二階偏導(dǎo)數(shù).ppt

1、17高階偏導(dǎo)數(shù)及泰勒公式,由于它們還是 x, y 的函數(shù). 因此, 可繼續(xù)討論,一、高階偏導(dǎo)數(shù),稱為 z = f (x, y)的二階偏導(dǎo)數(shù).,類似, 可得三階, 四階, , n 階偏導(dǎo)數(shù).,例1.,解:,若不是, 那么滿足什么條件時(shí), 二階混合偏導(dǎo)數(shù)才相等呢?,問(wèn)題:,是否任何函數(shù)的二階混合偏導(dǎo)數(shù)都相等?,若 z = f (X) = f (x, y)的兩個(gè)混合偏導(dǎo)數(shù),則,定理1,分析. 按定義,f (x0 , y0 +y), f (x0 +x , y0) + f (x0 , y0),同理,證: 分別給 x, y 以改變量x, y , 使(x0 +x , y0 +y), (x 0 +x , y0

2、)及 (x0 , y0 +y)均在U(X0)內(nèi).,記 A = f (x0 +x , y0 +y) f (x0 +x , y0) f (x0, y0 +y) f (x0 , y0),(x) = f (x , y0 +y ) f (x , y0),有 A = (x0 +x) (x0),即(x) 在x0的某鄰域內(nèi)可導(dǎo), 故滿足拉格郎日中值定理?xiàng)l件.,因A = (x0 +x) (x0) , (x) = f (x , y0 +y )f (x , y0),A = (x0 +1x) x,再對(duì)變量 y 用拉格朗日中值定理.,得,另外, A = f (x0 +x , y0 +y) f (x0, y0 +y )

3、f (x0+x, y0) f (x0 , y0),記 (y) = f (x0 +x , y) f (x0 , y),從而,A = (y0 +y) (y0) (由拉格朗日中值定理),故,1.定理1的結(jié)果可推廣到更高階的混合偏導(dǎo)的情形. 同時(shí)可推廣到二元以上的函數(shù)情形.,即,若混合偏導(dǎo)數(shù)連續(xù), 則混合偏導(dǎo)相等(即求混合偏導(dǎo)與求導(dǎo)順序無(wú)關(guān)).,注,2.若多元函數(shù) f (X)在區(qū)域 D內(nèi)有(直到) k 階連續(xù)偏導(dǎo). 則記為 f (X)Ck (D). k為非負(fù)整數(shù).,若 f (x, y)Ck (D), 則不論求導(dǎo)順序如何, 只要是對(duì) x 求導(dǎo) m 次, 對(duì) y 求導(dǎo) k m 次, 都可寫成,例2.,解:

4、,比較知 a = 1, b = 0.,例3.,解: 設(shè) u=x+y+z, v=xyz,從而 w = f (u, v)是x , y , z,的復(fù)合函數(shù).,由鏈?zhǔn)椒▌t.,注意：,還要用鏈?zhǔn)椒▌t來(lái)求.,例4.,解:,例5.,解: (1),由隱函數(shù)求導(dǎo)公式,從而,(2)上式兩端對(duì) x 求偏導(dǎo). 此時(shí)右邊的z看作 x 的的函數(shù). y要看作常數(shù).,有,例6. 設(shè)方程組,解: (1)先求一階偏導(dǎo).,注意, u, v 看作 x, y 的函數(shù).,得,方程兩邊對(duì)x 求偏導(dǎo).,從而,(2),從而,例7. 設(shè)u = f (x, y, z), y=x3, (x2, lny, z) = 0 .,解:,u = f (x,

5、x3, z), (x2, 3lnx, z) = 0,易見(jiàn) z, u均 x 的函數(shù), 方程兩邊對(duì) x 求導(dǎo)數(shù).,得,從而,和一元函數(shù)一樣, 多元函數(shù)也有高階微分的概念. 我們只介紹二元函數(shù)的高階微分.,若 dz 還可微, 則記 d2z = d(dz), 稱為,z 的二階微分.,二、高階微分,下邊推導(dǎo) z 的 k 階微分的計(jì)算公式.,設(shè)以 x, y 為自變量 的函數(shù) z = f (x, y)Ck .,由于x, y 為自變量,故dx = x, dy = y,與 x, y 的取值無(wú)關(guān).,固定x, y, (即將它們看作常數(shù)),求dz的微分.,且 d2z = d(dz),記,引進(jìn)記號(hào).,這相當(dāng)于規(guī)定了 將

6、字母 z 移到括號(hào)外 的方法。,實(shí)際上，,它把C1中的每一個(gè)z, 通過(guò)上述運(yùn)算, 映成了dz.,若記這個(gè)映射為g ,則,比較兩端式子, 可看出,不過(guò)是用一個(gè)我們陌生的式子,來(lái)代替字母 g 而已.,即,我們把這個(gè)映射稱為一階微分算子.,類似, 記,并規(guī)定:,故, 二階微分算子實(shí)際上就是一階微分算子 g 復(fù)合二次.,只不過(guò)這種復(fù)合運(yùn)算在上述規(guī)定下, 可以看作是一階微分算子,一般, 若形式上規(guī)定.,(1) 當(dāng) z = f (x, y)Ck 時(shí), z 有 k 階微分.,(2),只有把它按上述規(guī)定, 展開(kāi)后, 再將各項(xiàng) 乘以 z (即, 將 z 補(bǔ)寫在 k 后面),一切記號(hào)才回復(fù)到導(dǎo)數(shù)和微分的意義.,注

7、,(3),它本質(zhì)上是一個(gè)映射. 它將 Ck 中的元素 z 映成 dk z .,(4) 若 x, y 不是自變量, dk z 一般不具有上述形式.,18方向?qū)?shù),函數(shù)的導(dǎo)數(shù)就是函數(shù)的變化率.,比如, y = f (x),如圖,一、方向?qū)?shù)的概念,表示在 x0處沿 x 軸正方向的變化率.,表示在 x0處沿 x 軸負(fù)方向的變化率.,又比如, z = f (x, y), 偏導(dǎo)數(shù),分別表示函數(shù)在點(diǎn) (x0, y0)沿 x 軸方向,沿 y 軸方向的變化率.,如圖,x,o,y,z,x0,(x0, y0),y,表示在 (x0, y0)處沿 y 軸正方向的變化率.,表示在 (x0, y0)處沿 y 軸負(fù)方向的變

8、化率.,但在許多實(shí)際問(wèn)題中, 常需知道 f (X)在 X0 沿任何方向的變化率.,比如, 設(shè) f (X)表示某物體內(nèi)部點(diǎn) X 處的溫度. 那么, 這個(gè)物體的熱傳導(dǎo)就依賴于溫度沿各方向下降的速度.,因此有必要引進(jìn) f (X)在 X0 沿一給定方向的方向?qū)?shù).,把偏導(dǎo)數(shù)概念略加推廣即可得到方向?qū)?shù)的概念.,即 f x (x0, y0) 表示 y = y0 與 z = f (x, y)的交線在 M0處的切線對(duì) x 的斜率.,即 f y (x0, y0) 表示 x = x0 與 z = f (x, y)的交線在 M0處的切線對(duì) y 的斜率.,如圖,設(shè) z = f (X) = f (x, y)在點(diǎn) X0

9、 = (x0, y0)的某鄰域U(x0)內(nèi)有定義.,以 X0 為端點(diǎn)引射線 l , 其單位方向向量為 e = (cos, cos), 設(shè)X = (x0+x, y0+y)是 l 上另一點(diǎn).,x,o,y,z,M0,l,X0=(x0, y0),X = (x0+x, y0+y),M,N,定 義,X = (x0+x, y0+y),x,o,y,z,M0,l,X0=(x0, y0),M,N,則稱它為 z = f (X) = f (x, y)在點(diǎn) X0 = (x0, y0)沿 l 的方向?qū)?shù).,x,o,y,z,M0,l,X0=(x0, y0),M,N,X = (x0+x, y0+y),沿l,1.定義中要求點(diǎn)

10、X 只取在 l 的正向上, 且 X 沿 l 趨向于X0 .,的分母大于0.,如圖,另外比值,注,2.若 z = f (X) = f (x, y)在 X0 = (x0, y0)處偏導(dǎo)存在.,則在 X0 處沿 x 軸正向的方向?qū)?shù),在 X0 處沿 x 軸負(fù)方向的方向?qū)?shù),同樣可得沿 y 軸正向的方向?qū)?shù)為 f y (x0, y0), 而沿 y 軸負(fù)方向的方向?qū)?shù)為 f y (x0, y0).,3.定義中的極限表示式可用另一形式給出.,由于l的單位方向向量為e = (cos, cos ),從而 l 的參數(shù)式方程為,x = x0 + tcos,y = y0 + tcos ,t 0,或 (x, y) =

11、 (x0, y0) + t (cos , cos ),而 X X0 就是 t 0+.,即 X = X0+ te,從而,這正是教材中給出的定義式.,若 z = f (X) = f (x, y) 在點(diǎn) X0 = (x0, y0) 可微, 則 z = f (X) 在 X0沿任一方向e = (cos, cos)的方向?qū)?shù)存在. e為單位向量.,且,= Jf (X0) e. (最后兩式為數(shù)量積),二、方向?qū)?shù)的計(jì)算,定理4,證: 如圖,x,o,y,X0 = (x0, y0),e,y,x,l,X0 = (x0+x, y0+y),在射線 l 上取點(diǎn) X = (x0+x, y0+y),其中, X =(x, y

12、),故 X = te , (t 0),X = X0 +te ,= X0 + X,由方向?qū)?shù)定義,看 f (X0 + te) f (X0).,沿 l,因 f (X)在X0可微,知,z = f (X0 + X ) f (X0),= f (x0 + x, y0 + y ) f (x0 , y0),由定理1,= Jf (X0) X + 0(| X |),上式對(duì)任何x, y 都成立.,特別, 當(dāng) X = X0 + X 在射線 l 上時(shí), 當(dāng)然成立.,即, 當(dāng) X0 + X = X0 + te 時(shí), 有,f (X0 + te ) f (X0),= Jf (X0) ( te ) + 0(| te |),=

13、t (Jf (X0) e + 0 ( t ),除以 t 0, 并令 t 0+, 有,即 z = f (X0 + X ) f (X0) = Jf (X0) X + 0(| X |),= Jf (X0) e,即, 若 u = f (x, y, z) 在點(diǎn) X0 = (x0, y0 , z0) 可微,則 u 在該點(diǎn)處沿任何方向e = (cos, cos , cos )的方向?qū)?shù)存在,= Jf (X0) e,且,公式可推廣到三元函數(shù)中去.,例5.求 u = xyz 在點(diǎn) X0 = (1, 1, 1)處沿從該點(diǎn)到點(diǎn) X1 = (1, 2, 2)方向的方向?qū)?shù).,解:(1)先求出這個(gè)方向上的單位向量 e

14、.,(2)求 u 在 X0 = (1, 1, 1) 處偏導(dǎo)數(shù).,(3)由公式得方向?qū)?shù),1.若 z = f (X) = f (x, y) 在區(qū)域D內(nèi)存在一階連續(xù)偏導(dǎo). X0 = (x0, y0) 是 D 內(nèi)一點(diǎn). 知 z 在 X0 沿任何方向e = (cos, cos )的方向?qū)?shù),其中 | e | = 1.,問(wèn),注,故,最大值為 |Jf (X0)|.,函數(shù)沿Jf (X0) 的方向增長(zhǎng)最快.,(2),即,(3) 記 grad f (X) = Jf (X) = ( f x(x, y), f y(x, y)稱為 f (X)在點(diǎn) X 處的梯度.,2.設(shè) z = f (X) = f (x, y) , 考察 z 在點(diǎn) X0 = (x0, y0)處連續(xù); 存在兩偏導(dǎo); 沿任何方向的方向?qū)?shù)存在以及可微這些概念的聯(lián)系和區(qū)別.,(1),(反之如何?),可微 連續(xù), 可微 存在兩偏導(dǎo),