數(shù)字與數(shù)據(jù)通信 3.1 差錯(cuò)控制

1、數(shù)字與數(shù)據(jù) 通 信,1、一基帶傳輸系統(tǒng)，其形成系統(tǒng)特性，如圖所示， 試在下表中的空格填入相應(yīng)的數(shù)值。,2、有一基帶傳輸系統(tǒng)，采用升余弦滾降，試將 頻率利用率填入相應(yīng)的空格內(nèi)。,3、一個(gè)2PSK系統(tǒng)，數(shù)據(jù)序列“1”對(duì)應(yīng)于已調(diào) 載波的180相位，“0”對(duì)應(yīng)于已調(diào)載波的0相位， 按表中的數(shù)據(jù)序列填出2PSK信號(hào)的相位。,4、一個(gè)DPSK系統(tǒng)，數(shù)據(jù)序列“1”，載波相位 與前一碼元變化180相位，“0”表示載波相位 與前一碼元不變，設(shè)初始相位為零。按表中的 數(shù)據(jù)序列填出2DPSK信號(hào)的相位。,4、一個(gè)DPSK系統(tǒng)，數(shù)據(jù)序列“1”，載波相位 與前一碼元變化90相位，“0”表示載波相位 與前一碼元變化270

2、，設(shè)初始相位為零。 填出下表中2DPSK信號(hào)的相位。,5、一個(gè)4DPSK系統(tǒng)，其工作方式按圖所示，設(shè) 已調(diào)載波信號(hào)初始相位為0，按下表的數(shù)據(jù)序列 填出已調(diào)載波信號(hào)對(duì)應(yīng)的相位。,5、一個(gè)4DPSK系統(tǒng)，其工作方式按圖所示，設(shè) 已調(diào)載波信號(hào)初始相位為180，按下表的數(shù)據(jù)序列 填出已調(diào)載波信號(hào)對(duì)應(yīng)的相位。,6、有預(yù)編碼的第一類部分響應(yīng)系統(tǒng)，如圖所示， 輸入數(shù)據(jù)序列為010110010,7、有預(yù)編碼的第四類部分響應(yīng)系統(tǒng)，如圖所示， 輸入數(shù)據(jù)序列為0011010100,一、 差錯(cuò)控制的基本概念及原理（88頁） 1. 差錯(cuò)控制的基本概念 差錯(cuò)分類和錯(cuò)誤圖樣,第3章 差錯(cuò)控制,造成誤碼的主要原因： 碼間干擾

3、：均衡 干擾：差錯(cuò)控制,差錯(cuò)分類,隨機(jī)噪聲和脈沖噪聲 隨機(jī)差錯(cuò)又稱獨(dú)立差錯(cuò)，它是指那些獨(dú)立地、稀疏地和互不相關(guān)地發(fā)生的差錯(cuò)。隨機(jī)噪聲導(dǎo)致傳輸中的隨機(jī)差錯(cuò)。存在隨機(jī)差錯(cuò)的信道稱為無記憶信道或隨機(jī)信道。 突發(fā)差錯(cuò)是指一串串，甚至是成片出現(xiàn)的差錯(cuò)，差錯(cuò)之間有相關(guān)性，差錯(cuò)出現(xiàn)是密集的。脈沖噪聲使傳輸中出現(xiàn)突發(fā)差錯(cuò)。存在突發(fā)差錯(cuò)的信道稱為有記憶的信道或突發(fā)信道 兩種錯(cuò)誤并存的信道稱為組合信道或復(fù)合信道,差錯(cuò)控制的基本思路,在發(fā)送端被傳送的信息碼序列（本身無規(guī)律）的基礎(chǔ)上，按照一定的規(guī)則加入若干監(jiān)督碼元后進(jìn)行傳輸，這些加入的碼元與原來的信息碼序列之間存在著某種確定的約束關(guān)系。 在接收數(shù)據(jù)時(shí)，檢驗(yàn)信息碼元與

4、監(jiān)督碼元之間的既定的約束關(guān)系，如該關(guān)系遭到破壞，則收端可以發(fā)現(xiàn)傳輸中的錯(cuò)誤，乃至糾正錯(cuò)誤。 信息碼（k）+監(jiān)督碼（r）=碼組（n） 以犧牲有效性來換取可靠性,實(shí)際的信道是復(fù)雜的，所出現(xiàn)的差錯(cuò)也不是單一的，而是隨機(jī)和突發(fā)錯(cuò)誤并存的，只不過有的信道以某種錯(cuò)誤為主而已，這兩類錯(cuò)誤形式并存的信道稱為組合信道或復(fù)合信道。 一般來說，針對(duì)隨機(jī)錯(cuò)誤的編碼方法和設(shè)備比較簡單，成本較低，而且效果顯著；而糾正突發(fā)錯(cuò)誤的編碼方法和設(shè)備較復(fù)雜，成本較高，效果不如前者顯著。因此，要根據(jù)錯(cuò)誤的性質(zhì)設(shè)計(jì)編碼方案和選擇差錯(cuò)控制的方式。,四種差錯(cuò)控制方式（89頁）,檢錯(cuò)重發(fā)(自動(dòng)重傳請(qǐng)求（Automatic Repeat-re

5、Quest：ARQ) 前向糾錯(cuò)（FEC：Forward Error Correction ） 混合糾錯(cuò)（HEC：Hybrid Error Correction ） 信息反饋（IRQ： Information Repeat reQuest ）,檢錯(cuò)重發(fā)(ARQ),思路： ARQ是在發(fā)送端對(duì)數(shù)據(jù)序列進(jìn)行分組編碼，加入一定監(jiān)督碼元使之具有一定的檢錯(cuò)能力，成為能夠發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤的碼組。 接收端收到碼組后，按一定規(guī)則對(duì)其進(jìn)行有無錯(cuò)誤的判別，并把判決結(jié)果(應(yīng)答信號(hào))通過反向信道送回發(fā)送端。 如有錯(cuò)誤，發(fā)送端把前面發(fā)出的信息重新傳送一次，直到接收端認(rèn)為已正確接收到信息為止。,差錯(cuò)控制方式 1、檢錯(cuò)重發(fā)ARQ 3種

6、工作思路：停發(fā)等候重發(fā)；返回重發(fā)；選擇重發(fā),停發(fā)等候重發(fā) 信號(hào)傳遞過程是：發(fā)送端在TW時(shí)間內(nèi)發(fā)送碼組1給 接收端，然后停止一段時(shí)間 TD，TD 大于應(yīng)答信號(hào) 和線路延時(shí)的時(shí)間。接收端收到后經(jīng)檢驗(yàn)若未發(fā)現(xiàn) 錯(cuò)誤，則通過反向信道發(fā)回一個(gè)認(rèn)可信號(hào)(ACK) 給 發(fā)送端，發(fā)送端收到ACK信號(hào)后再發(fā)出下一個(gè)碼組 2。接收端檢測出碼組2有錯(cuò)，則由反向信道發(fā)回一 個(gè)否認(rèn)信號(hào)(NAK)，請(qǐng)求重發(fā)。發(fā)送端收到NAK信 號(hào)后重發(fā)碼組2，并再次等候ACK和NAK信號(hào)。,在發(fā)送碼組之間有停頓時(shí)間Td，使傳輸效率受到影響，但工作原理簡單，在數(shù)據(jù)通信中仍得到應(yīng)用,返回重發(fā) 信號(hào)傳遞過程與停發(fā)等候重發(fā)不同，其發(fā)送端無 停頓

7、地送出一個(gè)個(gè)連續(xù)碼組，不再等候接收端返回的 ACK信號(hào)，但一旦接收端發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤并發(fā)回NAK信 號(hào)，則發(fā)送端從下一個(gè)碼組開始重發(fā)前一段N組信 號(hào)。N的大小取決于信號(hào)傳輸及處理所帶來的延時(shí)。,這種返回重發(fā)系統(tǒng)的傳輸效率比停發(fā)等候重發(fā)系統(tǒng)有很大改進(jìn)，在許多數(shù)據(jù)傳輸系統(tǒng)中得到應(yīng)用,N=5,選擇重發(fā) 選擇重發(fā)系統(tǒng)也是不斷地發(fā)送信息碼組， 接收端檢測到錯(cuò)誤后發(fā)回NAK信號(hào)。與返回 重發(fā)系統(tǒng)不同的是，發(fā)送端不是重發(fā)前面的所 有N個(gè)碼組，而是只重發(fā)有錯(cuò)誤的那一個(gè)碼 組，對(duì)其它碼組不再重發(fā)。,選擇重發(fā)只重發(fā)有錯(cuò)誤的碼組，所以傳輸效率更好。但排序不對(duì)， 存儲(chǔ)器讀出時(shí)需要重新排序，恢復(fù)正常的碼組序列。因此，在發(fā) 送和

8、接收端都需要足夠的緩沖存儲(chǔ)器容量。,ARQ的優(yōu)缺點(diǎn) 需反向信道，實(shí)時(shí)性差。 ARQ方式在信息碼后面所加的監(jiān)督碼不多，所以信息傳輸效率較高。 譯碼設(shè)備較簡單。,前向糾錯(cuò)FEC(92頁),FEC的思路：前向糾錯(cuò)系統(tǒng)中，發(fā)送端的信道編碼器將輸入數(shù)據(jù)序列變換成能夠糾正錯(cuò)誤的碼，接收端的譯碼器根據(jù)編碼規(guī)律檢驗(yàn)出錯(cuò)誤的位置并自動(dòng)糾正。 FEC的優(yōu)缺點(diǎn) 不需要反向信道，實(shí)時(shí)性好。 缺點(diǎn)是所選擇的糾錯(cuò)碼必須與信道的錯(cuò)碼特性密切配合，否則很難達(dá)到降低錯(cuò)碼率的要求； 譯碼設(shè)備復(fù)雜；而要求附加的監(jiān)督碼也較多，傳輸效率就低。,隨著編碼理論和微電子技術(shù)的發(fā)展，譯碼設(shè)備成本降低，加之這種方式具有能實(shí)現(xiàn)單向通信和控制電路簡

9、單的優(yōu)點(diǎn)，因而在實(shí)際應(yīng)用中日益增多。,混合糾錯(cuò)檢錯(cuò)（HEC）,HEC的思路： 混合糾錯(cuò)檢錯(cuò)方式是前向糾錯(cuò)方式和檢錯(cuò)重發(fā)方式的結(jié)合。 在這種系統(tǒng)中，發(fā)送端發(fā)出同時(shí)具有檢錯(cuò)和糾錯(cuò)能力的碼，接收端收到碼后，檢查錯(cuò)誤情況，如果錯(cuò)誤少于糾錯(cuò)能力，則自行糾正；如果干擾嚴(yán)重，錯(cuò)誤很多，超出糾正能力，但能檢測出來，則經(jīng)反向信道要求發(fā)端重發(fā)。,混合糾錯(cuò)檢錯(cuò)方式是前向糾錯(cuò)和檢錯(cuò)重發(fā)方式的結(jié)合 HEC的優(yōu)缺點(diǎn)：混合糾錯(cuò)檢錯(cuò)方式在實(shí)時(shí)性和譯碼設(shè)備復(fù)雜性方面是前向糾錯(cuò)和檢錯(cuò)重發(fā)方式的折衷，因而近幾年來，在數(shù)據(jù)通信系統(tǒng)中采用較多,信息反饋IQR,思路：在發(fā)端不進(jìn)行糾錯(cuò)編碼，接收端把收到的數(shù)據(jù)序列全部由反向信道送回發(fā)送端，

10、發(fā)送端自己比較發(fā)送的數(shù)據(jù)序列與返回的數(shù)據(jù)序列，從而發(fā)現(xiàn)是否有錯(cuò)誤，并發(fā)認(rèn)為出錯(cuò)的數(shù)據(jù)再次發(fā)送直到?jīng)]有發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤為止。 優(yōu)缺點(diǎn)：優(yōu)點(diǎn)是不需要糾錯(cuò)和檢錯(cuò)的編譯碼設(shè)器，設(shè)備簡單；缺點(diǎn)是需要和前向信道相同的反向信道，實(shí)時(shí)性差，發(fā)端需要一定量的存儲(chǔ)器,信息反饋又稱回程校驗(yàn) IRQ方式僅用于傳輸速率低，數(shù)據(jù)信道差錯(cuò)率較低，且具有雙向傳輸線路及控制簡單的系統(tǒng)中,3.6 簡單差錯(cuò)控制協(xié)議（補(bǔ)充）,3.6.1 停止等待協(xié)議 1.停止等待協(xié)議的概念 發(fā)送端每發(fā)送一個(gè)數(shù)據(jù)幀（對(duì)應(yīng)一個(gè)碼組）就暫停下來，等待接收端的應(yīng)答。接收端收到數(shù)據(jù)幀進(jìn)行差錯(cuò)檢測，若數(shù)據(jù)幀沒錯(cuò)，就向發(fā)送端返回一個(gè)確認(rèn)幀ACK，發(fā)送端再發(fā)送下一個(gè)數(shù)據(jù)幀

11、；若接收端檢驗(yàn)出數(shù)據(jù)幀有錯(cuò)，就向發(fā)送端返回一個(gè)否認(rèn)幀NAK，發(fā)送端重發(fā)剛才所發(fā)數(shù)據(jù)幀，直到?jīng)]錯(cuò)為止。,2.停止等待協(xié)議算法 （1）數(shù)據(jù)幀在實(shí)際鏈路上傳輸?shù)膸追N情況 數(shù)據(jù)幀在實(shí)際鏈路上傳輸有四種情況，如圖3-20所示。,圖3-20數(shù)據(jù)幀在實(shí)際鏈路上傳輸?shù)膸追N情況,3.6.2 自動(dòng)重發(fā)請(qǐng)求（ARQ）協(xié)議,1.ARQ協(xié)議的概念 為了提高通信信道的利用率，滿足數(shù)據(jù)傳輸高效率的要求，要使發(fā)送端能夠連續(xù)發(fā)送數(shù)據(jù)幀，而不是在每發(fā)送完一個(gè)數(shù)據(jù)幀后，就停下來等待接收端的應(yīng)答。發(fā)送端在連續(xù)發(fā)送數(shù)據(jù)幀的同時(shí)，接收對(duì)方的應(yīng)答幀。若收到確認(rèn)幀，繼續(xù)發(fā)送數(shù)據(jù)幀。但若收到否認(rèn)幀，將出錯(cuò)數(shù)據(jù)幀或出錯(cuò)數(shù)據(jù)幀及以后的各幀重發(fā)。

12、根據(jù)重發(fā)方式的不同，ARQ協(xié)議連續(xù)ARQ協(xié)議和選擇重發(fā)ARQ協(xié)議,連續(xù)ARQ協(xié)議和選擇重發(fā)ARQ協(xié)議,2.連續(xù)ARQ協(xié)議 連續(xù)ARQ協(xié)議的重發(fā)方式是返回重發(fā)，即發(fā)送端從出錯(cuò)數(shù)據(jù)幀及以后的各幀都要重發(fā)。 3.選擇重發(fā)ARQ協(xié)議 選擇重發(fā)ARQ協(xié)議的重發(fā)方式是選擇重發(fā)，即發(fā)送端只重發(fā)出錯(cuò)數(shù)據(jù)幀。,連續(xù)ARQ協(xié)議采用連續(xù)發(fā)送方式提高了數(shù)據(jù)傳輸效率，但是如果出錯(cuò)重傳的數(shù)據(jù)幀較多時(shí)，效率又達(dá)到降低，故只適合與質(zhì)量較高的信道使用 選擇重發(fā)ARQ協(xié)議可以避免重復(fù)傳送哪些本來已經(jīng)正確到達(dá)接收端的數(shù)據(jù)幀，但是需要在接收端占用更多的緩沖區(qū)！,連續(xù)ARQ和選擇重發(fā)ARQ,3.6.3 滑動(dòng)窗口協(xié)議,在使用連續(xù)ARQ時(shí)

13、，配套使用滑動(dòng)窗口協(xié)議，限制已經(jīng)發(fā)送的但是未被確認(rèn)的數(shù)據(jù)幀的數(shù)目，這種方法既可以循環(huán)重復(fù)使用數(shù)據(jù)幀的序號(hào)，減少系統(tǒng)的額外開銷，又能實(shí)現(xiàn)流量控制。 具體實(shí)現(xiàn)在發(fā)送端設(shè)發(fā)送窗口，在接收端設(shè)置接收窗口,3.6.3 滑動(dòng)窗口協(xié)議,1.發(fā)送窗口 發(fā)送窗口用來對(duì)發(fā)送端進(jìn)行流量控制。發(fā)送窗口的尺寸代表在還沒有收到對(duì)方確認(rèn)的條件下，發(fā)送端最多可以發(fā)送數(shù)據(jù)幀的個(gè)數(shù)。發(fā)送窗口用 表示。 由于發(fā)送窗口是重復(fù)循環(huán)使用發(fā)送序號(hào)，為了避免接收端混淆是新的數(shù)據(jù)幀還是舊的數(shù)據(jù)幀，要求發(fā)送窗口尺寸與編號(hào)比特n的關(guān)系為,圖3-23 發(fā)送窗口的意義,2.接收窗口 接收窗口用來控制接收數(shù)據(jù)幀。只有當(dāng)接收到數(shù)據(jù)幀的發(fā)送序號(hào)落在接收窗口

14、內(nèi)，才允許將該數(shù)據(jù)幀收下；否則，一律丟棄。接收窗口的尺寸用 表示。 在連續(xù)ARQ協(xié)議中， 。,圖3-24 接收窗口的意義,2. 差錯(cuò)控制的基本原理 所謂差錯(cuò)控制編碼實(shí)際上就是在保持信息的位數(shù)不變的情況下，采用增加碼長的方法來降低誤碼率。 具體來說：碼的檢錯(cuò)和糾錯(cuò)能力是用信息量的 冗余度來換取的。,如果我們?cè)黾右晃淮a(監(jiān)督碼)，并按一定的規(guī)律編碼如下：,A B 0 1,0,1,即用兩位碼取代一位碼，編碼規(guī)律是監(jiān)督位與信息位相同，00和11稱為許用碼組。而另外的兩種組合：01和10稱為禁用碼組。,0 1 1 0,因此，在發(fā)送端發(fā)出的碼組只能是許用碼組“00”或“11”，如果在接收端收到禁用碼組“0

15、1”或者“10”，則我們可以判定數(shù)據(jù)碼組在傳輸中，發(fā)生了且發(fā)生了一位錯(cuò)碼。,結(jié)論：加入一位監(jiān)督碼可以檢查出一位錯(cuò)碼。 那么能檢查兩位錯(cuò)碼嗎？,第二個(gè)問題現(xiàn)在是能不能糾正一位錯(cuò)碼。 要糾正一位錯(cuò)碼，必須滿足兩個(gè)條件，一是確定本碼組發(fā)生了一位碼錯(cuò)，二是必須確定錯(cuò)碼位置。 下面我們以為01例來說明： 01是禁用碼組，可以肯定是發(fā)生了一位錯(cuò)，但是 01既可能是由00第二位碼錯(cuò)而得來，即“1”位錯(cuò)，也可能是由11第一位碼錯(cuò)而得來，即“0”位錯(cuò)。兩者都可能而且概率一樣大。如上圖所示。,當(dāng)出現(xiàn)兩位錯(cuò)碼后，必然從一個(gè)許用碼組錯(cuò)成另一個(gè)許用碼組，因此，接收端收到許用碼組，當(dāng)然就發(fā)現(xiàn)不了錯(cuò)誤，所以加入一位監(jiān)督碼不

16、能檢查出兩位錯(cuò)碼。 0 0 1 1 0 1 1 0,所以能不能檢查出幾位錯(cuò)碼，關(guān)鍵是看最少錯(cuò)幾位碼就能從一個(gè)許用碼組錯(cuò)成另一個(gè)許用碼組。,結(jié)論：不能糾正一位錯(cuò)碼。 那么怎樣才能糾正一位錯(cuò)碼呢？ 只有再加一位監(jiān)督碼，進(jìn)一步增加編碼的冗余度。 加碼的規(guī)律及情況如下：,A B 0 0 0 1 1 1,加監(jiān)督碼的規(guī)律與前相同，但是，由于碼組的長度是3，所以禁用碼組應(yīng)有6組，并可分為2組，參見左圖。,0 0 1 0 1 0 1 0 0,1 1 0 1 0 1 0 1 1,這種編碼方式可以檢查出1位和兩位錯(cuò)碼，但是不能檢查出三位錯(cuò)碼。,所以發(fā)生一位錯(cuò)的概率是發(fā)生兩位錯(cuò)的概率的106 1012 =106 倍

17、，近似可以這樣說如果100碼組出現(xiàn)了1000001次，其中1000000次是000的第一位碼錯(cuò)造成的，而只有1次是111后兩位碼錯(cuò)得來的。即99.9999%100%的概率說明100是000第一位碼“0”錯(cuò)成了“1”。,能糾正幾位錯(cuò)碼呢？只能糾正一位錯(cuò)碼。,A B 0 0 0 1 1 1,0 0 1 0 1 0 1 0 0,1 1 0 1 0 1 0 1 1,通過左圖可看出，100既可能是A信息000的第一位碼“0”錯(cuò)成“1”，也可能是B信息111的后兩位碼“11”錯(cuò)成“00”。 但是兩種情況發(fā)生的概率不一樣。設(shè)傳輸信道的誤信率 Pe=106，則000錯(cuò)成100的概率為106 ，而111錯(cuò)成10

18、0的概率為106 106 = 1012 。,結(jié)論：加入 2位監(jiān)督碼就可以糾正 1位錯(cuò)碼。 但是在1000001次中平均有1次是錯(cuò)誤糾正的，但是沒有關(guān)系，因?yàn)檫@一次本身就是錯(cuò)誤的碼組 (禁用碼組) ，只是由一種錯(cuò)誤碼組糾成了另一種正確碼組，沒有把正確的許用碼組糾成錯(cuò)誤的禁用碼組就行了。 假設(shè)傳輸信道是隨機(jī)信道，則在本例中，錯(cuò)一位、二位和三位碼的概率的數(shù)量級(jí)應(yīng)是P1=106 、 P2 =1012和P3 =1018 ，所以一位錯(cuò)出現(xiàn)的概率遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于出現(xiàn)二位和三位錯(cuò)的概率之和。 所以能糾正一位錯(cuò)就能糾正絕大多數(shù)錯(cuò)誤，今后學(xué)習(xí)的糾錯(cuò)碼一般也只要求糾正一位錯(cuò)碼。,由此可見，糾錯(cuò)編碼之所以具有檢錯(cuò)和糾錯(cuò)能力，

19、是因?yàn)樵谛畔⒋a之外附加了監(jiān)督碼，監(jiān)督碼不載荷信息，它的作用是用來監(jiān)督信息碼在傳輸中有無差錯(cuò)，對(duì)接收端的用戶來說是多余的，最終也不傳送給用戶，但它提高了傳輸?shù)目煽啃浴?但是，監(jiān)督碼的引入，降低了信道的傳輸效率。 一般來說，引入監(jiān)督碼越多，碼的檢錯(cuò)、糾錯(cuò)能力越強(qiáng)，但信道的傳輸效率下降也越多。 研究的目標(biāo)是尋找一種編碼方法使所加的監(jiān)督碼元最少而檢錯(cuò)、糾錯(cuò)能力又高，且便于實(shí)現(xiàn)。,二、 檢錯(cuò)和糾錯(cuò)的基本概念 1. 碼距與檢錯(cuò)和糾錯(cuò)能力 為了說明碼距的概念， 把3位碼元構(gòu)成的8個(gè)碼組 用一個(gè)三維立方體來表 示，圖中立方體的各頂點(diǎn) 分別為8個(gè)碼組，3位碼元 為A1，A2，A3軸的坐標(biāo)。,碼重：在信道編碼中，

20、碼組中非零碼 元的數(shù)目為碼組的重量 碼距：把兩個(gè)碼組中對(duì)應(yīng)碼位上具有不同二進(jìn)制碼元的位數(shù)定義為兩碼組的距離，簡稱碼距。,求兩個(gè)碼組的碼距可以用如下的方法： 例1： 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 1 最小距離dmin：在一種編碼中，任意兩個(gè)許用碼 組間距離的最小值，即許用碼組集合中任意兩元素 間的最小距離。,1 0 0 0 1 0 0 2個(gè)“1”，碼距是2,例2： 1 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 0 0 0,0 1 1 1 0 1 1 5個(gè)“1”，碼距是5,最小碼距dmin與這種編碼的檢錯(cuò)和糾錯(cuò)能力的數(shù)量關(guān)系 為檢測e個(gè)錯(cuò)碼，要求最小碼距為 dmin e1 或則說，若一種編碼的最小碼距為dmin ，則它能檢出edmin1個(gè)錯(cuò)碼。,最小碼距dmin與這種編碼的檢錯(cuò)和糾錯(cuò)能力的數(shù)量關(guān)系,為糾正t個(gè)錯(cuò)碼，要求最小碼距為 dmin 2t1,最小碼距dmin與這種編碼的檢錯(cuò)和糾錯(cuò)能力的數(shù)量關(guān)系 為糾正t個(gè)錯(cuò)碼，同時(shí)檢測e（et）個(gè)錯(cuò)碼，要求最小碼距為 dmin et1 這種方式主要用于混合糾錯(cuò)檢錯(cuò),2. 編碼效率,其中，k 為