2.2.2橢圓的幾何性質 (2).pptx

1、,高中數學 人教B版 選修2-1第二章 圓錐曲線與方程,2.2.2橢圓的幾何性質,遼寧省盤錦市高級中學 劉雯艷,2,復習回顧：,1.橢圓的定義:,平面內與兩定點F1、F2的距離和等于常數（大于|F1F2 |）的點的軌跡叫做橢圓.,2.橢圓的標準方程是：,3.橢圓中a,b,c的關系是:, + =(0）, + =(0）, = + ,中國國家大劇院,人造衛(wèi)星“神九”運行軌道,習題回顧： 將圓 + =的橫坐標不變，縱坐標變?yōu)樵瓉淼?，求壓縮后的軌跡方程？說明是什么曲線？,則有 = 1 = 3 5 1 ， 代入 1 2 + 1 2 =25中,解析：設 1 1 , 1 是圓上的點，壓縮后變?yōu)镻 , 點，,

2、得： 2 +( 5 3 y ) 2 =25 化簡后得: 2 25 + 2 9 =1,問題1：,類比圓的性質，你能說出橢圓 2 25 + 2 9 =1 有那些幾何性質嗎？為什么？怎么證明？,新知探究,新知探究,問題2 你知道橢圓 + = 會有哪些幾何性質， 你又打算如何研究這些性質？,探究1:我們能否從橢圓方程 + =() 本身來探討橢圓的范圍呢？ 橢圓的橫、縱坐標的取值范圍是什么？,問：范圍可以由不等關系求出， 如何建立 的不等關系?,一、橢圓的范圍,一、橢圓的范圍,橢圓 + =(),x,x=-a,x=a,y= b,y= -b,由橢圓方程求橢圓范圍的實質是： 已知 + =() ，求,的取值范圍

3、.,方法提煉：,思考1：如何證明點在曲線上？,思考2：怎樣用代數方法證明幾何圖形具有對稱性,探究2：橢圓具有怎樣的對稱性？能否用橢圓的方程 說明該對稱性?, + () = + =,證明：在橢圓上任取點P(x,y) 把這個點關于x軸的對稱點 (x,-y)代入橢圓方程,方程不變，可知 (x,-y)在橢圓上, 則這個橢圓關于x對稱 。,（，）,P(x,-y),關于x軸對稱,關于x軸對稱,關于y軸對稱,關于原點對稱,二、橢圓的對稱性,橢圓 + =(), （ ，）,（，）, 1 (,), 3 (,),圖形關于軸對稱.,圖形關于原點對稱.,想一想:橢圓的對稱軸一定是軸和軸嗎？對稱中 心一定是原點嗎？,o,

4、x,y,說明橢圓的對稱性不隨位置的改變而改變,方法提煉： 圖形對稱的本質是點的對稱,把這四個點稱之為橢圓的頂點, 1 (-a,0）， 2 (a,0） 1 (0,-b）， 2 (0,b）,B2(0,b),B2(0,-b),A1(-a，0),A2(a，0),想一想：如何定義橢圓的頂點？,方法提煉：頂點是曲線與對稱軸的交點，而不是曲線與坐標軸的交點.類比遷移二次函數圖像的頂點.,二次函數 y=(x2) ,18,三、橢圓的頂點,橢圓的四個頂點：,x,橢圓頂點定義：橢圓與它的對稱軸的交點,b,c,a, 1 (-a,0） 2 (a,0） 1 (0,-b） 2 (0,b）,B2(0,-b),長軸：線段A1A

5、2；,長軸長|A1A2|=2a,長半軸長 a,短軸：線段B1B2；,短軸長 |B1B2|=2b,長半軸長 b,你能在 找出a、b、c嗎？,RtO 叫做 特征三角形,.,所以其長軸長為10,短軸長為8,例1：求橢圓16 +25 =400的長軸長,短軸長，頂點坐標,焦點坐標, 并畫出它的圖形.并在同一坐標系中做出 + =圖像,解：橢圓16 +25 =400的標準方程為 + =1,頂點坐標 (-5,0) (5,0),焦點坐標 1 3，0 2 (3，0), (,) (4,0),20,a保持不變時，,b就越小，此時橢圓就越扁,b就越大，此時橢圓就越圓,問題3：觀察例題1兩個橢圓的它們 在形狀上有什么顯著

6、的不同,問題3.1 ： 這兩個橢圓的圓扁不同是由方程中的哪個量的變化引起的？,問題3.2 ： 你能說出兩個比這兩個橢圓還扁橢圓嗎？,問題3.3：b不變，改變a的量，橢圓會發(fā)生什么樣的變化？,a就越小，此時橢圓就越圓,a就越大，此時橢圓就越扁,問題3.4： 是不是方程 + =中的 a,b都改 變， 橢 圓 的 “圓”“扁”程度一定發(fā)生變化？,觀察橢圓 2 25 + 2 9 =1和 2 100 + 2 36 =1 “圓”“扁”情況？,這兩個橢圓的 的值有什么關系呢？,想一想： 的值對橢圓的圓扁程度有什么影響,問題3.5：, = 2 2 = 1( ) 2, 越小，橢圓越“扁”； 越大，橢圓越“圓”

7、越大，橢圓越“扁”； 越小，橢圓越“圓”,23,四、橢圓的離心率,離心率：橢圓的焦距與長軸長的比， = ,x,刻畫橢圓“圓”“扁”程度的量,問題5：離心率的大小如何影響橢圓的圓扁程度?,離心率的取值范圍: 0e1,特例：當兩個焦點重合時，a=b， 此時橢圓方程變?yōu)?+ = ,結論：離心率越大，橢圓越扁；離心率越小，橢圓越圓.,c越接近于a,= 越接近于0,橢圓越扁,c越接近于0,= 越接近于a,橢圓越圓,25,關于x軸、y軸成軸對稱； 關于原點成中心對稱.,長半軸長為a，短半軸長為b,焦距為2c,關于x軸、y軸成軸對稱； 關于原點成中心對稱.,焦距為2c, , (-c,0)， (c,0), (

8、0,-c)， (0,c),e = (),e = (),關于x軸、y軸成軸對稱；關于原點成中心對稱.,焦距為2c,長半軸長為a，短半軸長為b, (-b,0）， (,0） (0,- ）， (0,),長半軸長為a，短半軸長為b .,六、典例剖析，深化理解,例2.滿足條件的橢圓標準方程 （1）長軸長為4，離心率為 的橢圓的標準方程,(2)中心在原點，對稱軸在坐標軸上，在x軸上的一個焦點與短軸兩端點的連線互相垂直，且此焦點與長軸上較近的端點距離是 - , + =1, + =1,七、總結提升 形成體系,結合所學知識和知識的探究過程談談本節(jié)課你有什么收獲？,（1）知識：橢圓的簡單幾何性質：范圍、對稱性、頂點、離心率；,（3）思想：數形結合、特殊到一般、類比歸納等.,（2）方法：,代數方法,幾何問題,曲線方程,曲線性質,解決,研究,（4）經驗：研究圓錐曲線性質的一般方法經驗.,六、目標檢測 及時反饋,1.橢圓 + =1的范圍是 頂點坐標為 ，離心率,2.已知橢圓的長軸長為 ，焦距為 ，則該橢圓的標準方程為 。,3.橢圓 + =1與 + =1哪一個更扁一些？,4. 若橢圓的一個焦點與短軸的 兩端點構成一個正三角形, 則橢圓的離心率 e =_,- 3 3 , 2 2, (- ,0）， (