨立同分布的中心極限定理是應用最多的一種中心極限定理。設隨機變量相互獨立，服從同一分布，且具有相同的有限的數(shù)學期望和方差，則 （6.3） 討論題 大數(shù)定律和中心極限定理對于參數(shù)估計的意義。,2020年8月1日/下午5時38分,統(tǒng)計學教程第6章 抽樣分布與參數(shù)估計,6.1 抽樣分布,6.1.3 三種分布 1總體分布 總體分布（Population Distributio

8、n）是指由客觀存在的，構成總體的個體所形成的頻數(shù)分布，及其相關參數(shù)數(shù)值。例如，當研究某一企業(yè)職工收入情況時，該企業(yè)全體職工的收入狀況的頻數(shù)分布，以及反映該企業(yè)全體職工收入狀況的均值、方差、偏態(tài)系數(shù)和峰度系數(shù)，從不同角度綜合描述了這一總體的分布特征。 我們往往是通過對構成總體的部分個體進行觀察，即通過樣本數(shù)據(jù)計算的統(tǒng)計量，例如樣本均值、樣本方差、樣本偏態(tài)系數(shù)和樣本峰度系數(shù)，以及樣本的頻數(shù)分布來推斷總體參數(shù)，用樣本分布來估計總體分布。,2020年8月1日/下午5時38分,統(tǒng)計學教程第6章 抽樣分布與參數(shù)估計,6.1 抽樣分布,2樣本分布 樣本分布（Sample Distribution）是指由構成

9、樣本的個體所形成樣本的頻數(shù)分布，以及計算出來的相關統(tǒng)計量。 樣本中的個體都是來自于總體，具有總體的相關信息和基本特征，樣本分布是總體分布的一個映象，一個縮影。當樣本容量充分大時，樣本分布趨近于總體分布。 樣本分布是指某一個具體的樣本中的個體數(shù)量特征。由于樣本是隨機抽取的，每一次抽取的樣本中的個體不盡相同，每一個具體的樣本分布也會與對應的總體分布存在或大或小的偏誤，根據(jù)樣本計算的統(tǒng)計量是隨機變量。 （隨機抽取的）樣本的分布與客觀的總體分布之間的誤差，需要借助抽樣分布概念。,2020年8月1日/下午5時38分,統(tǒng)計學教程第6章 抽樣分布與參數(shù)估計,6.1 抽樣分布,3抽樣分布 抽樣分布（Sampl

10、ing Distribution）是指從同分布總體中，獨立抽取的相同樣本容量的樣本統(tǒng)計量的概率分布。所以，抽樣分布是樣本分布的概率分布，抽樣分布是抽樣理論的研究對象。 抽樣分布反映了依據(jù)樣本計算出來的統(tǒng)計量數(shù)值的概率分布，這是科學地進行統(tǒng)計推斷的基礎。例如，在大樣本場合，由中心極限定理有樣本均值趨于正態(tài)分布。,2020年8月1日/下午5時38分,統(tǒng)計學教程第6章 抽樣分布與參數(shù)估計,6.1 抽樣分布,3抽樣分布 抽樣分布（Sampling Distribution）是指從同分布總體中，獨立抽取的相同樣本容量的樣本統(tǒng)計量的概率分布。所以，抽樣分布是樣本分布的概率分布，抽樣分布是抽樣理論的研究對象

11、。 抽樣分布反映了依據(jù)樣本計算出來的統(tǒng)計量數(shù)值的概率分布，這是科學地進行統(tǒng)計推斷的基礎。例如，在大樣本場合，由中心極限定理有樣本均值趨于正態(tài)分布。 討論題 為什么說抽樣分布是抽樣理論研究的對象，解釋三種分布之間的聯(lián)系。,2020年8月1日/下午5時38分,統(tǒng)計學教程第6章 抽樣分布與參數(shù)估計,6.1 抽樣分布,6.1.4 樣本均值的抽樣分布 1大樣本場合下的樣本均值抽樣分布 在反復抽取容量相同的獨立同分布樣本條件下，所得到的樣本均值的概率分布稱為樣本均值的抽樣分布。在樣本容量充分大的情況下，即大樣本場合，樣本均值依據(jù)中心極限定理趨于正態(tài)分布。 所謂獨立同分布樣本為從無限總體中隨機抽取的等概樣本

12、，或從有限總體中以放回方式，隨機抽取的等概樣本。 所謂大樣本是指能夠滿足中心極限定理要求，使樣本均值趨于正態(tài)分布的樣本容量。在統(tǒng)計實踐中一般稱樣本容量大于30即為大樣本這只是一個粗略的經驗數(shù)值。 有離散變量樣本均值的計算公式 （6.4）,2020年8月1日/下午5時38分,統(tǒng)計學教程第6章 抽樣分布與參數(shù)估計,6.1 抽樣分布,在樣本容量充分大的場合下，樣本均值漸進地趨于數(shù)學期望為總體均值，方差為總體方差的n分之一的正態(tài)分布，即 樣本均值的數(shù)學期望為總體均值，表明從平均的觀點來看，用樣本均值估計總體均值不存在偏差，即具有無偏性；樣本均值的方差為總體方差的n分之一，表明只要總體方差是有限的，那么

13、隨著樣本容量的增大，樣本均值的方差相應減小，用樣本均值估計總體均值的誤差也相應減小。同時可以由總體方差和樣本容量，精確地計算出這一樣本均值的方差，并且用這一樣本方差度量使用樣本均值估計總體均值的誤差。 通過對樣本均值的標準化處理，在用樣本均值估計總體均值時，可以使用標準正態(tài)分布來計算抽樣誤差出現(xiàn)的概率。,2020年8月1日/下午5時38分,統(tǒng)計學教程第6章 抽樣分布與參數(shù)估計,6.1 抽樣分布,例6.1 在一次研究某一企業(yè)職工收入情況的調查中，準備從該企業(yè)隨機抽取100個職工個人的收入狀況數(shù)據(jù)構成樣本，以此推斷該企業(yè)職工平均月收入。 要求 若該企業(yè)職工平均月收入的總體均值為2000元，總體標準

14、差為為250元，試計算樣本均值不小于1950元的概率。 解 根據(jù)中心極限定理，在樣本容量充分大時，樣本均值漸進地趨于數(shù)學期望為總體均值，方差為總體方差的n分之一的正態(tài)分布，有本例的樣本均值漸進地趨于數(shù)學期望為2000元，標準差為25的正態(tài)分布，即。代入正態(tài)分布概率計算公式，得 即樣本均值不小于1950元的概率為97.7%。（查表，教材324頁）,2020年8月1日/下午5時38分,統(tǒng)計學教程第6章 抽樣分布與參數(shù)估計,6.1 抽樣分布,2小樣本場合下的樣本均值抽樣分布 在小樣本場合，不滿足中心極限定理對于樣本容量充分大的要求，樣本均值不趨于正態(tài)分布，而是趨于t分布。 統(tǒng)計學家戈斯特（W. S.

15、 Gosset 1876-1936）在1908年以 Student 的筆名發(fā)表的一篇論文中，首次提出了t分布，從而這一小樣本分布理論被稱為Student分布，簡稱為t分布。 設為來自正態(tài)分布總體的樣本，有 （6.5） 為T統(tǒng)計量，T統(tǒng)計量服從于自由度為n-1的t分布。,2020年8月1日/下午5時38分,統(tǒng)計學教程第6章 抽樣分布與參數(shù)估計,6.1 抽樣分布,式（6.5）中的s2表示樣本方差，有 （6.6） 式（6.6）存在著一個線性約束,T統(tǒng)計量服從自由度n-1為的t分布。 t分布的形狀也是一左右對稱的鐘形圖形，比正態(tài)分布扁平，并且受到自由度數(shù)值大小的約束，自由度的數(shù)值越小，t分布越趨于扁平

16、；自由度的數(shù)值越大，t分布扁平的程度越小，并且隨著自由度的數(shù)值增大，t分布的形態(tài)逐漸趨于正態(tài)分布。 t分布的應用條件是總體服從正態(tài)分布。在總體方差未知時，t分布是一種精確的估計方法，正態(tài)分布只是其近似的概率分布。,2020年8月1日/下午5時38分,統(tǒng)計學教程第6章 抽樣分布與參數(shù)估計,6.1 抽樣分布,例6.2 假定某一企業(yè)職工收入情況服從正態(tài)分布中，從該企業(yè)隨機抽取了16個職工個人的收入狀況數(shù)據(jù)構成樣本，擬以此推斷該企業(yè)職工平均月收入。 要求 若該企業(yè)職工平均月收入的總體均值為2000元，樣本標準差為為250元，試計算樣本均值不小于1950元的近似概率。 解 由于樣本容量小于30，為小樣本

17、，此時的樣本均值服從于t分布。并且，已知樣本容量為16，因此本例的樣本均值服從于自由度為15的t分布。有 即在樣本容量僅為16的小樣本條件下，該次調查的樣本均值不小于1950元的概率為78.19%。,2020年8月1日/下午5時38分,統(tǒng)計學教程第6章 抽樣分布與參數(shù)估計,6.1 抽樣分布,6.1.6 樣本方差的抽樣分布 在反復抽取容量相同的獨立同分布樣本條件下，所得到的樣本方差的概率分布稱為樣本方差的抽樣分布。 在服從正態(tài)分布的同分布總體中，樣本方差與總體方差的比值服從于自由度n-1為的卡方分布。即 （6.9） 卡方分布僅在第一象限取值，所以分布的取值永遠為正數(shù)?？ǚ椒植家话銥橛移珣B(tài)的偏峰分

18、布，偏倚形態(tài)取決于其自由度的數(shù)值，自由度的數(shù)值越小，偏倚的程度越大，并且隨著自由度的數(shù)值增大，分布的形態(tài)逐漸趨于對稱，正態(tài)分布是卡方分布的極限分布。,2020年8月1日/下午5時38分,統(tǒng)計學教程第6章 抽樣分布與參數(shù)估計,6.1 抽樣分布,6.1.7 兩個總體樣本統(tǒng)計量的抽樣分布 1兩個樣本均值之差的抽樣分布 在兩個總體中，各自獨立地反復抽取樣本容量分別為和的獨立同分布樣本條件下，所得到的兩個樣本均值和之差的概率分布稱為兩個樣本均值之差的抽樣分布。在大樣本場合，兩個樣本均值之差依據(jù)中心極限定理趨于正態(tài)分布。 由于兩個樣本均值之差的數(shù)學期望為兩個總體均值之差，即 （6.10）,2020年8月1

19、日/下午5時38分,統(tǒng)計學教程第6章 抽樣分布與參數(shù)估計,6.1 抽樣分布,兩個樣本均值之差的方差為這兩個樣本均值方差之和，有 （6.11） 因此，這樣的兩個樣本均值之差的抽樣分布為 （6.12）,2020年8月1日/下午5時38分,統(tǒng)計學教程第6章 抽樣分布與參數(shù)估計,6.1 抽樣分布,3兩個樣本方差比值的抽樣分布 在兩個正態(tài)總體中，各自獨立地反復抽取樣本容量分別為和的獨立同分布樣本條件下，所得到的兩個樣本方差和比值的概率分布稱為兩個樣本方差比值的抽樣分布。兩個樣本方差比值的抽樣分布服從于F分布。 F分布在形式上為兩個獨立的卡方分布除以各自自由度的比值。由式（6.9）可以給出兩個樣本方差和的

20、卡方分布，再計算出這兩者的比值，即得到F統(tǒng)計量。 （6.17）,第6章 抽樣分布與參數(shù)估計,6.2 參數(shù)估計的一般問題,統(tǒng)計學教程,2020年8月1日/下午5時38分,統(tǒng)計學教程第6章 抽樣分布與參數(shù)估計,6.2 參數(shù)估計的一般問題,6.2.1 估計量和估計值 1估計量 估計量（Estimator）是指用于估計相關的總體參數(shù)的統(tǒng)計量。樣本均值、樣本比例和樣本方差都是估計量。 2估計值 估計值（Estimate）是指估計量的具體數(shù)值。例如，通過樣本的數(shù)據(jù)，按照相關估計量的計算公式，所得出的樣本均值、樣本比例和樣本方差的具體數(shù)值就是估計值。 參數(shù)估計（Parameter Estimation）就是

21、在樣本數(shù)據(jù)的基礎上，計算估計量的具體數(shù)值估計值，去推斷相關的總體參數(shù)的方法和過程。,2020年8月1日/下午5時38分,統(tǒng)計學教程第6章 抽樣分布與參數(shù)估計,6.2 參數(shù)估計的一般問題,6.2.2 點估計 點估計（Point Estimate）是指用估計量的數(shù)值直接作為總體參數(shù)的估計值的方法和過程。 在總體分布形式為已知，從該總體中抽取一個樣本，對未知參數(shù)所作的一個數(shù)值點的估計，稱為參數(shù)的點估計。 點估計的方法有矩估計法、順序統(tǒng)計量法、最大似然法和最小二乘法等。,2020年8月1日/下午5時38分,統(tǒng)計學教程第6章 抽樣分布與參數(shù)估計,6.2 參數(shù)估計的一般問題,矩估計法 矩估計法（Metho

22、ds of Moment Estimation）是指用樣本的矩，估計總體的矩的參數(shù)估計方法。矩是在數(shù)學期望基礎上定義的數(shù)字特征，可以分為k階原點矩和k階中心矩兩類。 （1）k階原點矩（Moment of Order K About the Origin）是指隨機變量的k次方的數(shù)學期望，其中k為任意正整數(shù)，寫為 （6.18） 一階原點矩就是隨機變量的數(shù)學期望. （2）k階中心矩（Centred Moment of Order k）是指隨機變量與其數(shù)學期望之差的k次方的數(shù)學期望，其中k為任意正整數(shù)，寫為 （6.19） 二階中心矩就是隨機變量的方差.,2020年8月1日/下午5時38分,統(tǒng)計學教程第

23、6章 抽樣分布與參數(shù)估計,6.2 參數(shù)估計的一般問題,6.2.3 點估計量的評價準則 在參數(shù)的點估計中，可以從一致性、無偏性和有效性三個方面對點估計量進行評價。 1一致性 一致性（Consistency）是指當樣本容量趨于無窮大時，估計量依概率收斂于總體參數(shù)。即 （6.25） 則稱為的滿足一致性準則的估計量，一般稱之為一致估計量。 一致估計量隨著樣本容量的增大，其數(shù)值越來越接近被估計的總體參數(shù)。,2020年8月1日/下午5時38分,統(tǒng)計學教程第6章 抽樣分布與參數(shù)估計,6.2 參數(shù)估計的一般問題,2無偏性 無偏性（Unbiasedness）是指估計量的數(shù)學期望等于未知的總體參數(shù)真值。即 （6.

24、26） 則稱為的滿足無偏性準則的估計量，一般稱之為無偏估計量。 樣本均值是總體均值的一個無偏估計量。 （6.27）,2020年8月1日/下午5時38分,統(tǒng)計學教程第6章 抽樣分布與參數(shù)估計,6.2 參數(shù)估計的一般問題,2無偏性 無偏性（Unbiasedness）是指估計量的數(shù)學期望等于未知的總體參數(shù)真值。即 （6.26） 則稱為的滿足無偏性準則的估計量，一般稱之為無偏估計量。 樣本均值是總體均值的一個無偏估計量。 （6.27） 討論題 總體方差的最大似然估計量和矩估計量是否均為無偏估計量。,2020年8月1日/下午5時38分,統(tǒng)計學教程第6章 抽樣分布與參數(shù)估計,6.2 參數(shù)估計的一般問題,3

25、有效性 有效性（Effectiveness）是指采用均方誤差對估計量精確程度的測定，通常表現(xiàn)為兩個估計量的均方誤差之比。 均方誤差就是一個測定估計量本身的離散程度，以及估計量數(shù)學期望與總體相關參數(shù)的真值的偏倚程度的測度。 均方誤差（Mean Square Error）是估計量與總體參數(shù)真值的離差的平方的數(shù)學期望，有 （6.28） 若將估計量的數(shù)學期望與總體參數(shù)真值的離差記為，稱為估計量的偏差，作為反映估計量與總體參數(shù)真值偏倚程度的測度。則可將式（6.23）寫為 （6.29）,2020年8月1日/下午5時38分,統(tǒng)計學教程第6章 抽樣分布與參數(shù)估計,6.2 參數(shù)估計的一般問題,均方誤差是由估計量

26、的方差和偏差兩部分組成。其中估計量的方差反映的是估計量本身的離散程度；估計量的偏差反映的是估計量的數(shù)學期望與總體參數(shù)真值的偏倚程度。 當兩個估計量均為無偏估計量時，均方誤差的式（6.29）中的第二項為0，只剩下第一項估計量的方差。這時只要比較估計量的方差就可以對其有效性進行評價。 從計算均方誤差的式（6.29）可知，對于一個估計量的評價，需要綜合分析它對于相關總體參數(shù)的估計誤差，不能簡單地認為一個無偏的估計量就一定優(yōu)于一個有偏的估計量，還要具體度量有偏估計量的偏倚程度，以及兩個估計量的有效性。所以，有效性是評價估計量的一個綜合性的重要的準則。,2020年8月1日/下午5時38分,統(tǒng)計學教程第6

27、章 抽樣分布與參數(shù)估計,6.2 參數(shù)估計的一般問題,6.2.4 區(qū)間估計 區(qū)間估計（Interval Estimate）是在點估計的基礎上，給出在一定的置信程度下確定總體參數(shù)取值區(qū)間的方法和過程。 在點估計中，總體參數(shù)估計量的具體取值為一數(shù)值點，而樣本是從總體中隨機地抽取出來的，其估計值是依抽樣分布的隨機變量，單一的數(shù)值點不能全面反映抽樣分布的狀態(tài)，及其樣本估計量的隨機分布特征，不能度量樣本估計的精確程度，所以提出了區(qū)間估計問題。 建立在點估計基礎上的區(qū)間估計，在給出了相關總體參數(shù)真值的估計量的同時，還給出了一個通常以取值區(qū)間形式表述的數(shù)值范圍，以及在這個數(shù)值區(qū)間內包含總體參數(shù)的可靠程度。這種

28、形式的參數(shù)估計就稱為區(qū)間估計。,2020年8月1日/下午5時38分,統(tǒng)計學教程第6章 抽樣分布與參數(shù)估計,6.2 參數(shù)估計的一般問題,2020年8月1日/下午5時38分,統(tǒng)計學教程第6章 抽樣分布與參數(shù)估計,6.2 參數(shù)估計的一般問題,在區(qū)間估計中，置信區(qū)間反映的是區(qū)間估計的精確程度，置信水平反映的是區(qū)間估計的可靠程度，對于某一樣本容量已定的具體樣本而言，這兩方面是互為消長的。 當通過縮小置信區(qū)間來提高對總體參數(shù)的估計精確程度時，就需要降低置信水平，降低對總體參數(shù)估計的可靠程度；若是要提高區(qū)間估計的可靠程度，勢必會增大置信區(qū)間，降低對總體參數(shù)估計的精確程度。所以，需要根據(jù)具體情況和實際需要適當

29、地選擇置信水平的數(shù)值，進而確定置信區(qū)間。 若既要提高區(qū)間估計的精確程度，又要提高區(qū)間估計的可靠程度，就需要采取增加樣本容量，以及通過更有效的抽樣和估計方法來實現(xiàn)。,第6章 抽樣分布與參數(shù)估計,6.3 單一總體參數(shù)的區(qū)間估計,統(tǒng)計學教程,2020年8月1日/下午5時38分,統(tǒng)計學教程第6章 抽樣分布與參數(shù)估計,6.3 單一總體參數(shù)的區(qū)間估計,6.3.1 總體均值的區(qū)間估計 1在方差已知時，總體均值的區(qū)間估計 在方差為已知時，樣本均值服從于正態(tài)分布，因而構建Z統(tǒng)計量。有 （6.31） 根據(jù)區(qū)間估計的定義，構造總體均值的雙側區(qū)間估計置信區(qū)間，對于給定的顯著性水平，從式（6.30）和式（6.31）出發(fā)

30、，有 （6.32）,2020年8月1日/下午5時38分,統(tǒng)計學教程第6章 抽樣分布與參數(shù)估計,6.3 單一總體參數(shù)的區(qū)間估計,則有總體均值的雙側區(qū)間估計置信區(qū)間為 在對總體均值進行單側區(qū)間估計時，有 （6.33） 則總體均值的單側區(qū)間估計置信區(qū)間為 或者,2020年8月1日/下午5時38分,統(tǒng)計學教程第6章 抽樣分布與參數(shù)估計,6.3 單一總體參數(shù)的區(qū)間估計,在式（6.32）和式（6.33）中出現(xiàn)的總體標準差與樣本容量平方根的商，稱為樣本均值標準差，反映了樣本均值分布的離散程度。有樣本均值方差為 （6.34） 樣本均值方差含有總體方差和樣本容量兩個因素，它是在總體服從正態(tài)分布時，度量使用樣本均

31、值估計總體均值時精確程度的測度。 由于樣本均值標準差具有與變量一致的量綱，一般采用它作為度量估計量精確程度的測度。,2020年8月1日/下午5時38分,統(tǒng)計學教程第6章 抽樣分布與參數(shù)估計,6.3 單一總體參數(shù)的區(qū)間估計,例6.5 在某一企業(yè)職工收入情況的調查中，從該企業(yè)隨機抽取100個職工個人的收入狀況數(shù)據(jù)構成樣本，并且已知該企業(yè)職工平均月收入的總體標準差為250元，樣本均值為1985元。 要求 試計算給定置信水平為95%的該企業(yè)職工平均月收入的總體均值的置信區(qū)間。 解 由本例給出的條件可知，這是一個雙側的區(qū)間估計問題。根據(jù)雙側區(qū)間估計的式（6.32），可計算得總體均值的置信區(qū)間為 即根據(jù)這

32、次抽樣調查的樣本信息，可以認為該企業(yè)職工平均月收入的真實數(shù)值將依95%的概率落在1936元到2034元之間。,2020年8月1日/下午5時38分,統(tǒng)計學教程第6章 抽樣分布與參數(shù)估計,6.3 單一總體參數(shù)的區(qū)間估計,例6.6 某地對在該地就業(yè)的本科生在畢業(yè)一年后的月工資情況進行了一次調查，搜集了36名同學的月工資數(shù)據(jù)，具體如表6.2所示。并已知在該地就業(yè)的本科生在畢業(yè)一年后的月工資的總體標準差為400元。 表6.2 36名畢業(yè)一年本科生的月工資情況 元 由式（6.33），可計算得總體均值的置信區(qū)間為 可以認為總體均值，即在該地就業(yè)的本科生在畢業(yè)一年后的月平均工資的真實數(shù)值依95%的概率落在22

33、69.343元到2530.66元之間。,2020年8月1日/下午5時38分,統(tǒng)計學教程第6章 抽樣分布與參數(shù)估計,6.3 單一總體參數(shù)的區(qū)間估計,例6.7 某進出口公司需要出口一批小型電機，其中有一個技術指標為電機工作時定子線圈的最高溫度，已知供貨廠家該廠電機工作時定子線圈最高溫度的總體標準差為8，隨機抽出49臺電機進行實測，得到該廠電機工作時定子線圈最高溫度的樣本均值為110。 要求 試計算給定置信水平為99%的該廠電機工作時定子線圈最高溫度的總體均值的置信區(qū)間。 解 采用式（6.33）計算在單側區(qū)間估計下的置信水平為99%的總體均值的置信區(qū)間的上限。 根據(jù)樣本均值為110，可計算出該工廠單

34、側區(qū)間估計下的置信水平為99%的總體均值的置信區(qū)間的上限為 可以認為總體均值，即該工廠電機工作時定子線圈的平均最高溫度依99%的概率落在小于112.66的區(qū)間以內。,2020年8月1日/下午5時38分,統(tǒng)計學教程第6章 抽樣分布與參數(shù)估計,6.3 單一總體參數(shù)的區(qū)間估計,2在總體方差未知時，總體均值的區(qū)間估計 在總體服從正態(tài)分布，但是總體方差未知時，新的統(tǒng)計量是服從自由度為n-1的t分布的T統(tǒng)計量。有 （6.35） 由式（6.35）出發(fā)，則有在總體方差未知場合下，總體均值的雙側區(qū)間估計置信區(qū)間為 以及在總體方差未知場合下，總體均值的單側區(qū)間估計置信區(qū)間為 或,2020年8月1日/下午5時38分

35、,統(tǒng)計學教程第6章 抽樣分布與參數(shù)估計,6.3 單一總體參數(shù)的區(qū)間估計,例6.8 在一次對某品牌電視機的開關次數(shù)進行的破壞性測試中，隨機抽取了9臺電視機進行測試，具體數(shù)據(jù)為19050, 18090, 23098, 18908, 16896, 20679, 21567, 17890, 20456，試估計該品牌電視機開關次數(shù)的總體均值，及其在置信水平為95%下最低開關次數(shù)的單側置信區(qū)間。 可以得到總體均值的單側區(qū)間估計置信區(qū)間為 從而認為根據(jù)樣本數(shù)據(jù)推斷總體均值，即該品牌電視機的平均開關次數(shù)的真實數(shù)值將依95%的概率不低于18400次。,2020年8月1日/下午5時38分,統(tǒng)計學教程第6章 抽樣分

36、布與參數(shù)估計,6.3 單一總體參數(shù)的區(qū)間估計,例6.9 利用例6.6中36名同學的月工資數(shù)據(jù)， 要求 在總體方差未知情況下，估計該地就業(yè)的本科生畢業(yè)一年后的月平均工資在置信水平為95%下的置信區(qū)間。 由式（6.35）可以得到總體均值的雙側區(qū)間估計置信區(qū)間為 可以認為總體均值，即該地區(qū)畢業(yè)一年后的本科畢業(yè)生的月平均工資的真實數(shù)值將依95%的概率落在2262.32元到2537.68元之間。 在總體方差未知的場合，當樣本容量充分大時，可以采用式（6.31）建立統(tǒng)計量，對總體均值進行區(qū)間估計。 假定樣本均值已經服從正態(tài)分布的基礎上，構造Z統(tǒng)計量，采用式（6.31）計算的總體均值的置信區(qū)間，要小于在樣本

37、均值服從t分布的基礎上, 采用式（6.35）計算的總體均值的置信區(qū)間。,2020年8月1日/下午5時38分,統(tǒng)計學教程第6章 抽樣分布與參數(shù)估計,6.3 單一總體參數(shù)的區(qū)間估計,6.3.3 總體方差的區(qū)間估計 在總體服從正態(tài)分布時，樣本方差服從自由度為n-1的卡方分布，從而可以利用卡方分布來構造總體方差的置信區(qū)間，確定一個卡方值，使之對于給定的顯著性水平，滿足 （6.40） 則有 （6.41）,2020年8月1日/下午5時38分,統(tǒng)計學教程第6章 抽樣分布與參數(shù)估計,6.3 單一總體參數(shù)的區(qū)間估計,例6.11 仍然利用例6.6中36名同學的月工資數(shù)據(jù)。 要求 估計該地就業(yè)的本科生在畢業(yè)一年后的

38、月均工資標準差，在置信水平為95%下的置信區(qū)間。 由式（6.41）可以得到總體方差的置信區(qū)間為 可以認為該地就業(yè)的本科生在畢業(yè)一年后的月工資標準差將依95%的概率落在330.04元到530.79元之間。,第6章 抽樣分布與參數(shù)估計,6.4 兩個總體參數(shù)的區(qū)間估計,統(tǒng)計學教程,2020年8月1日/下午5時38分,統(tǒng)計學教程第6章 抽樣分布與參數(shù)估計,6.4 兩個總體參數(shù)的區(qū)間估計,6.4.1 兩個總體均值之差的區(qū)間估計 1兩個總體方差已知情況下的估計 在兩個總體方差已知時，由兩個這兩個總體獨立抽取的樣本均值之差服從于正態(tài)分布，其標準差為 （6.42） 樣本均值之差經標準化后，服從于標準正態(tài)分布。

39、 則有，兩個總體均值之差在置信水平下的置信區(qū)間為 （6.44）,2020年8月1日/下午5時38分,統(tǒng)計學教程第6章 抽樣分布與參數(shù)估計,6.4 兩個總體參數(shù)的區(qū)間估計,例6.12 某進出口公司需要出口一批小型電機，在A、B兩個備選的小型電機供貨廠家進行了一次調查，在每家工廠隨機抽出49臺電機進行實測，并且A、B兩廠電機工作時定子線圈最高溫度的總體標準差數(shù)據(jù)為已知，其中A工廠為8，B工廠為6。 要求 試計算給定置信水平為99%的總體均值之差的置信區(qū)間。 根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計算得樣本均值分別為A工廠110，B工廠114。 由式（6.44）可得 即總體均值之差的置信區(qū)間為（-6.8,-1.2）,即A、B

40、兩廠電機工作時定子線圈最高溫度均值之差依95%的概率落在-6.8到-1.2以內。,2020年8月1日/下午5時38分,統(tǒng)計學教程第6章 抽樣分布與參數(shù)估計,6.4 兩個總體參數(shù)的區(qū)間估計,2兩個相等總體方差未知情況下的估計 在兩個總體方差未知，但服從正態(tài)分布，并且方差相等，則利用兩個隨機樣本的信息來聯(lián)合計算這個相等而又未知的總體方差的估計量，為 （6.45） 其總體均值之差在置信水平下的置信區(qū)間為 （6.48）,2020年8月1日/下午5時38分,統(tǒng)計學教程第6章 抽樣分布與參數(shù)估計,6.4 兩個總體參數(shù)的區(qū)間估計,例6.13 某市采取隨機抽樣方法，在全市抽取100戶城鎮(zhèn)家庭進行生活費支出調查

41、，今年每戶家庭生活費支出的樣本均值為38900元，樣本標準差為580元；上年每戶家庭生活費支出的樣本均值為35800元，樣本標準差為570元。假定該市這兩年城鎮(zhèn)家庭生活費支出服從正態(tài)分布，并且方差相等。 根據(jù)式（6.48），有 即總體均值之差在置信水平下的置信區(qū)間為（2939.64,3260.37）。該市這兩年城鎮(zhèn)家庭生活費支出均值之差，依95%的概率落在2939.64元到3260.37元的區(qū)間內。,2020年8月1日/下午5時38分,統(tǒng)計學教程第6章 抽樣分布與參數(shù)估計,6.4 兩個總體參數(shù)的區(qū)間估計,3兩個總體方差不相等且未知情況下的估計 若有兩個均服從正態(tài)分布的總體，總體的方差未知，并且

42、不相等，按照式（6.47）構造的統(tǒng)計量近似地服從于自由度為f的t分布。有 （6.49） 則有，兩個服從正態(tài)分布的總體，總體方差未知且不相等，其總體均值之差在置信水平下的置信區(qū)間為 （6.50）,2020年8月1日/下午5時38分,統(tǒng)計學教程第6章 抽樣分布與參數(shù)估計,6.4 兩個總體參數(shù)的區(qū)間估計,例6.14 借用例6.13中的基本數(shù)據(jù)，只是假定該兩市城鎮(zhèn)家庭生活費支出服從正態(tài)分布，方差不相等。 要求 試計算該市這兩年城鎮(zhèn)家庭生活費支出均值之差，在95%置信水平下的置信區(qū)間。 根據(jù)式（6.49），計算出樣本均值之差近似地服從的t分布的自由度。即 兩個樣本方差數(shù)值水平非常接近，所以計算出來的自由

43、度與兩個相等總體方差未知情況下的自由度基本一致，同為198。該市這兩年城鎮(zhèn)家庭生活費支出均值之差，在95%置信水平下的置信區(qū)間與例6.13在兩個相等總體方差未知情況下計算的結果一致。,2020年8月1日/下午5時38分,統(tǒng)計學教程第6章 抽樣分布與參數(shù)估計,6.4 兩個總體參數(shù)的區(qū)間估計,例6.15 仍借用例6.13中的基本數(shù)據(jù)，但將該市上年每戶家庭生活費支出的樣本標準差改為410元，并且該市城鎮(zhèn)家庭生活費支出服從正態(tài)分布，方差不相等。 要求 試求該市城鎮(zhèn)家庭生活費支出均值之差的95%在置信水平下的置信區(qū)間。 仍根據(jù)式（6.49），計算出樣本均值之差近似地服從的t分布的自由度。即 運用式（6.50），可得該市這兩年城鎮(zhèn)家庭生活費支出水平的均值之差，依95%的概率落在2959.83元到3240.17元的區(qū)間內。,2020年8月1日/下午5時38分,統(tǒng)計學教程第6章 抽樣分布與參數(shù)估計,6.4 兩個總體參數(shù)的區(qū)間估計,在兩個不相等的總體