直線方程與線性規(guī)劃.ppt

1、第七章直線和圓的方程 直線的方程、簡單的線性規(guī)劃教學(xué)建議 中關(guān)村中學(xué) 徐延,一、主要教學(xué)內(nèi)容 (一)直線 直線的傾斜角和斜率的概念及計算公式、直線的方程的幾種形式、兩條直線的位置關(guān)系；點到直線的距離公式等 (二)線性規(guī)劃 簡單的線性規(guī)劃、研究性學(xué)習(xí)與實習(xí)作業(yè),國家教育部數(shù)學(xué)課程標準： 高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)力求通過各種不同形式的自主學(xué)習(xí)、探究活動，讓學(xué)生體驗數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的過程，發(fā)展他們的創(chuàng)新意識,二、教學(xué)建議 這一章是解析幾何初步：自法國數(shù)學(xué)家笛卡兒、費馬在17世紀創(chuàng)立了解析幾何以來，使數(shù)學(xué)進入了一個新的發(fā)展時期，不僅對于數(shù)學(xué)的研究和發(fā)展，而且對于科學(xué)的進步都具有重要的深遠的意義解析幾何的重要思想是

2、數(shù)形結(jié)合通過建立坐標系，用方程表示曲線，把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，把曲線的交點問題轉(zhuǎn)化為方程組實數(shù)解的問題學(xué)生通過對平面解析幾何初步知識的學(xué)習(xí)，領(lǐng)悟坐標思想和數(shù)形結(jié)合思想，初步形成用代數(shù)方法解決幾何問題的能力，同時為進一步學(xué)習(xí)圓錐曲線、向量、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用打下基礎(chǔ),在教學(xué)活動開始之前要制訂教學(xué)工作計劃, 即教學(xué)設(shè)計你希望你的學(xué)生去哪里（目標） 你的學(xué)生現(xiàn)在在哪里（起點） 怎么到那去（過程） 是否到達了（目標是否達成）,關(guān)于直線(初中所學(xué)) 一次函數(shù)的圖象： 一次函數(shù)的圖象是經(jīng)過點 和點 兩點的一條直線,一次函數(shù)的性質(zhì)： （1）在一次函數(shù)中，若k的值相同，而對于b的不同值，對應(yīng)的圖象是互相平行的直

3、線 （2）當(dāng) 時：直線呈現(xiàn)出“左低右高”的變化趨勢，說明這個函數(shù)的自變量增大時，因變量也隨之增大；當(dāng) 時：直線呈現(xiàn)出“左高右低”的變化趨勢，說明這個函數(shù)的自變量增大時，因變量隨之而減小,一次函數(shù)的應(yīng)用： 例題： 比較兩種移動電話的收費方法（在同一坐標系中畫出它們的圖象，觀察圖象：兩圖象的交點處有相同的縱坐標得出此處收費相同、之前之后的收費高低）,在“探究與應(yīng)用”中 通過給出一個具體的二元一次方程，提出問題：（1）可否把y看成關(guān)于x的一次函數(shù)？如果可看，那么一個二元一次方程也可以對應(yīng)于直角坐標系上的一條直線 （2）按此思路，直角坐標系上的兩條相交直線的交點坐標應(yīng)有怎樣的意義？ （3）具此，可否用

4、畫圖象的方法解二元一次方程組？_選自北京教育科學(xué)研究院 北京出版社 合編北京市義務(wù)教育課程改革實驗教材數(shù)學(xué),這一章從方程的角度研究直線，運用代數(shù)的方法研究直線的特征主要內(nèi)容包括：確定直線的幾何要素，直線的傾斜角和斜率的概念及計算公式，直線方程的幾種形式，判定兩條直線平行或垂直，兩條直線的交點坐標及點到直線的距離公式等,課本從一個具體的一次函數(shù)與它的圖象人手，引入直線的方程和方程的直線概念（只需學(xué)生對此有一個初步的了解，為今后學(xué)習(xí)曲線和方程的概念作準備）,為了建立直線的方程，首先引入直線的傾斜角和斜率的概念： 概念的引入要展示知識的發(fā)生與發(fā)展的過程，經(jīng)歷從特殊到一般的抽象過程直線斜率的定義是體現(xiàn)

5、幾何問題與代數(shù)問題轉(zhuǎn)化的范例，滲透了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想要引導(dǎo)學(xué)生探索和經(jīng)歷用代數(shù)方法刻畫直線傾斜程度的過程,引導(dǎo)學(xué)生通過初中學(xué)習(xí)的一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，如用 等來探索如何刻畫直線的方向？,不論用什么樣的教學(xué)方式定義斜率都要注意與學(xué)生已有的知識結(jié)構(gòu)聯(lián)系，讓學(xué)生有一個探究的過程，在研究過程中領(lǐng)悟斜率的概念，不要將此概念直接灌給學(xué)生,關(guān)于過兩點的直線斜率的計算公式要注意： 傾斜角和斜率都是反映直線相對于x軸正方向的傾斜程度的傾斜角是直接反映這種傾斜程度的，斜率是傾斜角的正切值. 通過過兩點的直線的斜率公式，把斜率坐標化，所以在解析幾何中，研究直線時，使用斜率常常比使用傾斜角更方便因此，它是研究直線問

6、題的重要工具，也是學(xué)好本章的關(guān)鍵,應(yīng)用斜率公式求直線的斜率時，在直線上任取兩點其結(jié)果都相同，不會因在直線上所取兩點的變化而變化; 也可以將 表示成 ，這不僅與今后學(xué)習(xí)極限導(dǎo)數(shù)中的增量所采用的符號相一致，而且形式簡單，便于記憶；,當(dāng)兩點的橫坐標相同，縱坐標不同時，直線的斜率不存在；當(dāng)兩點的縱坐標相同，橫坐標不同時，直線的斜率為0； 仍然要強調(diào)當(dāng) 時， 不是單調(diào)遞增的；,在后繼學(xué)習(xí)中應(yīng)適當(dāng)滲透利用斜率的意義來解決一些代數(shù)問題，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想，,課本介紹了直線的方向向量及與直線的斜率之間的關(guān)系，為后面的學(xué)習(xí)作好鋪墊,直線的方程： 介紹了直線方程的幾種重要形式：點斜式、兩點式、一般式，簡單介紹了斜截

7、式、截距式,點斜式是基本的直線方程，建立點斜式的主要依據(jù)是：過直線上一個定點和這條直線上任意一點的直線是唯一的（導(dǎo)出直線點斜式方程的方法實質(zhì)上是后繼課程中要學(xué)習(xí)的求曲線方程的一般方法，在此不必延伸到求曲線方程的一般步驟和方法上，但應(yīng)使學(xué)生理解這一基本方法）；,在推導(dǎo)直線點斜式方程的過程中應(yīng)明確方程變形所表示的幾何意義，在設(shè)直線 上除 點外的任一點為 后,則方程 所表示的是直線上除去點 外的其他點，而方程 所表示的點不僅包括點 , 而且還包括點 因此方程 才表示整條直線反之若點 滿足方程 ，當(dāng)點 不與 點重合時，則 ，它表示 與 兩點連線的斜率為 ，即點 P在直線 上；當(dāng)點 與 重合時，顯然該點

8、也在直線 上因此，過點 且斜率為 的直線的方程為:,直線方程的斜截式、兩點式、截距式都是點斜式直接應(yīng)用得出的它們都有適用條件，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生分析適用條件產(chǎn)生的原因 通過直線方程的斜截式與初中學(xué)習(xí)的一次函數(shù) 的關(guān)系，溝通方程與函數(shù)的聯(lián)系,通過直線方程的一般式與直線方程的點斜式、斜截式、兩點式、截距式之間的關(guān)系引導(dǎo)學(xué)生理解，它們都是關(guān)于的二元一次方程，進一步研究直線和二元一次方程的關(guān)系使學(xué)生對曲線和方程之間的對應(yīng)關(guān)系有一個初步了解，為繼續(xù)學(xué)習(xí)“曲線和方程”打下基礎(chǔ),在直線方程的幾種形式學(xué)習(xí)完后，可以進行列表歸納總結(jié),兩條直線的位置關(guān)系： （）兩條直線平行、垂直 在進行兩條直線的位置關(guān)系的教學(xué)中，仍然從

9、學(xué)生已有的知識人手，即初中所學(xué)平面幾何中的兩條直線的關(guān)系，而在這里，我們將要運用解析幾何的思想和方法，通過研究直線方程來判斷直線的位置關(guān)系,把初中幾何中兩條直線平行的判定和性質(zhì)定理轉(zhuǎn)化為坐標系中的語言，用傾斜角、斜率、截距來重新刻劃有關(guān)條件也可以利用現(xiàn)代教育技術(shù)，通過改變兩直線方程的系數(shù)，得出不同情況下直線的位置關(guān)系的展示而得到，從而讓學(xué)生經(jīng)歷操作、體驗、發(fā)現(xiàn)、感悟的過程； 啟發(fā)學(xué)生討論一條直線沒有斜率時，怎樣通過方程研究它與其它直線是否平行,同樣可由學(xué)生自主學(xué)習(xí)兩條直線垂直的充要條件如先給出幾組直線方程 與 ； 與 讓學(xué)生畫圖觀察每一組直線之間的關(guān)系；反之再請學(xué)生畫出兩條互相垂直且交于坐標原

10、點的直線，并研究它們的方程特點進而利用兩個向量互相垂直研究一般情況,教學(xué)中注意創(chuàng)設(shè)出學(xué)生易于發(fā)現(xiàn)和探索的問題情景，教學(xué)設(shè)計應(yīng)體現(xiàn)由學(xué)生自主探究、合作交流的理念，使學(xué)生在探究過程中領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法,（）兩條直線的夾角： 用解析幾何方法研究角的問題對學(xué)生而言相對困難，因為在兩條直線不互相垂直時有兩個大小不同的角：（）講清夾角與到角的定義；（）講到角公式時，必需考慮兩種情況.提醒學(xué)生注意：夾角與到角的區(qū)別和聯(lián)系,（）兩條直線的交點 通過交點坐標的計算方法即轉(zhuǎn)化為二元一次方程組解的問題的分析，滲透解析幾何的基本思想,（4）點到直線的距離： 是解析幾何中研究一些問題的重要工具，教科書是借助直角三角形的面

11、積公式推導(dǎo)出的 由于解析幾何中解決問題的途徑的尋找，是學(xué)生的學(xué)習(xí)難點也是重點因此，建議在講授這個公式時，不妨給出已知條件，讓學(xué)生自主探索推導(dǎo)點到直線的距離公式,目的： (1)讓學(xué)生在探索過程中深刻地領(lǐng)悟到蘊涵于公式推導(dǎo)中的重要的數(shù)學(xué)思想和方法，學(xué)會利用數(shù)形結(jié)合、化歸思想和分類方法，由淺入深，由特殊到一般地研究數(shù)學(xué)問題，體會解析幾何解題的真諦； (2)使學(xué)生體驗成功的喜悅，增強數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣和培養(yǎng)良好的學(xué)習(xí)品質(zhì),幾種推導(dǎo)方法： 設(shè)直線 的方程為 (先假設(shè) ,求點 到 直線的距離,思路一： 過 P作 于點Q，根據(jù)點斜式寫出直線PQ的方程，由PQ與 聯(lián)立方程組,解得點Q坐標，然后利用兩點距離公式求得,

12、思路二：在直角PQR,或直角PQS中,求邊長與角（角與直線傾斜角有關(guān),分銳角鈍角討論）,用正弦值 思路三：在直角PQR,或直角PQS中,求邊長與角（角與直線傾斜角有關(guān)，分銳角鈍角討論）,用余弦值,思路四：在直角PRS中，求線段PR、PS、RS，利用等面積法（不涉及角和分情況），求得線段PQ長,思路五：運用向量工具 已知直線 的法向量 設(shè) ，則 ， 因為直線的方向向量 ， 則法向量為 ,或 或其它.取 =,由于點Q在直線上,所以滿足直線方程 , 解得,思路六：運用向量的數(shù)量積推導(dǎo)： 由于直線 的法向量 = , 與y軸的交點為 因此,向量是新教材內(nèi)容，是一種很好的數(shù)學(xué)工具，和解析幾何結(jié)合應(yīng)用是現(xiàn)在

13、新教材知識的交匯點要讓學(xué)生體會到向量工具的巨大作用，同時，也溝通了數(shù)學(xué)各章節(jié)知識間的內(nèi)在聯(lián)系,在推導(dǎo)兩條平行直線間距離時，同樣應(yīng)讓學(xué)生自主探索發(fā)現(xiàn),（）幾個常用的結(jié)論,(7)新視角 新課標：在平面解析幾何初步的教學(xué)中，教師應(yīng)幫助學(xué)生經(jīng)歷如下的過程：首先將幾何問題代數(shù)化，用代數(shù)的語言描述幾何要素及其關(guān)系，進而將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題；處理代數(shù)問題；分析代數(shù)結(jié)果的幾何含義，不斷幫助學(xué)生體會數(shù)形結(jié)合的思想方法,簡單的線性規(guī)劃 關(guān)于線性規(guī)劃 線性規(guī)劃是運籌學(xué)中研究較早、發(fā)展較快、應(yīng)用廣泛、方法較成熟的一個重要分支它是輔助人們進行科學(xué)管理的一種數(shù)學(xué)方法.在經(jīng)濟管理、交通運輸、工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)等經(jīng)濟活動中，提高

14、經(jīng)濟效果是人們不可缺少的要求，而提高經(jīng)濟效果一般通過兩種途徑：一是技術(shù)方面的改進，例如改善生產(chǎn)工藝，使用新設(shè)備和新型原材料二是生產(chǎn)組織與計劃的改進，即合理安排人力、物力資源線性規(guī)劃所研究的是：在一定條件下，合理安排人力、物力等資源，使經(jīng)濟效果達到最好,線性規(guī)劃問題的數(shù)學(xué)模型的一般形式： （1）列出約束條件及目標函數(shù) （2）畫出約束條件所表示的可行域 （3）在可行域內(nèi)求目標函數(shù)的最優(yōu)解,知識背景 它是在學(xué)生學(xué)習(xí)了不等式和直線方程的基礎(chǔ)上，介紹二元一次不等式的一個簡單的應(yīng)用 不等式有著豐富的實際背景，二元不等式是刻畫區(qū)域的重要工具，而刻畫區(qū)域是解決線性規(guī)劃問題的一個基本步驟,主要教學(xué)內(nèi)容 （1）二

15、元一次不等式（組）與平面區(qū)域的關(guān)系討論； （2）簡單的線形規(guī)劃問題,教學(xué)建議 （1）要上好第一節(jié)課，這節(jié)課的內(nèi)容是全新的，需要從簡單入手，逐漸深入，漸進式展開它是本節(jié)內(nèi)容的重點，在教材中起承上啟下的作用，對這一節(jié)課內(nèi)容的掌握直接影響著線性規(guī)劃問題中可行域的應(yīng)用,（2）線性規(guī)劃 從實際問題中抽象出線性規(guī)劃模型：教學(xué)時，先呈現(xiàn)實際問題，如生產(chǎn)安排問題、資金分配問題、人力調(diào)配問題、資源利用問題等；再分析實際問題的已知條件和求解目標，將實際問題化歸為“在線形約束條件求線形目標函數(shù)的最大值或最小值”問題，即線性規(guī)劃問題；然后用圖解法解決實際問題；最后總結(jié)解決實際問題的過程，引出與線性規(guī)劃相關(guān)的基本概念,

16、從實例分析中概括出求線形目標函數(shù) 最大值或最小值的求解程序： ()作可行域，（即作出線形約束條件（二元一次不等式組）表示的平面區(qū)域）； ()作直線 ； ()找最優(yōu)解，（即平移直線 ，依可行域判斷取得最優(yōu)解的點，然后解相關(guān)方程組，求出最優(yōu)解； （）得出結(jié)論，（即將最優(yōu)解的值代入線形目標函數(shù) ，得到需求的最大值或最小值,通過對具體問題的詳盡分析，幫助學(xué)生理解圖解法求解線性規(guī)劃問題的求解原理，即幫助學(xué)生認識線形目標函數(shù)值的變化規(guī)律在此應(yīng)加強直觀教學(xué)，建立起線形目標函數(shù)的幾何意義,如求線形目標函數(shù) 在某個線形約束條件下的最大值時，將 變形為 （化成直線的斜截式），于是Z的最大值與 的縱截距 的最大值聯(lián)系起來顯然當(dāng)縱截距 最大時， 取得最大值，且在該線形約束條件確定的平面區(qū)域內(nèi)的每一個點的坐標 都唯一確定縱截距 當(dāng) 變化時， 表示一組與直線 平行的直線，在觀察中使學(xué)生發(fā)現(xiàn)直線 經(jīng)過可行域內(nèi)哪一個點 時，縱截距 最大,教學(xué)時，可先研究z=ax+by+c，b0的情形,再研究b0的情形.,適度的變式訓(xùn)練對形成解題技能是十分有效的,(2)求 的最大值與最小值 表示點 與平 面區(qū)域內(nèi)的點 連線的斜率的一半， 所以,要注意強化圖解法的操作程序,4. 解法1 設(shè)直線 的點斜式方程，分別與兩條已知直線方程聯(lián)立方程組，求出由 表示的