向量組的極大線性無關(guān)組.ppt

1、,3.4 向量組的極大線性無關(guān)組,一、極大線性無關(guān)組的概念,上一節(jié)討論了向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān)的概念，其,中線性無關(guān)也稱為線性獨立。,系數(shù)及右端項構(gòu)成行向量，則線性相關(guān)與線性無關(guān)的概念實,反映了線性方程組中各個方程是否關(guān)聯(lián)或是否獨立。,本節(jié)將討論如果一個給定的向量組線性相關(guān)，那么，,(1) 該向量組中到底有多少個向量是獨立的？,(2) 具體哪些向量是獨立的？,(3) 其余的向量是如何由這些獨立向量組合出來的？,如果以線性方程組中各方程的,一、極大線性無關(guān)組的概念,定義,如果向量組 中的一個部分組,滿足:,(1) 線性無關(guān)；,(2) 向量組 中的每一個向量都可由,線性表示，,(即在 中再加一

2、個向量就相關(guān).),則稱 為 的(一個)極大線性,無關(guān)組。,則 是一個極大線性無關(guān)組；,等都是極大線性無關(guān)組。,由此可見，一個向量組的極大線性無關(guān)組不是惟一的。,需要討論的問題,(1) 一個向量組中各極大線性無關(guān)組的向量個數(shù)是否惟一？,(2) 如何求出向量組的一個極大線性無關(guān)組？,如何將其余的向量表示為極大線性無關(guān)組的線性組合？,設(shè)有兩個向量組,1. 向量組之間的線性表示,定義,若向量組()中的每個向量都能由向量組(I)線性表示，,則稱向量組()能由向量組(I)線性表示。,二、向量組的秩,若記,即有,其中 n 為向量的維數(shù)。,則所謂的向量組()能由向量組(I)線性表示意味著,1. 向量組之間的線

3、性表示,二、向量組的秩,1. 向量組之間的線性表示,二、向量組的秩,則有,1. 向量組之間的線性表示,定理,設(shè)向量組 可由 線性表示，,二、向量組的秩,換句話說，若 線性無關(guān)，則,上述定理的直觀解釋,（僅以 為例）,(1) 設(shè)由兩個向量 構(gòu)成的向量組，通過線性組合得到,三個向量,顯然，即使 是線性獨立的，也不可能線性組合出,三個性線獨立的向量；,更何況 本身可能是,線性相關(guān)的。,因此，向量組 必然是線性相關(guān)的。,(2) 特別地，若 “代表” 某方程組中的兩個方程，,顯然，通過線性組合不可能得到更多的獨立方程。,1. 向量組之間的線性表示,2. 向量組之間的等價,定義,若向量組 與向量組 能夠相

4、互,線性表示 ，,此時, 若記,其中 n 為向量的維數(shù)。,則存在矩陣 和 使得,二、向量組的秩,則稱這兩個向量組等價。,1. 向量組之間的線性表示,二、向量組的秩,性質(zhì),(1) 反身性，,(2) 對稱性，,(3) 傳遞性，,即向量組自己與自己等價；,2. 向量組之間的等價,1. 向量組之間的線性表示,二、向量組的秩,定理,兩個等價的向量組中各自的極大線性無關(guān)組所含的向量,2. 向量組之間的等價,個數(shù)相等。,證明,1. 向量組之間的線性表示,二、向量組的秩,定理,兩個等價的向量組中各自的極大線性無關(guān)組所含的向量,2. 向量組之間的等價,個數(shù)相等。,證明,即 可由 線性表示，,因此,同理,即得,且

5、 線性無關(guān)，,1. 向量組之間的線性表示,二、向量組的秩,推論,(1) 若兩個線性無關(guān)的向量組等價，則它們所含的向量,2. 向量組之間的等價,個數(shù)相等。,(2) 在一個給定的向量組中，各個極大線性無關(guān)組所含,的向量個數(shù)相等。,組的向量個數(shù)是惟一的。,即一個向量組中各極大線性無關(guān),1. 向量組之間的線性表示,2. 向量組之間的等價,二、向量組的秩,定義,一個向量組中的極大線性無關(guān)組所含的向量個數(shù)稱為,3. 向量組的秩,向量組的秩。,1. 向量組之間的線性表示,2. 向量組之間的等價,3. 向量組的秩,二、向量組的秩,4. 向量組的秩與矩陣秩的關(guān)系,4. 向量組的秩與矩陣秩的關(guān)系,二、向量組的秩,

6、通常說，矩陣的秩等于行秩等于列秩,此定理給出了一種求向量組的秩的方法。,證明,(1) 首先證明一個引理：,其中,可逆矩陣 P 和 使得,事實上，對于矩陣,下面利用反證法證明,一定存在,假設(shè) 則有,0,由 Q 可逆，有 不全為零，,這與 線性無關(guān)矛盾，因此引理成立。,證明,(1) 首先證明一個引理：,可逆矩陣 P 和 使得,若列向量 線性無關(guān)，,則存在,0,0,證明,它的一個極大線性無關(guān)組為,則存在可逆,0,(2) 設(shè)由矩陣 A 的列構(gòu)成的向量組 的秩為 s，,對矩陣 根據(jù)引理一定存在可逆陣 和 使得,矩陣 R，使得,即得,的秩 .,進一步有,的秩 .,4. 向量組的秩與矩陣秩的關(guān)系,二、向量組

7、的秩,推論,設(shè) A 為 mn 階矩陣，且 則有,(1) 當 r = m 時，A 的行向量線性無關(guān)，,當 r m 時，A 的行向量線性相關(guān)；,(2) 當 r = n 時，A 的列向量線性無關(guān)，,當 r n 時，A 的列向量線性相關(guān)；,特別地，方陣 A 的行(列)向量線性無關(guān)的充要條件,是,三、如何求向量組的極大無關(guān)組及線性組合關(guān)系,首先介紹幾個引例，用來掌握在什么情況下，可以非常,容易地知道一個列向量組的秩、極大線性無關(guān)組以及它,們之間的線性組合關(guān)系。,引例1,(1) 向量組的秩為 2;,(2) 極大線性無關(guān)組為,(3) 組合關(guān)系,引例2,(1) 向量組的秩為 2;,(2) 極大線性無關(guān)組為,(

8、3) 組合關(guān)系,(1) 向量組的秩為 3;,(2) 極大線性無關(guān)組為,引例3,(3) 組合關(guān)系,三、如何求向量組的極大無關(guān)組及線性組合關(guān)系,1. 原理,矩陣 B 的列向量有相同的線性組合關(guān)系。,則存在可逆矩陣 P，使得,即方程 與 同解，,故 與 有相同的線性組合關(guān)系。,則矩陣 A 的列向量與,三、如何求向量組的極大無關(guān)組及線性組合關(guān)系,1. 原理,2. 方法,(1) 無論所給的向量組是行向量還是列向量，都按照列向量,排列，并構(gòu)成矩陣 A ；,(2) 對矩陣 A 進行初等行變換得到行標準形矩陣 B ；,(3) 根據(jù)矩陣 B 的秩及其列向量的線性組合關(guān)系，直接得出,原向量組的秩、極大線性無關(guān)組以及線性組合關(guān)系。,解,(1) 向量組的秩為 2;,(2) 極大線性無關(guān)組為,(3) 線性組合關(guān)系為,解,由于極大線性無關(guān)組是不惟一的，因此可