高中數(shù)學(xué) 第三講 柯西不等式與排序不等式 3.3 排序不等式素材2 新人教A版選修4-5（通用）

1、3.3 排序不等式庖丁巧解牛知識(shí)巧學(xué) 排序不等式Sequence Inequality(又稱排序原理)(1)排序原理的內(nèi)容：設(shè)有數(shù)組A：a1a2an，及數(shù)組B：b1b2bn.稱a1b1+a2b2+anbn為順序和，a1bn+a2bn-1+a3bn-2+anb1為倒序和，a1c1+a2c2+ancn為亂序和(其中c1,c2,cn是b1b2bn的一個(gè)排列).則有： 順序和亂序和倒序和，其中等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=an或b1=b2=bn時(shí)成立. 記憶要訣 以S=表示順序和，以表示倒序和，以S1=表示亂序和（其中，c1，c2,cn是b1b2bn的任一排列）,則有S1S.(2)排序原理的本質(zhì)含義： 兩實(shí)

2、數(shù)序列同方向單調(diào)（同時(shí)增或同時(shí)減）時(shí)所得兩兩乘積之和最大，反方向單調(diào)（一增一減）時(shí)所得兩兩乘積之和最小，注意等號(hào)成立條件是其中一序列為常數(shù)序列. 學(xué)法一得 由排序原理，我們可以得到這樣一個(gè)推論：對(duì)于實(shí)數(shù)，a1,a2,an,設(shè)ai1,ai2,ain為其任一個(gè)排列,則有a1ai1+a2ai2+anaina12+a22+an2.證明：不妨設(shè)滿足a1a2an,取bk=ak(k=1,2，,n),因此b1b2bn,且a1,a2,an是b1,b2,bn的一個(gè)排列,由排序原理知,a1+a2+ana1b1+a2b2+anbn=a12+a22+an2.(3)排序原理的意義： 在解各種涉及到若干個(gè)可以比較大小的對(duì)象

3、（如實(shí)數(shù)、線段、角度等）a1,a2,an的數(shù)學(xué)問題時(shí)，如果根據(jù)對(duì)稱性，假定它們按一定的順序排列起來，往往能使問題迎刃而解.這就是數(shù)學(xué)中的排序思想. 聯(lián)想發(fā)散 根據(jù)排序原理的定義，在處理積問題時(shí)，有時(shí)我們可以通過“逐步調(diào)整”的方法，使最后的積總的最大.而且所進(jìn)行操作的步驟是有限的. 排序原理的思想：在解答數(shù)學(xué)問題時(shí)常常涉及到一些可以比較大小的量，它們之間并沒有預(yù)先規(guī)定大小順序，那么在解答問題時(shí)，不妨可以將它們按一定順序排列起來，往往十分有助于解題，這在不等式中應(yīng)用尤為廣泛.典題熱題知識(shí)點(diǎn)一： 用排序不等式證明不等式例1 在ABC中，ha,hb,hc為邊長(zhǎng)a,b,c上的高，求證：asinA+bsi

4、nB+csinCha+hb+hc.思路分析：解題關(guān)鍵是將ha，hb，hc結(jié)合已知量轉(zhuǎn)化為積的形式，進(jìn)而運(yùn)用排序原理去求證.證明：如下圖,ha=bsinC;hb=csinA,hc=asinB,不妨設(shè)abc;由大角對(duì)大邊可知ABC.若A90，則有sinAsinBsinC,由順序和亂序和，可得asinA+bsinB+csinCasinB+bsinC+csinA.若A90,此時(shí),sinA=sin(B+C),因?yàn)锽+C為銳角,故亦有sinAsinBsinC.由順序和亂序和，可得asinA+bsinB+csinCasinB+bsinC+csinA.綜上可知,asinA+bsinB+csinCha+hb+h

5、c成立.巧妙變式 用A、B、C表示ABC的三內(nèi)角的弧度數(shù)，a、b、c表示其對(duì)邊，求證.證明：由對(duì)稱性，不妨設(shè)abc,于是ABC，于是由順序和亂序和，可得aA+bB+cC=aA+bB+cC,aA+bB+cCaB+bC+cA,aA+bB+cCaC+bA+cB.將上面三式相加可得3（aA+bB+cC）(a+b+c)(A+B+C)=(a+b+c).因?yàn)閍+b+c0，所以.例2 a,b,cR+，求證: a+b+c.思路分析：本題所證不等式為對(duì)稱式（任意互換兩個(gè)字母，不等式不變），在處理該類式子中，經(jīng)常對(duì)每個(gè)式子采用同樣的處理方法即可（即輪換技巧）.中間式子中每項(xiàng)均為兩個(gè)式子的和，將它們拆開，再用排序不等

6、式證明.證明：不妨設(shè)abc，則a2b2c2,則a2+b2+c2（亂序和）a2+b2+c2（倒序和），同理a2+b2+c2（亂序和）a2+b2+c2（倒序和）.兩式相加再除以2，即得原式中第一個(gè)不等式.再考慮數(shù)組a3b3c3及，仿上可證第二個(gè)不等式.方法歸納 證明不等式就是對(duì)不等式的左右兩邊或條件與結(jié)論進(jìn)行代數(shù)變形和化歸，這些操作包括一些添項(xiàng)、拆項(xiàng)，及一定的構(gòu)造,而變形的主要依據(jù)是不等式的性質(zhì).因此在學(xué)習(xí)中，應(yīng)該認(rèn)真把握這個(gè)定理的內(nèi)容形式.知識(shí)點(diǎn)二： 用排序不等式證明重要公式例3 證明切比雪不等式：若a1a2an且b1b2bn,則()().思路分析：排序原理,運(yùn)用于數(shù)列解題是常見題型,處理該類題

7、目,應(yīng)將數(shù)列進(jìn)行重組,使其成為遞增數(shù)列或者遞減數(shù)列,再由大小關(guān)系應(yīng)用排序原理求解.證明：由排序不等式有：a1b1+a2b2+anbn=a1b1+a2b2+anbn,a1b1+a2b2+anbna1b2+a2b3+anb1,a1b1+a2b2+anbna1b3+a2b4+anb2，a1b1+a2b2+anbna1bn+a2b1+anbn-1.將以上式子相加得：n(a1b1+a2b2+anbn)a1(b1+b2+bn)+a2(b1+b2+bn)+an(b1+b2+bn),)().巧妙變式 a1a2an且b1b2bn,則()().例4 請(qǐng)利用排序不等式證明GnAn.（一般地，對(duì)于n個(gè)正數(shù)a1,a2,

8、an；幾何平均Gn=，算術(shù)平均An=）思路分析：由排序不等式可以衍生出很多的定理與性質(zhì)，及一些有用的式子.證明：令bi=(i=1,2, ,n)，則b1b2bn=1，故可取x1,x2, ,xn0，使得b1=,b2=, ,bn-1=,bn=.由排序不等式有：b1+b2+bn=（亂序和）x1+x2+xn（倒序和）=n，n,即Gn.方法歸納 對(duì) ，各數(shù)利用算術(shù)平均大于等于幾何平均即可得，GnAn.問題探究思想方法探究 問題 如何形象地理解排序原理，并正確地運(yùn)用它？探究過程:理解排序原理的正確性，令a1=2,a2=7,a3=8,a4=9,a5=12,另令b1=3,b2=4,b3=6,b4=10,b5=1

9、1,記c1,c2,c3,c4,c5是b1,b2,b3,b4,b5的一個(gè)重排列，來計(jì)算a1c1+a2c2+a5c5的值,至多可以得到5！=120個(gè)不同的數(shù).易驗(yàn)證出a1b1+a2b2+a5b5最大,值為304;而a1b5+a2b4+a5b1最小,值為212.排序不等式應(yīng)用較為廣泛，它的應(yīng)用技巧是將不等式兩邊轉(zhuǎn)化為兩個(gè)有序數(shù)組的積的形式，如a,b,cR+時(shí),a3+b3+c3a2b+b2c+c2aa2a+b2b+c2ca2b+b2c+c2a,此處依據(jù)的是順序和亂序和;a+b+ca2+b2+c2a2+b2+c2,此處依據(jù)的是亂序和倒序和. 在運(yùn)用排序定理時(shí)，首先要特別注意“序”，應(yīng)注意所給項(xiàng)的一個(gè)大小

10、問題，這是排序不等式與別的不等式的一個(gè)顯著區(qū)別所在.我們以前學(xué)過的一些有用的不等式，如對(duì)a0,有a+2，完全可以改寫為這樣一個(gè)形式，對(duì)a0,有a1+1a+11，這時(shí)，運(yùn)用的就是順序和反序和，可謂異曲同工.探究結(jié)論:排序不等式也有廣泛的應(yīng)用，許多重要的不等式（如柯西不等式、平均不等式等）都可以由它推得.交流討論探究 問題 平均的概念，在人們的日常生活和生產(chǎn)實(shí)踐中是經(jīng)常遇到的.除了上述談到的算術(shù)平均數(shù)和幾何平均數(shù)之外，還常會(huì)用到哪些平均數(shù)？探究過程: 同學(xué)甲：設(shè)a1,a2, ,an為正數(shù)，則這n個(gè)數(shù)的平方和的算術(shù)平均數(shù)的算術(shù)平方根為Qn=. Qn稱為這n個(gè)數(shù)的平方平均數(shù).平方平均數(shù)在概率統(tǒng)計(jì)及誤差分析中有著重要的作用. 同學(xué)乙：而n個(gè)正數(shù)的倒數(shù)的算術(shù)平均數(shù)的倒數(shù)為Hn=. Hn稱為這n個(gè)數(shù)