2011考研數(shù)學(xué)一真題及答案解析

1、2011年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)一試題一、選擇題：18小題，每小題4分，共32分，下列每題給出的四個選項中，只有一個選項符合題目要求，請將所選項前的字母填在答題紙指定位置上(1) 曲線的拐點是( )(A) (B) (C) (D) (2) 設(shè)數(shù)列單調(diào)減少， 無界，則冪級數(shù)的收斂域為( )(A) (B) (C) (D) (3) 設(shè)函數(shù)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，則函數(shù)在點處取得極小值的一個充分條件是( ) (A) ， (B) ，(C) ， (D) ，(4) 設(shè)，則的大小關(guān)系是( ) (A) (B) (C) (D) (5) 設(shè)為3階矩陣，將的第2列加到第1列得矩陣，再交換的第2行與第3行得單位矩陣

2、，記，則( ) (A) (B) (C) (D) (6) 設(shè)是4階矩陣，為的伴隨矩陣，若是方程組的一個基礎(chǔ)解系，則的基礎(chǔ)解系可為( )(A) (B) (C) (D) (7) 設(shè)，為兩個分布函數(shù)，其相應(yīng)的概率密度，是連續(xù)函數(shù)，則必為概率密度的是( )(A) (B)(C) (D)(8) 設(shè)隨機變量與相互獨立，且與存在，記，則( )(A) (B)(C) (D)二、填空題：914小題，每小題4分，共24分，請將答案寫在答題紙指定位置上(9) 曲線的弧長 (10) 微分方程滿足條件的解為 (11) 設(shè)函數(shù)，則 (12) 設(shè)是柱面方程與平面的交線，從軸正向往軸負向看去為逆時針方向，則曲線積分 (13) 若二

3、次曲面的方程，經(jīng)過正交變換化為，則 (14) 設(shè)二維隨機變量服從正態(tài)分布，則= 三、解答題：1523小題，共94分請將解答寫在答題紙指定的位置上解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟(15)(本題滿分10分)求極限(16)(本題滿分9分)設(shè)函數(shù)，其中函數(shù)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，函數(shù)可導(dǎo)且在處取得極值，求(17)(本題滿分10分)求方程不同實根的個數(shù)，其中k為參數(shù)(18)(本題滿分10分)()證明：對任意的正整數(shù)n，都有 成立()設(shè)，證明數(shù)列收斂 (19)(本題滿分11分)已知函數(shù)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且，其中，計算二重積分(20)(本題滿分11分)設(shè)向量組，不能由向量組，線性表示 (I) 求的值；(

4、II) 將由線性表示(21)(本題滿分11分)為三階實對稱矩陣，的秩為2，即，且(I) 求的特征值與特征向量；(II) 求矩陣(22)(本題滿分11分)設(shè)隨機變量與的概率分布分別為1且(I) 求二維隨機變量的概率分布；(II) 求的概率分布；(III) 求與的相關(guān)系數(shù)（23）（本題滿分 11分）設(shè)為來自正態(tài)總體的簡單隨機樣本，其中已知，未知和分別表示樣本均值和樣本方差(I) 求參數(shù)的最大似然估計量；(II) 計算和2011年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)一試題答案一、選擇題：18小題，每小題4分，共32分，下列每題給出的四個選項中，只有一個選項符合題目要求，請將所選項前的字母填在答題紙指定位置

5、上(1)【答案】(C)【解析】記，其中，在兩側(cè)，二階導(dǎo)數(shù)符號變化，故選(C)(2)【答案】(C)【解析】觀察選項：(A)，(B)，(C)，(D)四個選項的收斂半徑均為1，冪級數(shù)收斂區(qū)間的中心在處，故(A)，(B)錯誤；因為單調(diào)減少，所以，所以為正項級數(shù)，將代入冪級數(shù)得，而已知Sn=無界，故原冪級數(shù)在處發(fā)散，(D)不正確當(dāng)時，交錯級數(shù)滿足萊布尼茨判別法收斂，故時收斂故正確答案為(C)(3)【答案】(A)【解析】,故,又故(4)【答案】(B)【解析】因為時， ，又因是單調(diào)遞增的函數(shù)，所以故正確答案為(B)(5)【答案】 (D)【解析】由于將的第2列加到第1列得矩陣，故，即，由于交換的第2行和第3行

6、得單位矩陣，故，即故因此，故選(D)(6)【答案】(D)【解析】由于是方程組的一個基礎(chǔ)解系，所以，且，即，且由此可得，即，這說明是的解由于，所以線性無關(guān)又由于，所以，因此的基礎(chǔ)解系中含有個線性無關(guān)的解向量而線性無關(guān)，且為的解，所以可作為的基礎(chǔ)解系，故選(D)(7)【答案】(D)【解析】選項(D) 所以為概率密度 (8)【答案】(B)【解析】因為 所以，于是 二、填空題：914小題，每小題4分，共24分，請將答案寫在答題紙指定位置上(9)【答案】【解析】選取為參數(shù)，則弧微元所以(10)【答案】【解析】由通解公式得 由于故=0所以(11)【答案】4【解析】，故 (12)【答案】【解析】取，取上側(cè)，

7、則由斯托克斯公式得，原式=因由轉(zhuǎn)換投影法得(13)【答案】【解析】由于二次型通過正交變換所得到的標(biāo)準形前面的系數(shù)為二次型對應(yīng)矩陣的特征值，故的特征值為0，1，4二次型所對應(yīng)的矩陣，由于，故(14)【答案】【解析】根據(jù)題意，二維隨機變量服從因為，所以由二維正態(tài)分布的性質(zhì)知隨機變量獨立，所以從而有三、解答題：1523小題，共94分請將解答寫在答題紙指定的位置上解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟(15)(本題滿分10分)【解析】(16)(本題滿分9分)【解析】因為在可導(dǎo)，且為極值,所以，則(17)(本題滿分10分)【解析】顯然為方程一個實根當(dāng)時，令 令，即又因為，即當(dāng)時，； 當(dāng)時，當(dāng)時，；當(dāng)時，

8、所以當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增又由， ，所以當(dāng)時，由零點定理可知在，內(nèi)各有一個零點； 當(dāng)時，則在，內(nèi)均無零點綜上所述，當(dāng)時，原方程有三個根當(dāng)時，原方程有一個根(18)(本題滿分10分)【解析】()設(shè)顯然在上滿足拉格朗日的條件，所以時，即：，亦即：結(jié)論得證（II）設(shè)先證數(shù)列單調(diào)遞減，利用（I）的結(jié)論可以得到，所以得到，即數(shù)列單調(diào)遞減再證數(shù)列有下界，得到數(shù)列有下界利用單調(diào)遞減數(shù)列且有下界得到收斂(19)(本題滿分11分)【解析】因為，所以(20)(本題滿分11分)【解析】(I)由于不能由線性表示，對進行初等行變換：當(dāng)時，此時，不能由線性表示，故不能由線性表示(II)對進行初等行變換：，故，(21)(本題滿分11分)【解析】(I)由于，設(shè)，則，即，而，知的特征值為，對應(yīng)的特征向量分別為，由于，故，所以由于是三階實對稱矩陣，故不同特征值對應(yīng)的特征向量相互正交，設(shè)對應(yīng)的特征向量為，則 即解此方程組，得，故對應(yīng)的特征向量為(II) 由于不同特征值對應(yīng)的特征向量已經(jīng)正交，只需單位化：令，則， （22）（本題滿分11分）【解析】(I)因為，所以 即 利用邊緣概率和聯(lián)合概率的關(guān)系得到；-10101/30101/301/3即的概率分布為(II)的所有可能取值