高中數(shù)學(xué) 1.3.1單調(diào)性與最大（?。┲担ǖ?課時）學(xué)案設(shè)計 新人教A版必修1

1、第一章集合與函數(shù)概念1.3函數(shù)的基本性質(zhì)1.3.1單調(diào)性與最大(小)值(第一課時)學(xué)習目標使學(xué)生從形與數(shù)兩方面理解函數(shù)單調(diào)性的概念,初步掌握利用函數(shù)圖象和單調(diào)性定義判斷、證明函數(shù)單調(diào)性的方法;通過對函數(shù)單調(diào)性定義的探究,滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法,培養(yǎng)學(xué)生觀察、歸納、抽象的能力和語言表達能力;通過對函數(shù)單調(diào)性的證明,提高學(xué)生的推理論證能力;通過知識的探究過程培養(yǎng)學(xué)生細心觀察、認真分析、嚴謹論證的良好思維習慣,讓學(xué)生經(jīng)歷從具體到抽象、從特殊到一般、從感性到理性的認知過程.合作學(xué)習一、設(shè)計問題,創(chuàng)設(shè)情境德國有一位著名的心理學(xué)家名叫艾賓浩斯(Hermann Ebbinghaus,18501909),

2、他以自己為實驗對象,共做了163次實驗,每次實驗連續(xù)要做兩次無誤的背誦.經(jīng)過一定時間后再重學(xué)一次,達到與第一次學(xué)會的同樣的標準.他經(jīng)過對自己的測試,得到了一些數(shù)據(jù).時間間隔t0分鐘20分鐘60分鐘89小時1天2天6天一個月記憶量y(百分比)100%58.2%44.2%35.8%33.7%27.8%25.4%21.1%觀察這些數(shù)據(jù),可以看出:記憶量y是時間間隔t的函數(shù).當自變量(時間間隔t)逐漸增大時,你能看出對應(yīng)的函數(shù)值(記憶量y)有什么變化趨勢嗎?描出這個函數(shù)圖象的草圖(這就是著名的艾賓浩斯曲線).從左向右看,圖象是上升的還是下降的?你能用數(shù)學(xué)符號來刻畫嗎?通過這個實驗,你打算以后如何對待剛

3、學(xué)過的知識?二、自主探索,嘗試解決記憶量y隨時間間隔t的增大而增大;以時間間隔t為x軸,以記憶量y為y軸建立平面直角坐標系,描點連線得函數(shù)的草圖艾賓浩斯遺忘曲線如圖所示.遺忘曲線是一條衰減曲線,它表明了遺忘的規(guī)律.隨著時間的推移,記憶保持量在遞減,剛開始遺忘速度最快,我們應(yīng)利用這一規(guī)律,在學(xué)習新知識時一定要及時復(fù)習鞏固,加深理解和記憶.問題1:如圖所示為一次函數(shù)y=x、二次函數(shù)y=x2和y=-x2的圖象,它們的圖象有什么變化規(guī)律?這反映了相應(yīng)的函數(shù)值的哪些變化規(guī)律?問題2:函數(shù)圖象上任意點P(x,y)的坐標有什么意義?問題3:如何理解圖象是上升的?問題4:在數(shù)學(xué)上規(guī)定:函數(shù)y=x2在區(qū)間(0,

4、+)上是增函數(shù).誰能給出增函數(shù)的定義?三、信息交流,揭示規(guī)律1.增函數(shù)的定義問題5:增函數(shù)的定義中,把“當x1x2時,都有f(x1)x2時,都有f(x1)f(x2)”,這樣行嗎?問題6:增函數(shù)的定義中,“當x1x2時,都有f(x1)f(x2)”反映了函數(shù)值有什么變化趨勢?函數(shù)的圖象有什么特點?問題7:類比增函數(shù)的定義,請給出減函數(shù)的定義及其幾何意義?2.減函數(shù)的定義減函數(shù)的幾何意義:問題8:函數(shù)y=f(x)在區(qū)間D上具有單調(diào)性,說明了函數(shù)y=f(x)在區(qū)間D上的圖象有什么變化趨勢?四、運用規(guī)律,解決問題【例1】如圖是定義在區(qū)間-5,5上的函數(shù)y=f(x),根據(jù)圖象說出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,以及在每一

5、單調(diào)區(qū)間上,它是增函數(shù)還是減函數(shù)?【例2】物理學(xué)中的玻意耳定律p=(k為正常數(shù))告訴我們,對于一定量的氣體,當其體積V減少時,壓強p將增大.試用函數(shù)的單調(diào)性證明之.【例3】(1)畫出已知函數(shù)f(x)=-x2+2x+3的圖象;(2)證明函數(shù)f(x)=-x2+2x+3在區(qū)間(-,1上是增函數(shù);(3)當函數(shù)f(x)在區(qū)間(-,m上是增函數(shù)時,求實數(shù)m的取值范圍.五、變式演練,深化提高1,已知函數(shù)f(x)是R上的增函數(shù),設(shè)F(x)=f(x)-f(a-x).(1)用函數(shù)單調(diào)性定義證明F(x)是R上的增函數(shù);(2)證明函數(shù)y=F(x)的圖象關(guān)于點(,0)成中心對稱圖形.2.(1)寫出函數(shù)y=x2-2x的單

6、調(diào)區(qū)間及其圖象的對稱軸,觀察:在函數(shù)圖象對稱軸兩側(cè)的單調(diào)性有什么特點?(2)寫出函數(shù)y=|x|的單調(diào)區(qū)間及其圖象的對稱軸,觀察:在函數(shù)圖象對稱軸兩側(cè)的單調(diào)性有什么特點?(3)定義在-4,8上的函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=2對稱,y=f(x)的部分圖象如圖所示,請補全函數(shù)y=f(x)的圖象,并寫出其單調(diào)區(qū)間,觀察:在函數(shù)圖象對稱軸兩側(cè)的單調(diào)性有什么特點?(4)由以上你發(fā)現(xiàn)了什么結(jié)論?試加以證明.3.已知f(x)是定義在(0,+)上的減函數(shù),若f(2a2+a+1)f(3a2-4a+1)成立,則a的取值范圍是.六、反思小結(jié),觀點提煉1.本節(jié)課你有哪些收獲?函數(shù)的單調(diào)性概念明白了嗎?常用的判斷、

7、證明方法有哪些?2.你對自己本節(jié)課的表現(xiàn)有何評價?3.你在與同學(xué)的交流中有何感受?4.你對本節(jié)課還有哪些困惑和建議?七、作業(yè)精選,鞏固提高課本P39習題1.3 A組第2,3,4題.參考答案問題1:函數(shù)y=x的圖象從左向右看是上升的;函數(shù)y=x2的圖象在y軸左側(cè)是下降的,在y軸右側(cè)是上升的;函數(shù)y=-x2的圖象在y軸左側(cè)是上升的,在y軸右側(cè)是下降的.問題2:函數(shù)圖象上任意點P的坐標(x,y)的意義:橫坐標x是自變量的取值,縱坐標y是自變量為x時對應(yīng)的函數(shù)值的大小.問題3:按從左向右的方向看函數(shù)的圖象,意味著圖象上點的橫坐標逐漸增大即函數(shù)的自變量逐漸增大.圖象是上升的意味著圖象上點的縱坐標逐漸變大

8、,也就是對應(yīng)的函數(shù)值逐漸增大.也就是說從左向右看圖象上升,反映了函數(shù)值隨著自變量的增大而增大.問題4:增函數(shù)定義一般地,設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為I:如果對于定義域I內(nèi)某個區(qū)間D上的任意兩個自變量的值x1、x2,當x1x2時,都有f(x1)f(x2),那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù).問題5:可以.增函數(shù)的定義:由于當x1x2時,都有f(x1)f(x2),即都是相同的不等號“”,也就是說前面是“”,后面也是“x2時,都有f(x1)f(x2)”都是相同的不等號“”,也就是說前面是“”,后面也是“”,步調(diào)一致.因此我們可以簡稱為:步調(diào)一致增函數(shù).問題6:函數(shù)值隨著自變量的增大而增大;從左向右看

9、,圖象是上升的.2.減函數(shù)定義(板書)一般地,設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為I,如果對于定義域I內(nèi)某個區(qū)間D上的任意兩個自變量的值x1、x2,當x1f(x2),那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù).簡稱為:步調(diào)不一致減函數(shù).減函數(shù)的幾何意義:從左向右看,圖象是下降的.函數(shù)值變化趨勢:函數(shù)值隨著自變量的增大而減小.問題8:函數(shù)y=f(x)在區(qū)間D上函數(shù)值的變化趨勢是隨自變量的增大而增大(減小),幾何意義:從左向右看,圖象是上升(下降)的.四、運用規(guī)律,解決問題【例1】解:函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間是-5,2),-2,1),1,3),3,5.其中函數(shù)y=f(x)在區(qū)間-5,2),1,3)上是減函數(shù),在

10、區(qū)間-2,1),3,5上是增函數(shù).點評:本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的幾何意義,以及圖象法判斷函數(shù)單調(diào)性.圖象法判斷函數(shù)的單調(diào)性適合于選擇題和填空題.如果解答題中給出了函數(shù)的圖象,通常用圖象法判斷單調(diào)性.函數(shù)的圖象類似于人的照片,我們能根據(jù)人的照片來估計其身高,同樣我們根據(jù)函數(shù)的圖象可以分析出函數(shù)值的變化趨勢即單調(diào)性.圖象法求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟是:第一步,畫函數(shù)的圖象;第二步,觀察圖象,利用函數(shù)單調(diào)性的幾何意義寫出單調(diào)區(qū)間.【例2】證明:設(shè)V1,V2(0,+)且V10,V10,V20.0,p1p2.根據(jù)減函數(shù)的定義知p=在(0,+)上是減函數(shù).點評:本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性,以及定義法判斷函數(shù)的單調(diào)

11、性.定義法判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性的步驟是:第一步,在所給的區(qū)間上任取兩個自變量x1和x2,通常令x1x2;第二步,比較f(x1)和f(x2)的大小,通常是用作差比較法比較大小,此時比較它們大小的步驟是作差、變形、看符號;第三步,再歸納結(jié)論.定義法的步驟可以總結(jié)為:一“取(去)”、二“比”、三“再(賽)”,因此簡稱為“去比賽”.【例3】解:(1)函數(shù)f(x)=-x2+2x+3的圖象如圖所示.(2)設(shè)x1,x2(-,1,且x1x2,則有f(x1)-f(x2)=(-+2x1+3)-(-+2x2+3)=(-)+2(x1-x2)=(x1-x2)(2-x1-x2).x1,x2(-,1,且x1x2,x1-x

12、20,x1+x20.f(x1)-f(x2)0.f(x1)f(x2).函數(shù)f(x)=-x2+2x+3在區(qū)間(-,1上是增函數(shù).(3)函數(shù)f(x)=-x2+2x+3的對稱軸是直線x=1,在對稱軸的左側(cè)是增函數(shù),那么當區(qū)間(-,m位于對稱軸的左側(cè)時滿足題意,則有m1,即實數(shù)m的取值范圍是(-,1.五、變式演練,深化提高1.解:(1)設(shè)x1,x2R,且x1x2.則F(x1)-F(x2)=f(x1)-f(a-x1)-f(x2)-f(a-x2)=f(x1)-f(x2)+f(a-x2)-f(a-x1).又函數(shù)f(x)是R上的增函數(shù),x1x2,a-x2a-x1.f(x1)f(x2),f(a-x2)f(a-x1

13、).f(x1)-f(x2)+f(a-x2)-f(a-x1)0.F(x1)F(x2).F(x)是R上的增函數(shù).(2)設(shè)點M(x0,F(x0)是函數(shù)F(x)的圖象上任意一點,則點M(x0,F(x0)關(guān)于點(,0)的對稱點為M(a-x0,-F(x0).又F(a-x0)=f(a-x0)-f(a-(a-x0)=f(a-x0)-f(x0)=-f(x0)-f(a-x0)=-F(x0),點M(a-x0,-F(x0)也在函數(shù)F(x)的圖象上,又點M(x0,F(x0)是函數(shù)F(x)的圖象上任意一點,函數(shù)y=F(x)的圖象關(guān)于點(,0)成中心對稱圖形.2.解:(1)函數(shù)y=x2-2x的單調(diào)遞減區(qū)間是(-,1),單調(diào)

14、遞增區(qū)間是(1,+);對稱軸是直線x=1;區(qū)間(-,1)和區(qū)間(1,+)關(guān)于直線x=1對稱,而函數(shù)在此兩區(qū)間上的單調(diào)性相反.(2)函數(shù)y=|x|的單調(diào)遞減區(qū)間是(-,0),單調(diào)遞增區(qū)間是(0,+);對稱軸是y軸即直線x=0;區(qū)間(-,0)和區(qū)間(0,+)關(guān)于直線x=0對稱,而函數(shù)在此兩區(qū)間上的單調(diào)性相反.(3)函數(shù)y=f(x),x-4,8的圖象如圖所示:函數(shù)y=f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是-4,-1,2,5;單調(diào)遞減區(qū)間是5,8,-1,2;區(qū)間-4,-1和區(qū)間5,8關(guān)于直線x=2對稱,而函數(shù)在此兩區(qū)間上的單調(diào)性相反,區(qū)間-1,2和區(qū)間2,5關(guān)于直線x=2對稱,而函數(shù)在此兩區(qū)間上的單調(diào)性相反.(4)

15、可以發(fā)現(xiàn)結(jié)論:如果函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=m對稱,那么函數(shù)y=f(x)在直線x=m兩側(cè)對稱單調(diào)區(qū)間內(nèi)具有相反的單調(diào)性.證明如下:不妨設(shè)函數(shù)y=f(x)在對稱軸直線x=m的右側(cè)一個區(qū)間a,b上是增函數(shù),區(qū)間a,b關(guān)于直線x=m的對稱區(qū)間是2m-b,2m-a.由于函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=m對稱,則f(x)=f(2m-x).設(shè)2m-bx12m-x2a,f(x1)-f(x2)=f(2m-x1)-f(2m-x2).又函數(shù)y=f(x)在a,b上是增函數(shù),f(2m-x1)-f(2m-x2)0.f(x1)-f(x2)0.f(x1)f(x2).函數(shù)y=f(x)在區(qū)間2m-b,2m-a上是減函數(shù).當函