因式分解(高級篇)十字相乘07753.ppt

1、因式分解（高級篇）,因式分解的其他常用方法,知識結(jié)構(gòu),因式分解常用方法,提公因式法 公式法 十字相乘法 分組分解法 拆項添項法 配方法 待定系數(shù)法 求根法 ,一、提公因式法,只需找到多項式中的公因式，然后用原多項式除以公因式，把所得的商與公因式相乘即可。往往與其他方法結(jié)合起來用。,二、公式法,只需發(fā)現(xiàn)多項式的特點，再將符合其形式的公式套進去即可完成因式分解，有時需和別的方法結(jié)合或多種公式結(jié)合。 接下來是一些常用的乘法公式，可以逆用進行因式分解。,常用公式 1、(a+b)(ab)=a2b2 （平方差公式） 2、(ab)2=a22ab+b2 （完全平方公式） 3、(a+b+c)2=a2+b2+c2

2、+2ab+2ac+2bc 4、a3+b3=(a+b)(a2ab+b2) （立方和公式） 及 a3b3=(ab)(a2+ab+b2) （立方差公式） 5、(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 （完全立方和公式） 6、(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq 7、x2+y2+z2+xy+xz+yz公式推導(dǎo),三、十字相乘法,前面出現(xiàn)了一個公式： (x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq 我們可以用它進行因式分解（適用于二次三項式）,例1：因式分解x2+4x+3 可以看出常數(shù)項 3 = 13 而一次項系數(shù) 4 = 1 + 3 原式=(x+1)(x+3),暫且稱為p、q型因式分解,例

3、2：因式分解x27x+10 可以看出常數(shù)項10 = (2)(5) 而一次項系數(shù) 7 = (2) + (5) 原式=(x2)(x5),這個公式簡單的說， 就是把常數(shù)項拆成兩個數(shù)的乘積， 而這兩個數(shù)的和剛好等于一次項系數(shù),特點： 二次項系數(shù)為1,三、十字相乘法,試因式分解6x2+7x+2。 這里就要用到十字相乘法（適用于二次三項式）。,既然是二次式，就可以寫成(ax+b)(cx+d)的形式。,(ax+b)(cx+d)=,所以，需要將二次項系數(shù)與常數(shù)項分別拆成兩個數(shù)的積，而這四個數(shù)中，兩個數(shù)的積與另外兩個數(shù)的積之和剛好等于一次項系數(shù)，那么因式分解就成功了。,ac,ad+bc,bd,= 17,3 x2

4、 + 11 x + 10,6 x2 + 7 x + 2,2 3,1 2,4,+ 3,= 7,6x2+7x+2=(2x+1)(3x+2),1 3,5 2,2,+ 15,= 11,1 3,2 5,5,+ 6,3x2+11x+10=(x+2)(3x+5),(ax+b)(cx+d)=,ac,ad+bc,bd,= 6,5 x2 6 xy 8 y2,試因式分解5x26xy8y2。 這里仍然可以用十字相乘法。,1 5,2 4,4, 10,5x26xy8y2 =(x2y)(5x+4y),簡記口訣： 首尾分解，交叉相乘，求和湊中。,2課時,四、分組分解法,要發(fā)現(xiàn)式中隱含的條件，通過交換項的位置，添、去括號等一些

5、變換達(dá)到因式分解的目的。,例1：因式分解 abac+bdcd 。,解：原式 = (ab ac) + (bd cd) = a (b c) + d (b c) = (a + d) (b c),還有別的解法嗎？,四、分組分解法,要發(fā)現(xiàn)式中隱含的條件，通過交換項的位置，添、去括號等一些變換達(dá)到因式分解的目的。,例1：因式分解 abac+bdcd 。,解：原式 = (ab + bd) (ac + cd) = b (a + d) c (a + d) = (a + d) (b c),例2：因式分解 x5+x4+x3+x2+x+1 。,解：原式 = (x5+x4+x3)+(x2+x+1) = (x3+1)(x

6、2+x+1) = (x+1)(x2x+1)(x2+x+1),立方和公式,回顧例題：因式分解 x5+x4+x3+x2+x+1 。,另解：原式 = (x5+x4)+(x3+x2)+(x+1) = (x+1)(x4+x2+1) = (x+1)(x4+2x2+1x2) = (x+1)(x2+1)2x2 = (x+1)(x2+x+1)(x2x+1),*五、拆項、添項法,怎么結(jié)果與剛才不一樣呢？,因為它還可以繼續(xù)因式分解,拆項添項法對數(shù)學(xué)能力有著更高的要求，需要觀察到多項式中應(yīng)拆哪一項使得接下來可以繼續(xù)因式分解，要對結(jié)果有一定的預(yù)見性，嘗試較多，做題較繁瑣。 最好能根據(jù)現(xiàn)有多項式內(nèi)的項猜測可能需要使用的公

7、式，有時要根據(jù)形式猜測可能的系數(shù)。,五*、拆項添項法,因式分解 x4 + 4,解：原式 = x4 + 4x2 + 4 4x2 = (x2+2)2 (2x)2 = (x2+2x+2)(x22x+2),完全平方公式,平方差公式,配方法,配方法是一種特殊的拆項添項法，將多項式配成完全平方式，再用平方差公式進行分解。,因式分解 a2b2+4a+2b+3 。,解：原式 = (a2+4a+4) (b22b+1) = (a+2)2 (b1)2 = (a+b+1)(ab+3),配方法 (拆項添項法)分組分解法,完全平方公式,平方差公式,六*、待定系數(shù)法,試因式分解 2x2+3xy9y2+14x3y+20。,通

8、過十字相乘法得到 (2x3y)(x+3y) 設(shè)原式等于 (2x3y+a)(x+3y+b) 通過比較兩式同類項的系數(shù)可得： 解得： ，原式 = (2x3y+4)(x+3y+5),待定系數(shù)法， 一種求未知數(shù)的方法。將一個多項式表示成另一種含有待定系數(shù)的新的形式，這樣就得到一個恒等式。然后根據(jù)恒等式的性質(zhì)得出系數(shù)應(yīng)滿足的方程或方程組，其后通過解方程或方程組便可求出待定的系數(shù)，或找出某些系數(shù)所滿足的關(guān)系式，這種解決問題的方法叫做待定系數(shù)法。,= 3,= 14,10,+ 4,2 x2 + 3 xy 9 y2 + 14 x 3 y + 20,雙十字相乘法,雙十字相乘法適用于二次六項式的因式分解，而待定系數(shù)法則沒有這個限制。,因式分解 2x2+3xy9y2+14x3y+20。,2 1,3 3,6, 3,4 5,= 3,12, 15,原式 = (2x3y+4)(x+3y+5),七*、求根法,設(shè)原多項式等于零，解出方程的解 x1、x2，則原式就可以分解為(xx1)(xx2)(xx3),更多的方法需要同學(xué)們自己去尋找 ! 多練才能擁有自己的解題智慧 !,綜合訓(xùn)練(一),綜合訓(xùn)練(二),2、x2yy2z+z2xx2z+y2x+z2y2xy