全國(guó)版高考數(shù)學(xué)第五章數(shù)列5.1數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法課件理.pptx

1、第五章數(shù)列 第一節(jié)數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法,【知識(shí)梳理】 1.數(shù)列的有關(guān)概念,一定順序,每一個(gè)數(shù),an=f(n),a1+a2+an,2.數(shù)列的表示方法,(n,an),公式,3.an與Sn的關(guān)系 若數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn, 則,S1,Sn-Sn-1,4.數(shù)列的分類(lèi),有限,無(wú)限,【特別提醒】 1.數(shù)列的項(xiàng)與項(xiàng)數(shù):數(shù)列的項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)是兩個(gè)不同的概念,數(shù)列的項(xiàng)是指數(shù)列中某一確定的數(shù),而項(xiàng)數(shù)是指數(shù)列的項(xiàng)對(duì)應(yīng)的位置序號(hào).,2.常見(jiàn)數(shù)列的通項(xiàng)公式: 自然數(shù)列:1,2,3,4,an=n; 奇數(shù)列:1,3,5,7,an=2n-1; 偶數(shù)列:2,4,6,8,an=2n; 平方數(shù)列:1,4,9,16,an=n2; 2的

2、乘方數(shù)列:2,4,8,16,an=2n;,正整數(shù)的倒數(shù)列: 重復(fù)數(shù)串列:9,99,999,9 999,an=10n-1; 符號(hào)數(shù)列:-1,1,-1,1,或1,-1,1,-1,an=(-1)n或an=(-1)n+1.,【小題快練】 鏈接教材練一練 1.(必修5P31例3改編)在數(shù)列an中,a1=1,an=1+ (n2),則a4=() 【解析】選B.由題意知，a1=1，a2=2，,2.(必修5P31練習(xí)T4(1)改編)數(shù)列 的一個(gè)通項(xiàng)公式an是_. 【解析】由已知得,數(shù)列可寫(xiě)成 故通項(xiàng)為 答案:,感悟考題試一試 3.(2016石家莊模擬)把1,3,6,10,15,21,這些數(shù)叫做三角形數(shù),這是因?yàn)?/p>

3、以這些數(shù)目的點(diǎn)可以排成一個(gè)正三角形(如圖).,則第7個(gè)三角形數(shù)是() A.27B.28C.29D.30 【解析】選B.由圖可知,第7個(gè)三角形數(shù)是1+2+3+4+5 +6+7=28.,4.(2016成都模擬)已知數(shù)列an滿足a1=0,an+1= nN*,則a2015等于(),【解析】選B.根據(jù)題意,由于數(shù)列an滿足a1=0,an+1= 那么可知a1=0, 故可知數(shù)列的周期為3,那么可知a2 015=a2=,5.(2016九江模擬)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn, a1=1,a2=2,且對(duì)于任意n1,nN*,滿足Sn+1+Sn-1 =2(Sn+1),則S10的值為() A.91B.90C.55D.5

4、4,【解析】選A.當(dāng)n=2時(shí),S3+S1=2(S2+1),即3+a3+1=24, 解得a3=4;當(dāng)n1,nN*時(shí),Sn+1+Sn-1=2(Sn+1),Sn+2+Sn =2(Sn+1+1),兩式相減得an+2+an=2an+1,故數(shù)列an從第 二項(xiàng)起是首項(xiàng)為2,公差為2的等差數(shù)列,所以S10=1+2 9+ 2=91.,考向一已知數(shù)列的前幾項(xiàng)求通項(xiàng) 【典例1】(1)(2016太原模擬)已知數(shù)列 根據(jù)前三項(xiàng)給出的規(guī)律, 則實(shí)數(shù)對(duì)(a,b)可能是(),(2)根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng),寫(xiě)出下列各數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng) 公式. 3,5,9,17,33,【解題導(dǎo)引】(1)根據(jù)前幾項(xiàng)規(guī)律寫(xiě)出其通項(xiàng)公式后再列方程組求解. (2

5、)觀察項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)之間的關(guān)系,項(xiàng)與前后項(xiàng)之間的關(guān)系,分子與分母的關(guān)系以及符號(hào)規(guī)律.,【規(guī)范解答】(1)選C.由前三項(xiàng)可知,該數(shù)列的通項(xiàng)公 式可能為an= 所以 即,(2)觀察各項(xiàng)的特點(diǎn):每一項(xiàng)都比2的n次冪多1,所以 an=2n+1. 數(shù)列的符號(hào)規(guī)律為(-1)n,由第二、三、四項(xiàng)特點(diǎn),可 將第一項(xiàng)看成 這樣,先不考慮符號(hào),則分母為3,5, 7,9,可歸納為2n+1,分子為3,8,15,24,將其每一項(xiàng),加1后變成4,9,16,25,可歸納為(n+1)2,綜上,數(shù)列的 通項(xiàng)公式an=,把數(shù)列改寫(xiě)成 分母依次為 1,2,3,而分子1,0,1,0,周期性出現(xiàn),因此數(shù)列 的通項(xiàng)可表示為,將數(shù)列統(tǒng)一為 對(duì)于

6、分子3,5,7,9, 是序號(hào)的2倍加1, 可得分子的通項(xiàng)公式為bn=2n+1,對(duì)于分母2,5,10,17, 聯(lián)想到數(shù)列1,4,9,16,即數(shù)列n2,可得分母的通 項(xiàng)公式為cn=n2+1, 所以可得它的一個(gè)通項(xiàng)公式為an=,【規(guī)律方法】由前幾項(xiàng)歸納數(shù)列通項(xiàng)公式的常用方法及具體策略 (1)常用方法:觀察(觀察規(guī)律)、比較(比較已知數(shù)列)、歸納、轉(zhuǎn)化(轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列)、聯(lián)想(聯(lián)想常見(jiàn)的數(shù)列)等.,(2)具體策略: 分式中分子、分母的特征; 相鄰項(xiàng)的變化特征; 拆項(xiàng)后的特征; 各項(xiàng)的符號(hào)特征和絕對(duì)值特征;,化異為同.對(duì)于分式還可以考慮對(duì)分子、分母各個(gè) 擊破,或?qū)ふ曳肿?、分母之間的關(guān)系; 對(duì)于符號(hào)交替出

7、現(xiàn)的情況,可用(-1)k或(-1)k+1, kN*處理.,【變式訓(xùn)練】1.如圖所示,這是一個(gè)正六邊形的序列,則第n個(gè)圖形的邊數(shù)為() A.5n-1B.6n C.5n+1D.4n+2,【解析】選C.第一個(gè)圖形是六邊形,即a1=6,以后每個(gè)圖形是在前一個(gè)圖形的基礎(chǔ)上增加5條邊,所以a2=6+5=11,a3=11+5=16,觀察可得選項(xiàng)C滿足此條件.,2.傳說(shuō)古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家經(jīng)常在沙灘上畫(huà)點(diǎn)或用小石子表示數(shù).他們研究過(guò)如圖所示的三角形數(shù):,將三角形數(shù)1,3,6,10,記為數(shù)列an,將可被5整除的三角形數(shù)按從小到大的順序組成一個(gè)新數(shù)列bn,可以推測(cè): (1)b2 012是數(shù)列an中的第_項(xiàng)

8、. (2)b2k-1=_.(用k表示),【解析】由以上規(guī)律可知三角形數(shù)1,3,6,10,的一個(gè) 通項(xiàng)公式為an= 寫(xiě)出其若干項(xiàng)有:1,3,6,10,15, 21,28,36,45,55,66,78,91,105,120,發(fā)現(xiàn)其中能被5 整除的為10,15,45,55,105,120,故b1=a4,b2=a5,b3=a9, b4=a10,b5=a14,b6=a15.,從而由上述規(guī)律可猜想: b2k=a5k= (k為正整數(shù)), b2k-1=a5k-1= 故b2 012=b21 006=a51 006=a5 030,即b2 012是數(shù)列an 中的第5 030項(xiàng). 答案:(1)5 030(2),【加固

9、訓(xùn)練】 1.數(shù)列 則 是該數(shù)列的() A.第6項(xiàng)B.第7項(xiàng) C.第10項(xiàng)D.第11項(xiàng) 【解析】選B.原數(shù)列可寫(xiě)成 因?yàn)?所以20=2+(n-1)3,所以n=7.,2.根據(jù)下圖5個(gè)圖形及相應(yīng)點(diǎn)的個(gè)數(shù)的變化規(guī)律,猜測(cè)第n個(gè)圖中有_個(gè)點(diǎn).,【解析】觀察圖中5個(gè)圖形點(diǎn)的個(gè)數(shù)分別為1,12+1, 23+1,34+1,45+1,故第n個(gè)圖中點(diǎn)的個(gè)數(shù)為(n-1) n+1=n2-n+1. 答案:n2-n+1,3.寫(xiě)出下列數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式: (1)0.6,0.66,0.666,【解析】(1)數(shù)列變?yōu)?(2)各項(xiàng)的分母分別為21,22,23,24,易看出第2,3,4 項(xiàng)的分子分別比分母小3. 因此把第1項(xiàng)變?yōu)?

10、原數(shù)列化為 故an=,(3)分子是連續(xù)的偶數(shù),且第1個(gè)數(shù)是2,所以用2n表示; 分母是22-1,42-1,62-1,82-1,102-1,所以用(2n)2-1表示. 所以an=,(4)正負(fù)交替出現(xiàn),且奇數(shù)項(xiàng)為負(fù),偶數(shù)項(xiàng)為正,所以用 (-1)n表示.,分母是連續(xù)奇數(shù)相乘的形式,觀察和項(xiàng)數(shù)n的關(guān)系,用 (2n-1)(2n+1)表示. 分子是21+1,22+1,23+1,24+1,用2n+1表示.所以an=,考向二已知遞推關(guān)系求通項(xiàng) 【典例2】(1)(2016長(zhǎng)沙模擬)已知 數(shù)列an滿足:a1=2,(n+1)an=(n-1)an-1 (n2,nN*),則 =_,數(shù)列an的通項(xiàng) 公式為_(kāi). (2)已知

11、數(shù)列an滿足a1=1,an+1=3an+2,則an=_.,【解題導(dǎo)引】(1)把已知轉(zhuǎn)化為 利用累乘法求解. (2)化為an+1+m=p(an+m)構(gòu)造an+m為等比數(shù)列.,【規(guī)范解答】(1)a1=2,當(dāng)n=2時(shí), 當(dāng)n=3時(shí), 所以 利用累乘法得: 所以an= 答案:,(2)因?yàn)閍n+1=3an+2, 所以an+1+1=3(an+1), 所以 所以數(shù)列an+1為等比數(shù)列,公比q=3, 又a1+1=2,所以an+1=23n-1, 所以an=23n-1-1. 答案:23n-1-1,【母題變式】 1.若本例題(2)條件an+1=3an+2變?yōu)閍n+1=3an+3n+1,求an. 【解析】因?yàn)閍n+1

12、=3an+3n+1,所以 所以數(shù)列 是以 為首項(xiàng),1為公差的等差數(shù)列. 所以 所以an=n3n-23n-1.,2.若本例題(2)條件an+1=3an+2變?yōu)閍n+1=9an+23n+1, 求an. 【解析】因?yàn)閍n+1=9an+23n+1, 所以 所以,所以數(shù)列 是以 為首項(xiàng),3為公比的等比數(shù)列. 所以 所以an=432n-2-3n.,【規(guī)律方法】典型的遞推數(shù)列及處理方法,【變式訓(xùn)練】在數(shù)列an中,an+1=3an2,a1=3,則an= _. 【解析】由已知,an0,在遞推關(guān)系式兩邊取對(duì)數(shù), 有l(wèi)gan+1=2lgan+lg3. 令bn=lgan,則bn+1=2bn+lg3. 所以bn+1+l

13、g3=2(bn+lg3),所以bn+lg3是等比數(shù)列. 所以bn+lg3=2n-12lg3=2nlg3. 所以bn=2nlg3-lg3=(2n-1)lg3=lgan. 所以an=32n-1. 答案: 32n-1,【加固訓(xùn)練】 1.在數(shù)列1,1,2,3,5,8,13,x,34,55,中,x應(yīng)取() A.19B.20 C.21D.22 【解析】選C.a1=1,a2=1,an+2=an+1+an,所以x=8+13=21.,2.在數(shù)列an中,a1=2,an+1=an+ 則an等于 () A.2+ln nB.2+(n-1)ln n C.2+nln nD.1+n+ln n,【解析】選A.由已知,an+1-

14、an= a1=2, 所以an-an-1= (n2), an-1-an-2= a2-a1=,將以上n-1個(gè)式子疊加,得 =lnn(n2). 所以an=2+lnn(n2), 經(jīng)檢驗(yàn)n=1時(shí)也適合.,3.設(shè)數(shù)列an滿足 求an. 【解析】因?yàn)閍n+1= 所以 所以,又 所以 是以 為首項(xiàng), 為公比的等比數(shù)列, 所以 所以an=,考向三an與Sn關(guān)系式的應(yīng)用 【考情快遞】,【考題例析】 命題方向1:已知Sn求an問(wèn)題 【典例3】(2016德陽(yáng)模擬)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=3n2-2n+1,則其通項(xiàng)公式為_(kāi). 【解題導(dǎo)引】分n=1與n2兩種情況求解.,【規(guī)范解答】當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=312-21

15、+1=2, 當(dāng)n2時(shí),an=Sn-Sn-1=3n2-2n+1-3(n-1)2-2(n-1)+1 =6n-5,顯然當(dāng)n=1時(shí),不滿足上式. 故數(shù)列的通項(xiàng)公式為an= 答案:an=,【易錯(cuò)警示】解答典例3會(huì)出現(xiàn)以下錯(cuò)誤: 直接由an=Sn-Sn-1求出通項(xiàng)公式,忽略了n=1時(shí)的情況而致誤.,【母題變式】 1.若本例中條件“前n項(xiàng)和Sn=3n2-2n+1”改為“前n項(xiàng)積為T(mén)n=3n2-2n+1”,求an.,【解析】當(dāng)n=1時(shí),a1=T1=312-21+1=2, 當(dāng)n2時(shí),an= 顯然當(dāng)n=1時(shí),滿足上式. 故數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=,2.若本例中條件“前n項(xiàng)和Sn=3n2-2n+1”改為 “a1+2a

16、2+3a3+4a4+nan=3n2-2n+1”,求an. 【解析】設(shè)a1+2a2+3a3+4a4+nan=Tn, 當(dāng)n=1時(shí),a1=T1=312-21+1=2, 當(dāng)n2時(shí),nan=Tn-Tn-1=3n2-2n+1-3(n-1)2-2(n-1)+1 =6n-5,因此an=,顯然當(dāng)n=1時(shí),不滿足上式. 故數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=,命題方向2:Sn與an的關(guān)系問(wèn)題 【典例4】(2015全國(guó)卷)設(shè)Sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)和,且a1=-1,an+1=SnSn+1,則Sn=_. 【解題導(dǎo)引】將an+1轉(zhuǎn)化為Sn與Sn+1,再求解.,【規(guī)范解答】由已知得an+1=Sn+1-Sn=Sn+1Sn,兩邊同時(shí) 除以-

17、Sn+1Sn,得 故數(shù)列 是以-1為首 項(xiàng),-1為公差的等差數(shù)列, 則 =-1-(n-1)=-n,所以Sn= 答案:,【技法感悟】 1.已知Sn求an的三個(gè)步驟 (1)先利用a1=S1求出a1. (2)用n-1替換Sn中的n得到一個(gè)新的關(guān)系,利用an=Sn-Sn-1(n2)便可求出當(dāng)n2時(shí)an的表達(dá)式.,(3)對(duì)n=1時(shí)的結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn),看是否符合n2時(shí)an的表達(dá)式,如果符合,則可以把數(shù)列的通項(xiàng)公式合寫(xiě);如果不符合,則應(yīng)該分n=1與n2兩段來(lái)寫(xiě).,2.Sn與an關(guān)系問(wèn)題的求解思路 根據(jù)所求結(jié)果的不同要求,將問(wèn)題向不同的兩個(gè)方向轉(zhuǎn)化, (1)利用an=Sn-Sn-1(n2)轉(zhuǎn)化為只含Sn,Sn-1

18、的關(guān)系式,(2)利用Sn-Sn-1=an(n2)轉(zhuǎn)化為只含an,an-1的關(guān)系式,再求解.,【題組通關(guān)】 1.(2016衡水模擬)設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=n2,則a8的值為() A.15B.16C.49D.64 【解析】選A.a8=S8-S7=82-72=15.,2.(2016唐山模擬)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn, a1=1,Sn=2an+1,則Sn=(),【解析】選B.因?yàn)镾n=2an+1,所以當(dāng)n2時(shí),Sn-1=2an, 所以an=Sn-Sn-1=2an+1-2an(n2), 即 (n2), 又a2= 所以an=,當(dāng)n=1時(shí),a1=1 所以an= 所以Sn=2an+1=,3.(2016衡陽(yáng)模擬)若數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn= 則an的通項(xiàng)公式是an=_.,【解析】當(dāng)n=1時(shí),由已知Sn= 得a1= 即a1=1;當(dāng)n2時(shí),由已知得到Sn-1= 所以an=Sn- Sn-1= 所以an=-2an-1, 所以數(shù)列an為以1為首項(xiàng),以-2為公比的等比數(shù)列, 所以an=(-2)n-1. 答案:(-2