靜定結(jié)構(gòu)位移計算.ppt

1、結(jié) 構(gòu) 力 學,白城師范學院土木工程系基礎(chǔ)教研室,STRUCTURE MECHANICS,第十一章 靜定結(jié)構(gòu)的位移計算,第一節(jié) 概 述 第二節(jié) 變形體的虛功原理 第三節(jié) 結(jié)構(gòu)位移計算的一般公式 第四節(jié) 靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計算 第五節(jié) 圖乘法 第六節(jié) 靜定結(jié)構(gòu)在支座移動時的位移計算 第七節(jié) 線彈性體系的互等定理 主要任務： 1 學會用單位荷載法計算靜定結(jié)構(gòu)的位移。 2 熟練掌握圖乘法計算梁和剛架的位移,第一節(jié) 概 述,一、桿系結(jié)構(gòu)的位移 桿系結(jié)構(gòu)在荷載或其它外界因素作用下，其形狀一般會發(fā)生變化（簡稱變形）。結(jié)構(gòu)上各點的位置將會發(fā)生移動，桿件橫截面也發(fā)生轉(zhuǎn)動。這種移動和轉(zhuǎn)動稱為結(jié)構(gòu)的位移。

2、,線位移,水平線位移,角位移或轉(zhuǎn)角,相對角位移,相對線位移,豎向線位移,二、計算位移的目的 1. 校核結(jié)構(gòu)的剛度，即驗算結(jié)構(gòu)的位移是否超過允許限值。 例如，鐵路橋涵設(shè)計規(guī)范規(guī)定：在豎向靜荷載作用下橋梁的最大撓度，簡支鋼板梁不得超過跨度的1/800，簡支鋼桁梁不得超過跨度的1/900。因此為了驗算結(jié)構(gòu)的剛度，需要計算結(jié)構(gòu)的位移。 2. 在結(jié)構(gòu)的制作、架設(shè)、養(yǎng)護過程中，有時需要預先知道結(jié)構(gòu)的變形情況，以便采取一定的施工措施，因而也需要進行位移計算。 3. 為超靜定結(jié)構(gòu)的彈性分析打下基礎(chǔ)。在彈性范圍內(nèi)分析超靜定結(jié)構(gòu)時，除了需考慮平衡條件外，還需考慮變形條件，因此需計算結(jié)構(gòu)的位移。,本章討論線性彈性變

3、形體系的位移計算。線性彈性變形體系指的是位移與荷載成正比的體系，并且當荷載全部撤除時，由荷載引起的位移將完全消失。滿足這種體系的具體條件是：體系應是幾何不變的，應力與應變應當符合胡克定律，因而位移必須是微小的。,第二節(jié) 變形體的虛功原理,一、功 廣義力和廣義位移,。,由此可知，功包含了兩個要素力和位移。做功的力可以是一個力，也可以是一個力偶，有時甚至可能是一對力或一個力系，統(tǒng)稱為廣義力；位移可以是線位移也可以是角位移，即為廣義位移。因此，功可以統(tǒng)一表示為廣義力和廣義位移的乘積，即：W=F ,如圖a所示，在常力F的作用下物體從A移到A（即虛線位置置）在力的方向上產(chǎn)生線位移，由物理學知，F(xiàn)與的乘積

4、稱為力F在位移上做的功，即W=F .又如圖c，力偶所做的功等于力偶矩與角位移的乘積，W=M,由物理學還可知，當廣義力F與相應廣義位移方向一致時，做功為正；兩者方向相反時，做功為負 功是一個標量，它的常用單位是kNm，Nm。 二、虛功 當作功的力與相應位移彼此相關(guān)時，即當位移是由做功的力本身引起時，此功稱為實功。上述集中力F與力偶矩M所做的功均為實功。當做功的力與相應位移彼此獨立無關(guān)時，就把這種功稱為虛功.“虛”字在這里并不是虛無的意思，而是強調(diào)做功的力與位移無關(guān)這一特點。 因此在虛功中可將做功的力與位移看成是分別屬于同一體系的兩種彼此無關(guān)的狀態(tài)，其中力系所屬狀態(tài)稱為力狀態(tài)或第一狀態(tài)，位移所屬狀

5、態(tài)稱為位移狀態(tài)或第二狀態(tài)。當位移與力的方向一致時，虛功為正；相反時虛功為負。,三、變形體的虛功原理,變形體的虛功原理表明：第一狀態(tài)的外力（包括荷載和反力）在第二狀態(tài)所引起的位移上所做的外力虛功，等于第一狀態(tài)內(nèi)力在第二狀態(tài)內(nèi)力所引起的變形上所做的內(nèi)力虛功。即： 外力虛功=內(nèi)力虛功,虛功原理在具體應用時有兩種方式：一種是對給定的力狀態(tài)，另虛設(shè)一個位移狀態(tài)，利用虛功原理求力狀態(tài)中的未知力；另一種是給定位移狀態(tài)，另虛設(shè)一個力狀態(tài)，利用虛功原理求解位移狀態(tài)中的未知位移，這時的虛功原理又可稱為虛力原理。本章討論的結(jié)構(gòu)位移的計算，就是以變形體虛力原理作為理論依據(jù)的。,第三節(jié) 結(jié)構(gòu)位移計算的一般公式,設(shè)圖a所

6、示平面桿系結(jié)構(gòu)由于荷載、溫度變化及支座移動等因素引起了如圖虛線所示變形，現(xiàn)在要求任一指定點K沿任一指定方向kk上的位移K。,變形體的虛功原理表明：第一狀態(tài)的外力（包括荷載和反力）在第二狀態(tài)所引起的位移上所做的外力虛功，等于第一狀態(tài)內(nèi)力在第二狀態(tài)內(nèi)力所引起的變形上所做的內(nèi)力虛功。即： 外力虛功=內(nèi)力虛功,單位荷載FPK=1所做的虛功在數(shù)值上恰好就等于所要求的位移K。,內(nèi)力虛功為,由虛功原理W=W 有,可得,這便是平面桿件結(jié)構(gòu)位移計算的一般公式。,這種利用虛功原理，在所求位移處沿所求位移方向虛設(shè)單位荷載（FPK=1）求結(jié)構(gòu)位移的方法，稱為單位荷載法。應用這個方法每次只能求得一個位移。在虛設(shè)單位荷載

7、時其指向可以任意假設(shè)，如計算結(jié)果為正，即表示位移方向與所虛設(shè)的單位荷載指向相同，否則相反。,單位荷載法不僅可以用于計算結(jié)構(gòu)的線位移，而且可以計算任意的廣義位移；只要所設(shè)的廣義單位荷載與所計算的廣義位移相對應即可。這里的“對應”是指力與位移在做功的關(guān)系上的對應，如集中力與線位移對應，力偶與角位移對應等等。下面討論如何按照所求位移類型的不同，設(shè)置相應的虛擬狀態(tài)。,1. 當要求某點沿某方向的線位移時，應在該點沿所求位移方向加一個單位集中力。如圖a即為求A點水平位移時的虛擬狀態(tài)。 2. 當要求梁或剛架某截面的角位移時，則應在該截面處加一個單位力偶，如圖b所示，即為求A截面轉(zhuǎn)角的虛擬狀態(tài)。 3. 當要求

8、結(jié)構(gòu)上兩點沿其連線方向上的相對線位移時，則應在兩點沿其連線方向上加一對指向相反的單位力。 4. 同理，若要求梁或剛架兩截面的相對角位移，就應在兩截面處加一對方向相反的單位力偶，如圖d為求A、B相對轉(zhuǎn)角的虛擬狀態(tài)。,5. 當要求桁架某桿的角位移時，則應加一單位力偶，構(gòu)成這一力偶的兩個集中力，各作用于該桿的兩端，并與桿軸垂直，其值為1/d，d為該桿長度。如圖e即為求桿轉(zhuǎn)角時的虛擬狀態(tài)。 6. 同理，若要求桁架中兩根桿件的相對角位移，則應加兩個方向相反的單位力偶，如圖f即為求、桿相對轉(zhuǎn)角的虛擬狀態(tài)。,第四節(jié) 靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計算,如果結(jié)構(gòu)只受到荷載作用，不考慮支座位移的影響時，則公式可簡化

9、為：,用KP表示由荷載引起的K截面的位移。得：,上式即為平面桿系結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計算公式。式中各符號的意義 .,、,式右邊三項分別代表結(jié)構(gòu)的彎曲變形、剪切變形和軸向變形對所求位移的影響。在實際計算中，根據(jù)結(jié)構(gòu)的具體情況，常?？梢灾豢紤]其中的一項（或兩項），例如對于梁和剛架，位移主要是彎矩引起的，軸力和剪力的影響很小，一般可以略去，故式可簡化為：,在桁架中，因只有軸力作用，且同一桿件的軸力FN、FNP及EA沿桿長均為常數(shù)，故式公式可簡化為：,例11-1 試求圖a所示簡支梁中點C 的豎向位移C V和B 截面的轉(zhuǎn)角B。EI=常數(shù)。,解 求C V 在C點加一豎向單位力，得虛擬狀態(tài)如圖b所示，對A

10、C 段，以A為原點，M 及M P方程如下：,=,利用單位荷載法計算結(jié)構(gòu)位移的步驟： 1.根據(jù)所求位移的類型選定虛擬狀態(tài)； 2.列出結(jié)構(gòu)各桿段在虛擬狀態(tài)和實際荷載作用下的內(nèi)力方程； 3.把各內(nèi)力方程代入位移計算公式，分段進行積分然后求總和即可計算出所求位移。,因為對稱，所以得,CV=,=,=,（）,計算結(jié)果為正，說明C點豎向位移的方向與虛擬單位力的方向相同，即方向向下。 求B 在B點加一單位力偶，得虛擬狀態(tài)如圖c所示, M和MP如下：,=,MP =,=,=,BC段：,例11-2 試求圖a所示結(jié)構(gòu)C端的水平位移CH和角位移c。,解 求C H 在C 截面加一水平方向單位力FP=1，如圖b所示，并分別

11、設(shè)AB段以B為原點，BC 段以C為原點，實際荷載和單位荷載所引起的彎矩分別為。,= 0,=FP,=FP,AB段：,=,，,CH =,=, 求,在C截面加一單位力偶M=1，如圖c所示,=1 ， MP=FP,BC段：,=1 ， MP =FP,AB段：,由以上分析計算可以知道，計算梁和剛架在荷載作,進行積分運算，這是非常麻煩的，所以我們接下來 學習一種比較簡單的方法 圖乘法,第五節(jié) 圖乘法,當結(jié)構(gòu)的各桿段符合下列條件時：（1）桿軸為直線；（2）EI=常數(shù)；（3）M和Mp兩個彎矩圖中至少有一個是直線圖形，則可用下述圖乘法來代替積分運算，從而簡化計算工作。,如果結(jié)構(gòu)上所有各桿段均可圖乘，則位移計算公式可

12、寫為,應用圖乘法時，應注意以下幾點：,（5）若為階形桿則應當從截面變化點分段圖乘，然后疊加。,（6）若EI 沿桿長連續(xù)變化，或是曲桿，則必須積分計算,圖乘之所以比積分省力，在于圖形的面積及其形心位置可以預先算出或查表?，F(xiàn)將常用的幾種圖形的面積及形心的位置列于圖中以備查用。需要指出，圖中所示的拋物線均為標準拋物線。所謂標準拋物線是指頂點在中點或端點的拋物線。而頂點是指其切線平行于底邊的點。,當圖形比較復雜，面積或形心位置不易直接確定時，則可將該圖形分解為幾個易于確定形心位置和面積的簡單圖形，將它們分別與另一圖形相乘，然后將所得結(jié)果疊加。舉例如下：,(1y1+2y2),(1y1+2y2),對于在均

13、布荷載作用下的任何一段直桿，其彎矩圖可劃分為一個梯形與一個標準拋物線圖形的疊加.這是因為這段直桿的彎矩圖與圖b相應簡支梁在兩端力矩MA、MB和均布荷載q作用下的彎矩圖是相同的.,圖乘法的解題步驟是： 畫出結(jié)構(gòu)在實際荷載作用下的彎矩圖Mp圖。 在所求位移處沿所求位移的方向虛設(shè)廣義單位力，并畫出其單位彎矩圖M圖。 分段計算Mp（或M ）圖面積及其形心所對應的M （或Mp）圖形的豎標值yc。 將、yc代入圖乘公式計算所求位移。,使用圖乘法時應注意的問題小結(jié)： 1、yC必須取自直線圖形； 2、當M為折線圖形時，必須分段計算； 3、當桿件為變截面時亦應分段計算； 4、圖乘有正負之分； 5、若兩個圖形均為

14、直線圖形時，則面積、縱標可任意分別取自兩圖形； 6、圖乘時，可將彎矩圖分解為簡單圖形，按疊加法分別圖乘； 7、三角形、標準二次拋物線的面積、形心公式必須牢記。,例 11-3 求圖a所示簡支梁中點C的豎向位移CV及A截面轉(zhuǎn)角 。 EI=常數(shù),解 求CV 作M P圖，如圖b所示,再作,圖，如圖c所示, 則,CV=,=,（）,顯然是錯誤的結(jié)果,原因何在? 正確結(jié)果,結(jié)果為正，表明實際位移的方向與 所設(shè)單位力指向一致。, 求其虛擬狀態(tài)彎矩圖，如圖d所示，與Mp圖圖乘得,結(jié)果為負，表明實際轉(zhuǎn)角方向與所設(shè)單位荷載方向相反，即A 截面產(chǎn)生順時針轉(zhuǎn)角。,例11-4 試求圖a所示外伸梁C點的豎向位移CV。梁的E

15、I=常數(shù)。,解 作M p圖及 M如圖b、c所示，BC 段的M 圖為標準二次拋物線；AB 段的Mp圖為非標準拋物線，但可將其分解為一個三角形和一個標準拋物線圖形的疊加，如圖d所示，于是由圖乘法得,例11-5 試求圖a所示剛架結(jié)點B 的水平位移B H。E為常數(shù)。,C V=,例 11-6. 已知 EI 為常數(shù)，求剛架C、D兩點距離的改變 。,解：作實際荷載內(nèi)力圖和虛擬單位荷載內(nèi)力圖,例 11-7. 已知 EI 為常數(shù)，求 。,解：作實際荷載內(nèi)力圖和虛擬單位荷載內(nèi)力圖,一種算法：,結(jié)果正確否？,解法一、,解法二、,圖,圖,例題:求圖示梁(EI=常數(shù),跨長為l )B截面轉(zhuǎn)角,解:,解1： （1）繪出荷載

16、作用下的彎矩圖（MP圖）,（2）為求C點的豎向位移，在C處加一單位力，繪出（M圖）,例題 試求左圖所示剛架C點的豎向位移CV和轉(zhuǎn)角C。各桿材料相同，截面抗彎模量為:,解2： （1）繪出荷載作用下的彎矩圖（MP圖）,（ 2）為求C點的轉(zhuǎn)角，在C處加一單位力偶，繪出（M圖）,（MP圖）,（M圖）,例題 試求左圖所示剛架C點的豎向位移CV和轉(zhuǎn)角C。各桿材料相同，截面抗彎模量為:,第六節(jié) 靜定結(jié)構(gòu)在支座移動時的位移計算,對于靜定結(jié)構(gòu)，支座移動并不產(chǎn)生內(nèi)力和變形，結(jié)構(gòu)的位移純屬剛體位移，對于簡單的結(jié)構(gòu)，這種位移可由幾何關(guān)系直接求得，但一般的結(jié)構(gòu)仍用虛功原理來計算這種位移。其公式為,例11-8 三鉸剛架的

17、跨度=12m，高h=8m。已知右支座B的豎向位移為c1=0.06m（向下），水平位移為c2=0.04m（向右），如圖a所示，試求由此引起的A端轉(zhuǎn)角A。,解 實際支座位移已知為,C 1=0.06m（） C 2=0.04m（）,其余均為零。,虛擬狀態(tài)如圖b所示。計算各支座反力R,第七節(jié) 線彈性體系的互等定理,一、功的互等定理,設(shè)有兩組外力F P1和F P2分別作用于同一線彈性結(jié)構(gòu)上，如圖a和b所示，分別稱為結(jié)構(gòu)的第一狀態(tài)和第二狀態(tài)。并根據(jù)虛功原理，則有,FP112=FP221,這表明：第一狀態(tài)的外力在第二狀態(tài)的位移上所作的虛功，等于第二狀態(tài)外力在第一狀態(tài)的位移上所作的虛功。這就是功的互等定理。,變形體的虛功原理表明：第一狀態(tài)的外力（包括荷載和反力）在第二狀態(tài)所引起的位移上所做的外力虛功，等于第一狀態(tài)內(nèi)力在第二狀態(tài)內(nèi)力所引起的變形上所做的內(nèi)力虛功。即： 外力虛功=內(nèi)力虛功,二、位移互等定理 位移互等定理是功的互等定理的一種特殊情況。,如圖所示，假設(shè)兩個狀態(tài)中的荷載都是單位力，即FP1=FP2=1，則由功的互等定理得,12=21,為了有所區(qū)別，凡單位力引起的位移都改用小寫字母