《誤差理論與測量平差基礎(chǔ)教學課件》第十九講

1、第六章 參數(shù)的區(qū)間估計和假設(shè)檢驗,以上各章所述平差方法，其參數(shù)的最優(yōu)線性無偏估計是基于觀測數(shù)據(jù)僅含偶然誤差和隨機模型正確為前提的。因此，一個完整的最優(yōu)的平差系統(tǒng)，除了采用最小二乘準則對平差參數(shù)進行最優(yōu)估計外，還要保證觀測數(shù)據(jù)的正確性和平差數(shù)學模型的精確性。后者要借助于數(shù)理統(tǒng)計的方法，對觀測數(shù)據(jù)和平差模型進行假設(shè)檢驗，這是保證平差系統(tǒng)質(zhì)量的一個組成部分。,學習本章內(nèi)容的目的：,第六章 參數(shù)的區(qū)間估計和假設(shè)檢驗,主要內(nèi)容：,隨機變量的函數(shù)分布,參數(shù)的區(qū)間估計,統(tǒng)計假設(shè)檢驗,第六章 參數(shù)的區(qū)間估計和假設(shè)檢驗,一、隨機變量的函數(shù)分布,1.服從正態(tài)分布的隨機變量,我們說x服從,的正態(tài)分布,第六章 參數(shù)的

2、區(qū)間估計和假設(shè)檢驗,一、隨機變量的函數(shù)分布,1.服從正態(tài)分布的隨機變量,第六章 參數(shù)的區(qū)間估計和假設(shè)檢驗,一、隨機變量的函數(shù)分布,1.服從正態(tài)分布的隨機變量,1)、,服從標準正態(tài)分布,如果,則,為正態(tài)分布的概率為a的側(cè)分位點,第六章 參數(shù)的區(qū)間估計和假設(shè)檢驗,一、隨機變量的函數(shù)分布,1.服從正態(tài)分布的隨機變量,1),服從標準正態(tài)分布,雙側(cè)分位,第六章 參數(shù)的區(qū)間估計和假設(shè)檢驗,一、隨機變量的函數(shù)分布,1.服從正態(tài)分布的隨機變量,2)、如果,于是,第六章 參數(shù)的區(qū)間估計和假設(shè)檢驗,一、隨機變量的函數(shù)分布,1.服從正態(tài)分布的隨機變量,2)、如果,于是，從總體x和y中抽取兩組子樣，則子樣 均值之差,

3、第六章 參數(shù)的區(qū)間估計和假設(shè)檢驗,一、隨機變量的函數(shù)分布,1.服從正態(tài)分布的隨機變量,為什么我們?nèi)绱岁P(guān)心正態(tài)分布？,第一、在相當寬的條件下，許多獨立隨機變量之和近似服從正態(tài)分布；變量個數(shù)趨于無窮大時，其總和就趨于正態(tài)分布。 第二、實用中，正態(tài)分布作為測量誤差的數(shù)學模型可以帶來計算上的便利，并且基本上是符合實際情況的。,第六章 參數(shù)的區(qū)間估計和假設(shè)檢驗,一、隨機變量的函數(shù)分布,2.服從 分布的隨機變量,服從標準正態(tài)分布,如果,服從標準正態(tài)分布的隨機變量的平方和。,v自由度，當v趨于無窮大時， 分 布趨于正態(tài)分布,第六章 參數(shù)的區(qū)間估計和假設(shè)檢驗,一、隨機變量的函數(shù)分布,2.服從 分布的隨機變量,

4、密度函數(shù),第六章 參數(shù)的區(qū)間估計和假設(shè)檢驗,一、隨機變量的函數(shù)分布,1.服從 分布的隨機變量,第六章 參數(shù)的區(qū)間估計和假設(shè)檢驗,一、隨機變量的函數(shù)分布,2.服從 分布的隨機變量,如果,第六章 參數(shù)的區(qū)間估計和假設(shè)檢驗,一、隨機變量的函數(shù)分布,3.服從t分布的隨機變量,設(shè)y為N（0，1），z為,變量，y、z統(tǒng)計獨立，則,唯一參數(shù)是自由度v,第六章 參數(shù)的區(qū)間估計和假設(shè)檢驗,一、隨機變量的函數(shù)分布,3.服從t分布的隨機變量,第六章 參數(shù)的區(qū)間估計和假設(shè)檢驗,統(tǒng)計量：設(shè)x1，x2，xn是來自總體X的一個樣本，g（ x1，x2，xn ）是x1，x2，xn的一個函數(shù)，且g中不含任何未知參數(shù)，稱g（ x1

5、，x2，xn ）是一個統(tǒng)計量。 常用的樣本方差和樣本均值都是統(tǒng)計量。,一、隨機變量的函數(shù)分布,4.抽樣分布與抽樣分布定理,第六章 參數(shù)的區(qū)間估計和假設(shè)檢驗,抽樣分布：統(tǒng)計量的分布 抽樣分布定理：設(shè)x1，x2，xn是來自總體 的一個樣本， 分別是樣本均值和樣本方差，于是,一、隨機變量的函數(shù)分布,4.抽樣分布與抽樣分布定理,第六章 參數(shù)的區(qū)間估計和假設(shè)檢驗,一、隨機變量的函數(shù)分布,4.抽樣分布與抽樣分布定理,獨立,和,（1）,（2）,（3）,（4）,第六章 參數(shù)的區(qū)間估計和假設(shè)檢驗,1）上述幾種分布均與正態(tài)分布有關(guān)系。從定義看，其它幾種分布都是正態(tài)分布的函數(shù)。而觀測值和偶然誤差服從正態(tài)分布，所以，

6、依據(jù)抽樣分布定理，我們可以得到觀測值某些函數(shù)的分布； 2）雖然各種分布都有其原始的定義，也都有具體的分布密度函數(shù)，但從實際來講，我們更需要知道的卻是，哪些統(tǒng)計量服從這些分布，以及從分布密度表中查取相應(yīng)密度值。 3)在抽樣定理中，采用測量平差符號，用L代替隨機變量x，而x代表L的真值，用中誤差m代替s。,一、隨機變量的函數(shù)分布,4.綜述,第六章 參數(shù)的區(qū)間估計和假設(shè)檢驗,二、參數(shù)的區(qū)間估計,1、參數(shù)估計的概念,區(qū)間估計：根據(jù)子樣觀測值對總體參數(shù)可能取值范 圍的一種估計，即總體參數(shù)以某種給定 的概率取值于多大區(qū)間內(nèi) 置信概率（置信度）：給定的概率 置信區(qū)間：根據(jù)置信度確定的區(qū)間 置信限：置信區(qū)間的

7、兩端點（子樣函數(shù)）,第六章 參數(shù)的區(qū)間估計和假設(shè)檢驗,二、參數(shù)的區(qū)間估計,1、參數(shù)估計的概念,置信度,置信區(qū)間,置信限,第六章 參數(shù)的區(qū)間估計和假設(shè)檢驗,二、參數(shù)的區(qū)間估計,1、參數(shù)估計的概念,1）為什么我們表示平差值及其精度時總寫成,2）極限誤差的確切含義又是什么？,3）我們可以得到的置信區(qū)間到底是誰的可能取值的范圍？,第六章 參數(shù)的區(qū)間估計和假設(shè)檢驗,二、參數(shù)的區(qū)間估計,2、統(tǒng)計量為正態(tài)分布的區(qū)間估計,1）根據(jù)總體均值u和方差 來估計單一觀測量 xi的置信區(qū)間,如果,則,第六章 參數(shù)的區(qū)間估計和假設(shè)檢驗,二、參數(shù)的區(qū)間估計,2、統(tǒng)計量為正態(tài)分布的區(qū)間估計,1）根據(jù)總體均值u和方差 來估計單

8、一觀測量 xi的置信區(qū)間,概率表達式,Xi的置信區(qū)間,第六章 參數(shù)的區(qū)間估計和假設(shè)檢驗,二、參數(shù)的區(qū)間估計,2、統(tǒng)計量為正態(tài)分布的區(qū)間估計,2）根據(jù)觀測值xi和方差 來估計總體均值u 的置信區(qū)間,概率表達式,u的置信區(qū)間,第六章 參數(shù)的區(qū)間估計和假設(shè)檢驗,二、參數(shù)的區(qū)間估計,2、統(tǒng)計量為正態(tài)分布的區(qū)間估計,3）根據(jù)樣本均值 和方差 ，估計總體均值的置信區(qū)間,設(shè)樣本均值,構(gòu)造統(tǒng)計量,第六章 參數(shù)的區(qū)間估計和假設(shè)檢驗,二、參數(shù)的區(qū)間估計,2、統(tǒng)計量為正態(tài)分布的區(qū)間估計,3）根據(jù)樣本均值 和方差 ，估計總體均值的置信區(qū)間,概率表達式,u的置信區(qū)間,第六章 參數(shù)的區(qū)間估計和假設(shè)檢驗,二、參數(shù)的區(qū)間估計

9、,2、統(tǒng)計量為正態(tài)分布的區(qū)間估計,3）根據(jù)總體均值u 和方差 ，估計樣本均值的置信區(qū)間,概率表達式,樣本均值的置信區(qū)間,第六章 參數(shù)的區(qū)間估計和假設(shè)檢驗,三、統(tǒng)計假設(shè)檢驗,1、假設(shè)檢驗概述,1) 統(tǒng)計假設(shè)檢驗和參數(shù)估計一起構(gòu)成數(shù)理統(tǒng)計的核心內(nèi)容推斷理論,參數(shù)估計理論解決由子樣確定總體分布參數(shù)問題；統(tǒng)計假設(shè)檢驗是依據(jù)子樣來推斷某些結(jié)論的可靠性和成立的條件等。 例如，正態(tài)總體的數(shù)學期望是否等于某已知的數(shù)值，正態(tài)總體的方差是否等于已知值，兩個正態(tài)總體的方差和數(shù)學期望是否相等。,第六章 參數(shù)的區(qū)間估計和假設(shè)檢驗,三、統(tǒng)計假設(shè)檢驗,1、假設(shè)檢驗概述,3) 統(tǒng)計假設(shè)檢驗的方法,第一、先做一個假設(shè)，稱為原假

10、設(shè)（零假設(shè)），記為H0； 第二，構(gòu)造適當且分布已知的統(tǒng)計量； 第三、根據(jù)一定的置信度，確定該統(tǒng)計量應(yīng)出現(xiàn)的區(qū)間，用子樣值計算該統(tǒng)計量的數(shù)值； 第四、如果此數(shù)值落入置信區(qū)間內(nèi)，原假設(shè)正確，接受原假設(shè)； 第五、否則，由于小概率事件一般不發(fā)生，拒絕原假設(shè)，接受備選假設(shè),第六章 參數(shù)的區(qū)間估計和假設(shè)檢驗,三、統(tǒng)計假設(shè)檢驗,1、假設(shè)檢驗概述,3) 統(tǒng)計假設(shè)檢驗的方法,例如，如果從正態(tài)總體中抽取容量為n的樣本，設(shè)總體方差已知，由抽樣分布定理知,標準化,第六章 參數(shù)的區(qū)間估計和假設(shè)檢驗,三、統(tǒng)計假設(shè)檢驗,1、假設(shè)檢驗概述,3) 統(tǒng)計假設(shè)檢驗的方法,上式中，假設(shè)方差已知，只有數(shù)學期望u未知。我們又知，如果樣本

11、來自于正態(tài)總體，就有,問題：上述總體均值u是否等于某一特定的數(shù)值u0,第六章 參數(shù)的區(qū)間估計和假設(shè)檢驗,三、統(tǒng)計假設(shè)檢驗,1、假設(shè)檢驗概述,3) 統(tǒng)計假設(shè)檢驗的方法,設(shè)H0：uu0；如果原假設(shè)成立，則一定有,如果樣本均值確實滿足不等式，我們沒有理由否定原假設(shè)。否則，在一次試驗中，小概率事件就發(fā)生了，我們就只能接受備選假設(shè)。,第六章 參數(shù)的區(qū)間估計和假設(shè)檢驗,三、統(tǒng)計假設(shè)檢驗,1、假設(shè)檢驗概述,3) 統(tǒng)計假設(shè)檢驗的方法,單尾檢驗,雙尾檢驗,第六章 參數(shù)的區(qū)間估計和假設(shè)檢驗,三、統(tǒng)計假設(shè)檢驗,2、u檢驗法,設(shè)從總體 抽取容量為n的子樣，則,對總體均值 u進行檢驗。這種服從正態(tài)分布的統(tǒng)計量稱為u變量

12、，所進行的檢驗方法稱u檢驗法。,第六章 參數(shù)的區(qū)間估計和假設(shè)檢驗,三、統(tǒng)計假設(shè)檢驗,2、u檢驗法,檢驗過程,雙尾檢驗：原假設(shè)和備選假設(shè),依雙尾檢驗,第六章 參數(shù)的區(qū)間估計和假設(shè)檢驗,三、統(tǒng)計假設(shè)檢驗,2、u檢驗法,檢驗過程,得接受域,：標準正態(tài)分布函數(shù)的雙側(cè)分位數(shù),a：雙尾處概率之和 。 檢驗u0的數(shù)值是否落于該區(qū)間,第六章 參數(shù)的區(qū)間估計和假設(shè)檢驗,三、統(tǒng)計假設(shè)檢驗,2、u檢驗法,檢驗過程,單尾檢驗（左尾）：原假設(shè)和備選假設(shè),依左尾檢驗,第六章 參數(shù)的區(qū)間估計和假設(shè)檢驗,三、統(tǒng)計假設(shè)檢驗,2、u檢驗法,檢驗過程,接受域,第六章 參數(shù)的區(qū)間估計和假設(shè)檢驗,三、統(tǒng)計假設(shè)檢驗,2、u檢驗法,檢驗過

13、程,單尾檢驗（右尾）：原假設(shè)和備選假設(shè),依右尾檢驗,第六章 參數(shù)的區(qū)間估計和假設(shè)檢驗,三、統(tǒng)計假設(shè)檢驗,2、u檢驗法,檢驗過程,接受域,：標準正態(tài)分布函數(shù)的上側(cè)分位數(shù),a：右尾處概率,第六章 參數(shù)的區(qū)間估計和假設(shè)檢驗,三、統(tǒng)計假設(shè)檢驗,2、u檢驗法,u檢驗要求,1）,2）方差已知,說明：要滿足上述兩個條件，均要求子樣容量很大，一般情況下，當n200時，以中誤差代替方差、以及均值滿足正態(tài)分布的假設(shè)可以認為是嚴密的，當n30時，檢驗結(jié)果近似可信。容量小于30時，采用t檢驗法,第六章 參數(shù)的區(qū)間估計和假設(shè)檢驗,三、統(tǒng)計假設(shè)檢驗,2、t檢驗法,作用：主要用于檢驗總體和子樣均值,統(tǒng)計量,對于u檢驗，以子樣均方差代替總體方差，構(gòu)成t檢驗統(tǒng)計量。此法常用于小樣本檢驗。,第六章 參數(shù)的區(qū)間估計和假設(shè)檢驗,三、統(tǒng)計假設(shè)檢驗,3、例,某三角網(wǎng)中421個三角形閉合差的平均值0.04秒，已知閉合差的均方差為0.62秒，問該閉合差的數(shù)學期望是否為0？,解：根據(jù)已知條件,我們知道如果三角形閉合差中僅含偶然誤差，則u0，原假設(shè)和備選假設(shè)： H0：u0 ； H1：u 0,第六章 參數(shù)的區(qū)間估計和假設(shè)檢驗,三、統(tǒng)計假設(shè)檢驗,3、例,構(gòu)造統(tǒng)計量,帶入