《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》課件之7.ppt

1、Ch2-48,2.4 連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度,定義 設(shè) X 是隨機(jī)變量, 若存在一個(gè)非負(fù) 可積函數(shù) f ( x ), 使得,其中F ( x )是它的分布函數(shù),則稱 X 是連續(xù)型隨機(jī)變量，f ( x )是它的 概率密度函數(shù)( p.d.f. )，簡稱為密度函數(shù) 或概率密度,2.3 連續(xù),Ch2-49,分布函數(shù)與密度函數(shù) 幾何意義,Ch2-50,p.d.f. f ( x )的性質(zhì),常利用這兩個(gè)性質(zhì)檢驗(yàn)一個(gè)函數(shù)能否作為連續(xù)性隨機(jī)變量的密度函數(shù)，,在 f ( x ) 的連續(xù)點(diǎn)處，,f ( x ) 描述了X 在 x 附近單位長度的 區(qū)間內(nèi)取值的概率,Ch2-51,積分,不是Cauchy 積分，而是Le

2、sbesgue 意義下 的積分，所得的變上限的函數(shù)是絕對連續(xù) 的，因此幾乎處處可導(dǎo),Ch2-52,注意: 對于連續(xù)型隨機(jī)變量X , P(X = a) = 0,其中 a 是隨機(jī)變量 X 的一個(gè)可能的取值,命題 連續(xù)隨機(jī)變量取任一常數(shù)的概率為零,強(qiáng)調(diào) 概率為0 (1) 的事件未必不發(fā)生(發(fā)生),事實(shí)上,Ch2-53,對于連續(xù)型隨機(jī)變量 X,Ch2-54,Ch2-55,例1 已知某型號(hào)電子管的使用壽命 X 為連 續(xù)隨機(jī)變量, 其密度函數(shù)為,(1) 求常數(shù) c,(3) 已知一設(shè)備裝有3個(gè)這樣的電子管, 每個(gè)電子管能否正常工作相互獨(dú)立, 求在使用的最初1500小時(shí)只有一個(gè)損壞的概率.,(2) 計(jì)算,例1

3、,Ch2-56,解,(1) 令,c = 1000,(2),Ch2-57,(3),設(shè)A 表示一個(gè)電子管的壽命小于1500小時(shí),設(shè)在使用的最初1500小時(shí)三個(gè)電子管中 損壞的個(gè)數(shù)為 Y,Ch2-58,例2 設(shè),為使 f (x) 成為某隨機(jī)變量 X 在,解 由,上的密度函數(shù)， 系數(shù) a, b , c 必須且只需,滿足什么條件？,當(dāng),有最小值,Ch2-59,另外由,當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí),得,所以系數(shù) a, b , c 必須且只需滿足下列條件,Ch2-60,例3 設(shè)隨機(jī)變量 具有概率 密度,(1) 確定常數(shù),(2)求 的分布函數(shù),解：,(1)由,Ch2-61,解得,(2) 的分布函數(shù)為,Ch2-62,Ch2-6

4、3,(1) 均勻分布,若 X 的密度函數(shù)為,則稱 X 服從區(qū)間( a , b)上的均勻分布或稱,X 服從參數(shù)為 a , b的均勻分布. 記作,均勻分布,Ch2-64,X 的分布函數(shù)為,Ch2-65,Ch2-66,即 X 落在(a,b)內(nèi)任何長為 d c 的小區(qū)間的 概率與小區(qū)間的位置無關(guān), 只與其長度成正 比. 這正是幾何概型的情形.,進(jìn)行大量數(shù)值計(jì)算時(shí), 若在小數(shù)點(diǎn)后第 k 位進(jìn)行四舍五入, 則產(chǎn)生的誤差可以看作 服從 的隨機(jī)變量,應(yīng)用場合,Ch2-67,例3 秒表最小刻度值為0.01秒. 若計(jì)時(shí)精 度是取最近的刻度值, 求使用該表計(jì)時(shí)產(chǎn)生的隨機(jī)誤差X 的概率密度, 并計(jì)算誤差的絕對值不超過

5、0.004秒的概率.,解 X 等可能地取得區(qū)間,所以,上的任一值，則,Ch2-68,(2) 指數(shù)分布,若 X 的密度函數(shù)為,則稱 X 服從 參數(shù)為的指數(shù)分布,記作,X 的分布函數(shù)為, 0 為常數(shù),指數(shù)分布,Ch2-69,Ch2-70,對于任意的 0 a b,應(yīng)用場合,用指數(shù)分布描述的實(shí)例有：,隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)中的服務(wù)時(shí)間,電話問題中的通話時(shí)間,無線電元件的壽命,動(dòng)物的壽命,指數(shù)分布 常作為各種“壽命” 分布的近似,Ch2-71,若 X (),則,故又把指數(shù)分布稱為“永遠(yuǎn)年輕”的分布,指數(shù)分布的“無記憶性”,事實(shí)上,命題,年輕,Ch2-72,解 (1),例4 假定一大型設(shè)備在任何長為 t 的時(shí)間內(nèi)

6、發(fā)生故障的次數(shù) N( t ) (t), 求,相繼兩次故障的時(shí)間間隔 T 的概率分布; 設(shè)備已正常運(yùn)行小時(shí)的情況下,再正常 運(yùn)行 10 小時(shí)的概率.,例4,Ch2-73,即,Ch2-74,(3) 正態(tài)分布,若X 的密度函數(shù)為,則稱 X 服從參數(shù)為 , 2 的正態(tài)分布,記作 X N ( , 2 ),為常數(shù)，,正態(tài)分布,亦稱高斯 (Gauss)分布,Ch2-75,N (-3 , 1.2 ),Ch2-76,f (x) 的性質(zhì)：,圖形關(guān)于直線 x = 對稱, 即,在 x = 時(shí), f (x) 取得最大值,在 x = 時(shí), 曲線 y = f (x) 在對應(yīng)的 點(diǎn)處有拐點(diǎn),曲線 y = f (x) 以 x

7、軸為漸近線,曲線 y = f (x) 的圖形呈單峰狀,f ( + x) = f ( - x),性質(zhì),Ch2-77,Ch2-78,f ( x) 的兩個(gè)參數(shù)：, 位置參數(shù),即固定 , 對于不同的 , 對應(yīng)的 f (x) 的形狀不變化，只是位置不同, 形狀參數(shù),固定 ，對于不同的 ，f ( x) 的形狀不同.,若 1 2 則,比x= 2 所對應(yīng)的拐點(diǎn)更靠近直線 x=,附近值的概率更大. x = 1 所對應(yīng)的拐點(diǎn),前者取 ,Ch2-79,Showfn1,fn3,Ch2-80,正態(tài)變量的條件,若隨機(jī)變量 X, 受眾多相互獨(dú)立的隨機(jī)因素影響, 每一因素的影響都是微小的, 且這些正、負(fù)影響可以疊加,則稱 X

8、 為正態(tài)隨機(jī)變量,Ch2-81,可用正態(tài)變量描述的實(shí)例極多：,各種測量的誤差； 人體的生理特征；,工廠產(chǎn)品的尺寸； 農(nóng)作物的收獲量；,海洋波浪的高度； 金屬線抗拉強(qiáng)度；,熱噪聲電流強(qiáng)度； 學(xué)生的考試成績；,一種重要的正態(tài)分布,是偶函數(shù)，分布函數(shù)記為,標(biāo)準(zhǔn)正態(tài),其值有專門的表供查., 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N (0,1),密度函數(shù),Ch2-83,Ch2-84,-x,x,Ch2-85,對一般的正態(tài)分布 ：X N ( , 2),其分布函數(shù),作變量代換,Ch2-86,例5 設(shè) X N(1,4) , 求 P (0 X 1.6),解,例5,Ch2-87,求 P ( X 0 ).,解一,例6,Ch2-88,解二 圖解

9、法,0.2,由圖,Ch2-89,例 3 原理,設(shè) X N ( , 2), 求,解,一次試驗(yàn)中, X 落入?yún)^(qū)間( - 3 , +3 ) 的概率為 0.9974, 而超出此區(qū)間可能性很小,由3 原理知，,當(dāng),3 原理,Ch2-90,標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上 分位點(diǎn) z,設(shè) X N (0,1) , 0 1, 稱滿足,的點(diǎn) z 為X 的上 分位點(diǎn),z,常用 數(shù)據(jù),Ch2-91,例7 設(shè)測量的誤差 X N(7.5,100)(單位:米) 問要進(jìn)行多少次獨(dú)立測量，才能使至 少有一次誤差的絕對值不超過10米的 概率大于0.9 ?,解,例7,Ch2-92,設(shè) A 表示進(jìn)行 n 次獨(dú)立測量至少有一次 誤差的絕對值不超過10米,故至少要進(jìn)行 4 次獨(dú)立測量才能滿足 要求.,Ch2-93,每周一題6,第 6 周,問 題,上海某年有 9萬名高中畢業(yè)