高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第35講 曲線方程及圓錐曲線的綜合問(wèn)題精品學(xué)案

1、2013年普通高考數(shù)學(xué)科一輪復(fù)習(xí)精品學(xué)案第35講 曲線方程及圓錐曲線的綜合問(wèn)題一課標(biāo)要求：1由方程研究曲線，特別是圓錐曲線的幾何性質(zhì)問(wèn)題?；癁榈仁浇鉀Q，要加強(qiáng)等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的訓(xùn)練；2通過(guò)圓錐曲線與方程的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想；3了解圓錐曲線的簡(jiǎn)單應(yīng)用。二命題走向近年來(lái)圓錐曲線在高考中比較穩(wěn)定，解答題往往以中檔題或以押軸題形式出現(xiàn)，主要考察學(xué)生邏輯推理能力、運(yùn)算能力，考察學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力。但圓錐曲線在新課標(biāo)中化歸到選學(xué)內(nèi)容，要求有所降低，估計(jì)2007年高考對(duì)本講的考察，仍將以以下三類(lèi)題型為主。1求曲線（或軌跡）的方程，對(duì)于這類(lèi)問(wèn)題，高考常常不給出圖形或不給出坐標(biāo)系，以考察

2、學(xué)生理解解析幾何問(wèn)題的基本思想方法和能力；2與圓錐曲線有關(guān)的最值問(wèn)題、參數(shù)范圍問(wèn)題，這類(lèi)問(wèn)題的綜合型較大，解題中需要根據(jù)具體問(wèn)題、靈活運(yùn)用解析幾何、平面幾何、函數(shù)、不等式、三角知識(shí)，正確的構(gòu)造不等式或方程，體現(xiàn)了解析幾何與其他數(shù)學(xué)知識(shí)的聯(lián)系。預(yù)測(cè)2013年高考：1出現(xiàn)1道復(fù)合其它知識(shí)的圓錐曲線綜合題；2可能出現(xiàn)1道考查求軌跡的選擇題或填空題，也可能出現(xiàn)在解答題中間的小問(wèn)。三要點(diǎn)精講1曲線方程（1）求曲線(圖形)方程的方法及其具體步驟如下：步 驟含 義說(shuō) 明1、“建”：建立坐標(biāo)系；“設(shè)”：設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)。建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，用(x,y)表示曲線上任意一點(diǎn)M的坐標(biāo)。(1) 所研究的問(wèn)題已給出坐標(biāo)系，

3、即可直接設(shè)點(diǎn)。(2) 沒(méi)有給出坐標(biāo)系，首先要選取適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系。2、現(xiàn)(限)：由限制條件，列出幾何等式。寫(xiě)出適合條件P的點(diǎn)M的集合P=M|P(M)這是求曲線方程的重要一步，應(yīng)仔細(xì)分析題意，使寫(xiě)出的條件簡(jiǎn)明正確。3、“代”：代換用坐標(biāo)法表示條件P(M)，列出方程f(x,y)=0常常用到一些公式。4、“化”：化簡(jiǎn)化方程f(x,y)=0為最簡(jiǎn)形式。要注意同解變形。5、證明證明化簡(jiǎn)以后的方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn)?；?jiǎn)的過(guò)程若是方程的同解變形，可以不要證明，變形過(guò)程中產(chǎn)生不增根或失根，應(yīng)在所得方程中刪去或補(bǔ)上(即要注意方程變量的取值范圍)。這五個(gè)步驟(不包括證明)可濃縮為五字“口訣”：建設(shè)現(xiàn)(限)

4、代化”（2）求曲線方程的常見(jiàn)方法：直接法：也叫“五步法”，即按照求曲線方程的五個(gè)步驟來(lái)求解。這是求曲線方程的基本方法。轉(zhuǎn)移代入法：這個(gè)方法又叫相關(guān)點(diǎn)法或坐標(biāo)代換法。即利用動(dòng)點(diǎn)是定曲線上的動(dòng)點(diǎn)，另一動(dòng)點(diǎn)依賴(lài)于它，那么可尋求它們坐標(biāo)之間的關(guān)系，然后代入定曲線的方程進(jìn)行求解。幾何法：就是根據(jù)圖形的幾何性質(zhì)而得到軌跡方程的方法。參數(shù)法：根據(jù)題中給定的軌跡條件，用一個(gè)參數(shù)來(lái)分別動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)，間接地把坐標(biāo)x,y聯(lián)系起來(lái)，得到用參數(shù)表示的方程。如果消去參數(shù)，就可以得到軌跡的普通方程。2圓錐曲線綜合問(wèn)題（1）圓錐曲線中的最值問(wèn)題、范圍問(wèn)題通常有兩類(lèi)：一類(lèi)是有關(guān)長(zhǎng)度和面積的最值問(wèn)題；一類(lèi)是圓錐曲線中有關(guān)的幾何元素

5、的最值問(wèn)題。這些問(wèn)題往往通過(guò)定義，結(jié)合幾何知識(shí)，建立目標(biāo)函數(shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)或不等式知識(shí)，以及觀形、設(shè)參、轉(zhuǎn)化、替換等途徑來(lái)解決。解題時(shí)要注意函數(shù)思想的運(yùn)用，要注意觀察、分析圖形的特征，將形和數(shù)結(jié)合起來(lái)。圓錐曲線的弦長(zhǎng)求法：設(shè)圓錐曲線Cf(x，y)=0與直線ly=kx+b相交于A(x1，y1)、B(x2，y2)兩點(diǎn)，則弦長(zhǎng)|AB|為：若弦AB過(guò)圓錐曲線的焦點(diǎn)F，則可用焦半徑求弦長(zhǎng)，|AB|=|AF|+|BF|在解析幾何中求最值，關(guān)鍵是建立所求量關(guān)于自變量的函數(shù)關(guān)系，再利用代數(shù)方法求出相應(yīng)的最值注意點(diǎn)是要考慮曲線上點(diǎn)坐標(biāo)(x，y)的取值范圍。（2）對(duì)稱(chēng)、存在性問(wèn)題，與圓錐曲線有關(guān)的證明問(wèn)題它涉及

6、到線段相等、角相等、直線平行、垂直的證明方法，以及定點(diǎn)、定值問(wèn)題的判斷方法。（3）實(shí)際應(yīng)用題數(shù)學(xué)應(yīng)用題是高考中必考的題型，隨著高考改革的深入，同時(shí)課本上也出現(xiàn)了許多與圓錐曲線相關(guān)的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，如橋梁的設(shè)計(jì)、探照燈反光鏡的設(shè)計(jì)、聲音探測(cè)，以及行星、人造衛(wèi)星、彗星運(yùn)行軌道的計(jì)算等。 涉及與圓錐曲線有關(guān)的應(yīng)用問(wèn)題的解決關(guān)鍵是建立坐標(biāo)系，合理選擇曲線模型，然后轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的數(shù)學(xué)問(wèn)題作出定量或定性分析與判斷，解題的一般思想是：（4）知識(shí)交匯題圓錐曲線經(jīng)常和數(shù)列、三角、平面向量、不等式、推理知識(shí)結(jié)合到一塊出現(xiàn)部分有較強(qiáng)區(qū)分度的綜合題。四典例解析題型1：求軌跡方程例1（1）一動(dòng)圓與圓外切，同時(shí)與圓內(nèi)切，求動(dòng)

7、圓圓心的軌跡方程，并說(shuō)明它是什么樣的曲線。（2）雙曲線有動(dòng)點(diǎn)，是曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，求的重心的軌跡方程。解析：（1）（法一）設(shè)動(dòng)圓圓心為，半徑為，設(shè)已知圓的圓心分別為、，將圓方程分別配方得：，當(dāng)與相切時(shí)，有 當(dāng)與相切時(shí)，有 將兩式的兩邊分別相加，得，即 移項(xiàng)再兩邊分別平方得： 兩邊再平方得：，整理得，所以，動(dòng)圓圓心的軌跡方程是，軌跡是橢圓。（法二）由解法一可得方程，由以上方程知，動(dòng)圓圓心到點(diǎn)和的距離和是常數(shù)，所以點(diǎn)的軌跡是焦點(diǎn)為、，長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于的橢圓，并且橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，圓心軌跡方程為。（2）如圖，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)各為，在已知雙曲線方程中，已知雙曲線兩焦點(diǎn)為，存在，由三角形重心坐標(biāo)公式有，

8、即 。，。已知點(diǎn)在雙曲線上，將上面結(jié)果代入已知曲線方程，有即所求重心的軌跡方程為：。點(diǎn)評(píng)：定義法求軌跡方程的一般方法、步驟；“轉(zhuǎn)移法”求軌跡方程的方法。例2設(shè)P為雙曲線y21上一動(dòng)點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，M為線段OP的中點(diǎn)，則點(diǎn)M的軌跡方程是 。解析：（1）答案：x24y21設(shè)P（x0，y0） M（x，y） 2xx0，2yy04y21x24y21 點(diǎn)評(píng)：利用中間變量法（轉(zhuǎn)移法）是求軌跡問(wèn)題的重要方法之一。題型2：圓錐曲線中最值和范圍問(wèn)題例3（1）設(shè)AB是過(guò)橢圓中心的弦，橢圓的左焦點(diǎn)為，則F1AB的面積最大為（ ） A. B. C. D. （2）已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在雙曲線的右支

9、上，且，則此雙曲線的離心率的最大值是（ ） A. B. C. 2D. （3）已知A（3，2）、B（4，0），P是橢圓上一點(diǎn)，則|PA|PB|的最大值為（ ） A. 10B. C. D. 解析：（1）如圖，由橢圓對(duì)稱(chēng)性知道O為AB的中點(diǎn)，則F1OB的面積為F1AB面積的一半。又，F(xiàn)1OB邊OF1上的高為，而的最大值是b，所以F1OB的面積最大值為。所以F1AB的面積最大值為cb。點(diǎn)評(píng)：抓住F1AB中為定值，以及橢圓是中心對(duì)稱(chēng)圖形。（2）解析：由雙曲線的定義，得：， 又，所以，從而 由雙曲線的第二定義可得， 所以。又，從而。故選B。點(diǎn)評(píng)：“點(diǎn)P在雙曲線的右支上”是銜接兩個(gè)定義的關(guān)鍵，也是不等關(guān)系成

10、立的條件。利用這個(gè)結(jié)論得出關(guān)于a、c的不等式，從而得出e的取值范圍。（3）解析：易知A（3，2）在橢圓內(nèi)，B（4，0）是橢圓的左焦點(diǎn)（如圖），則右焦點(diǎn)為F（4，0）。連PB，PF。由橢圓的定義知： ， 所以。 由平面幾何知識(shí)，即，而， 所以。點(diǎn)評(píng)：由PAF成立的條件，再延伸到特殊情形P、A、F共線，從而得出這一關(guān)鍵結(jié)論。例4（1）設(shè)P是橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)，為橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求的最大值。（2）已知在平面直角坐標(biāo)系中的一個(gè)橢圓，它的中心在原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為,右頂點(diǎn)為,設(shè)點(diǎn).求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；若是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，求線段中點(diǎn)的軌跡方程；過(guò)原點(diǎn)的直線交橢圓于點(diǎn)，求面積的最大值。（3）已知橢圓的中心在坐標(biāo)原

11、點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，橢圓的短軸端點(diǎn)和焦點(diǎn)所組成的四邊形為正方形，兩準(zhǔn)線間的距離為l。()求橢圓的方程；()直線過(guò)點(diǎn)P(0,2)且與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)AOB面積取得最大值時(shí)，求直線l的方程。解析：（1）依題意可設(shè)P(0,1)，Q(x,y),則 |PQ|=，又因?yàn)镼在橢圓上，所以，x2=a2(1y2)， |PQ|2= a2(1y2)+y22y+1=(1a2)y22y+1+a2， =(1a2)(y )2+1+a2 。因?yàn)閨y|1,a1, 若a, 則|1, 當(dāng)y=時(shí), |PQ|取最大值，若1a,則當(dāng)y=1時(shí), |PQ|取最大值2。（2）由已知得橢圓的半長(zhǎng)軸a=2,半焦距c=,則半短軸b=1， 又

12、橢圓的焦點(diǎn)在x軸上, 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為。設(shè)線段PA的中點(diǎn)為M(x,y) ,點(diǎn)P的坐標(biāo)是(x0,y0)，由x=得x0=2x1y=y0=2y由,點(diǎn)P在橢圓上,得，線段PA中點(diǎn)M的軌跡方程是。當(dāng)直線BC垂直于x軸時(shí),BC=2,因此ABC的面積SABC=1。當(dāng)直線BC不垂直于x軸時(shí),說(shuō)該直線方程為y=kx,代入,解得B(,),C(,)，則,又點(diǎn)A到直線BC的距離d=，ABC的面積SABC=。于是SABC=。由1,得SABC,其中,當(dāng)k=時(shí),等號(hào)成立。SABC的最大值是。（3）解：設(shè)橢圓方程為（）由已知得所求橢圓方程為。（）解法一：由題意知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為由，消去y得關(guān)于x的方程：，由直線

13、與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，解得。又由韋達(dá)定理得，。原點(diǎn)到直線的距離。.解法1：對(duì)兩邊平方整理得：（*），整理得：。又， ，從而的最大值為，此時(shí)代入方程（*）得，。所以，所求直線方程為：。解法2：令，則。當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，此時(shí)。所以，所求直線方程為解法二：由題意知直線l的斜率存在且不為零。設(shè)直線l的方程為，則直線l與x軸的交點(diǎn)，由解法一知且，解法1： =.下同解法一.解法2：。下同解法一。點(diǎn)評(píng)：文科06年高考主要考察了圓錐曲線的最值問(wèn)題，主要是三角形的面積、弦長(zhǎng)問(wèn)題。處理韋達(dá)定理以及判別式問(wèn)題啊是解題的關(guān)鍵。題型3：證明問(wèn)題和對(duì)稱(chēng)問(wèn)題例5（1）如圖，橢圓1（ab0）與過(guò)點(diǎn)A（2，0）B(0,1)的直線

14、有且只有一個(gè)公共點(diǎn)T，且橢圓的離心率e=.()求橢圓方程；()設(shè)F、F分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，M為線段AF的中點(diǎn)，求證：ATM=AFT。（2）設(shè)分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，橢圓長(zhǎng)半軸的長(zhǎng)等于焦距，且為它的右準(zhǔn)線。（）、求橢圓的方程；（）、設(shè)為右準(zhǔn)線上不同于點(diǎn)（4，0）的任意一點(diǎn)，若直線分別與橢圓相交于異于的點(diǎn)，證明點(diǎn)在以為直徑的圓內(nèi)。（3）在平面直角坐標(biāo)系O中，直線與拋物線2相交于A、B兩點(diǎn)。求證：“如果直線過(guò)點(diǎn)T（3，0），那么3”是真命題；寫(xiě)出（1）中命題的逆命題，判斷它是真命題還是假命題，并說(shuō)明理由解析：（1）（I）過(guò)點(diǎn)、的直線方程為因?yàn)橛深}意得有惟一解，即有惟一解，所以 （），故又因?yàn)?即

15、 所以 從而得 故所求的橢圓方程為（II）由（I）得 故從而由，解得所以 因?yàn)橛值靡虼它c(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線與橢圓的位置關(guān)系、橢圓的幾何性質(zhì)，同時(shí)考察解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力。（2）（）依題意得 a2c，4，解得a2，c1，從而b.故橢圓的方程為 .（）解法1：由（）得A（2，0），B（2，0）.設(shè)M（x0，y0）.M點(diǎn)在橢圓上，y0（4x02）. 又點(diǎn)M異于頂點(diǎn)A、B，2x00，0，則MBP為銳角，從而MBN為鈍角，故點(diǎn)B在以MN為直徑的圓內(nèi)。解法2：由（）得A（2，0），B（2，0）.設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），則2x12，2x2b0),其半焦距c=6,b2=a2-c

16、2=9。所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為點(diǎn)P(5,2)、F1(-6,0)、F2(6,0)關(guān)于直線y=x的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)分別為點(diǎn)P，(2，5)、F1，(0，-6)、F2，(0，6)。設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為。由題意知，半焦距c1=6，。,b12=c12-a12=36-20=16. 所以所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為。點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查橢圓與雙曲線的基本概念、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)和基本運(yùn)算能力。題型4：知識(shí)交匯題例7已知點(diǎn),是拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),是坐標(biāo)原點(diǎn),向量,滿足.設(shè)圓的方程為(I) 證明線段是圓的直徑;(II)當(dāng)圓C的圓心到直線X-2Y=0的距離的最小值為時(shí)，求p的值。解析：(I)證明1: 整理得: 設(shè)M

17、(x,y)是以線段AB為直徑的圓上的任意一點(diǎn),則即整理得:故線段是圓的直徑證明2: 整理得: .(1)設(shè)(x,y)是以線段AB為直徑的圓上則即去分母得: 點(diǎn)滿足上方程,展開(kāi)并將(1)代入得:故線段是圓的直徑證明3: 整理得: (1)以線段AB為直徑的圓的方程為展開(kāi)并將(1)代入得:故線段是圓的直徑(II)解法1:設(shè)圓C的圓心為C(x,y),則又因所以圓心的軌跡方程為設(shè)圓心C到直線x-2y=0的距離為d,則當(dāng)y=p時(shí),d有最小值,由題設(shè)得.解法2: 設(shè)圓C的圓心為C(x,y),則又因所以圓心的軌跡方程為設(shè)直線x-2y+m=0到直線x-2y=0的距離為,則因?yàn)閤-2y+2=0與無(wú)公共點(diǎn),所以當(dāng)x-

18、2y-2=0與僅有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí),該點(diǎn)到直線x-2y=0的距離最小值為將(2)代入(3)得解法3: 設(shè)圓C的圓心為C(x,y),則圓心C到直線x-2y=0的距離為d,則又因當(dāng)時(shí),d有最小值,由題設(shè)得.點(diǎn)評(píng)：本小題考查了平面向量的基本運(yùn)算,圓與拋物線的方程.點(diǎn)到直線的距離公式等基礎(chǔ)知識(shí),以及綜合運(yùn)用解析幾何知識(shí)解決問(wèn)題的能力。例8如圖，對(duì)每個(gè)正整數(shù)，是拋物線上的點(diǎn)，過(guò)焦點(diǎn)的直線角拋物線于另一點(diǎn)。（）試證：；（）取，并記為拋物線上分別以與為切點(diǎn)的兩條切線的交點(diǎn)。試證：；證明：（）對(duì)任意固定的因?yàn)榻裹c(diǎn)F（0,1），所以可設(shè)直線的方程為將它與拋物線方程聯(lián)立得: ,由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得（）對(duì)任意

19、固定的利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)易得拋物線在處的切線的斜率故在處的切線的方程為：，類(lèi)似地，可求得在處的切線的方程為：，由得：，將代入并注意得交點(diǎn)的坐標(biāo)為由兩點(diǎn)間的距離公式得：現(xiàn)在，利用上述已證結(jié)論并由等比數(shù)列求和公式得：點(diǎn)評(píng)：該題是圓錐曲線與數(shù)列知識(shí)交匯的題目。五思維總結(jié)1注意圓錐曲線的定義在解題中的應(yīng)用，注意解析幾何所研究的問(wèn)題背景平面幾何的一些性質(zhì)；2復(fù)習(xí)時(shí)要突出“曲線與方程”這一重點(diǎn)內(nèi)容曲線與方程有兩個(gè)方面：一是求曲線方程，二是由方程研究曲線的性質(zhì).這兩方面的問(wèn)題在歷年高考中年年出現(xiàn)，且常為壓軸題.因此復(fù)習(xí)時(shí)要掌握求曲線方程的思路和方法，即在建立了平面直角坐標(biāo)系后，根據(jù)曲線上點(diǎn)適合的共同條件找出動(dòng)點(diǎn)P（x，y）的縱坐標(biāo)y和橫坐標(biāo)x之間的關(guān)系式，即f（x，y）=0為曲線方程，同時(shí)還要注意曲線上點(diǎn)具有條件，確定x，y的范圍，這就是通常說(shuō)的函數(shù)法，它是解析幾何的核心，應(yīng)培養(yǎng)善于運(yùn)用坐標(biāo)法解題的能力，求曲線的常用方法有兩類(lèi)：一類(lèi)是曲線形狀明確且便于用標(biāo)準(zhǔn)形式，這時(shí)用待定系數(shù)法求其方程；另一類(lèi)是曲線形狀不明確或不便于