23離散型隨機變量的均值、方差習題課.ppt

1、離散型隨機變量的期望與方差習題課,要點梳理 1.若離散型隨機變量X的分布列為,(1)均值 稱E(X)=_ 為隨機變量X的均 值或_. 它反映了離散型隨機變量取值的_.,x1p1+x2p2+xi pi+xn pn,數(shù)學期望,平均水平,平均偏離程度,2.離散型隨機變量的均值與方差,其中_為隨機變量X的標準差.,注：方差是反映離散型隨機變量偏離于均值的平均程度的量，它們的值越小，則隨機變量偏離于均值的平均程度越小，即越集中于均值。,3.均值與方差的性質 (1)E(aX+b)=_. (2)D(aX+b)=_.(a,b為常數(shù)) 4.兩點分布與二項分布的均值、方差 (1)若X服從兩點分布,則E(X)=p,

2、D(X)=_. (2)若XB(n,p),則E(X)=_,D(X)=_.,aE(X)+b,a2D(X),p(1-p),np(1-p),np,【例1】設隨機變量具有分布P(=k)= k=1,2,3,4,5,求E2,D(2-1),題型一、 均值與方差性質的應用,解 利用性質E(a+b)=aE()+b, D(a+b)=a2D().,D(2-1)=4D()=8,1.從4名男生和2名女生中任選3人參加演講比賽,設隨機變量X表示所選3人中女生的人數(shù). (1)求X的分布列; (2)求X的數(shù)學期望和方差; (3) 求“所選3人中女生人數(shù)X1”的概率.,超幾何分布,題型二、 求離散型隨機變量的期望、方差,練1.有

3、一批產品,其中有12件正品和4件次品,從中任取 3件,若表示取到次品的個數(shù),則E()=_. 解析 的取值為0,1,2,3,則,練2.(2009上海理，7)某學校要從5名男生和2名女生 中選出2人作為上海世博會志愿者，若用隨機變量 表示選出的志愿者中女生的人數(shù),則數(shù)學期望 E()=_(結果用最簡分數(shù)表示). 解析 的可能取值為0,1,2,2.某運動員投籃的命中率為p=0.6. (1)求一次投籃時命中次數(shù)的均值;方差; (2)求重復5次投籃時,命中次數(shù)的均值與方差.,(1)投籃一次，命中次數(shù)的分布列為：,則E=00.4+10.6=0.6, D=(0-0.6)20.4+(1-0.6)20.6=0.2

4、4. (2)重復5次投籃，命中次數(shù)服從二項分布，即B(5,0.6)， 故E=50.6=3. D=50.60.4=1.2.,求離散型隨機變量的均值和方差，首先應明確隨機變量的分布列.,3. (2009湖南理,17)為拉動經濟增長,某市決 定新建一批重點工程,分為基礎設施工程、民生工程 和產業(yè)建設工程三類,這三類工程所含項目的個數(shù)分 別占總數(shù)的 有3名工人獨立地從中任選一 個項目參與建設. (1)求他們選擇的項目所屬類別互不相同的概率； (2)記 為3人中選擇的項目屬于基礎設施工程或產 業(yè)建設工程的人數(shù),求 的分布列及數(shù)學期望.,二項分布,解 記第i名工人選擇的項目屬于基礎設施工程、民 生工程和產

5、業(yè)建設工程分別為事件Ai、Bi、Ci,i=1,2, 3.由題意知A1,A2,A3相互獨立,B1,B2,B3相互獨立, C1,C2,C3相互獨立,Ai ,Bj ,Ck(i、j、k=1,2,3且i ,j、k 互不相同)相互獨立,且,(1)他們選擇的項目所屬類別互不相同的概率 P=3！P(A1B2C3)=6P(A1)P(B2)P(C3),(2)設3名工人中選擇的項目屬于民生工程的人數(shù)為 ,由已知,4.某一大學畢業(yè)生參加某一公司的筆試，共有5個問題需要解答，如該同學答對每個問題的概率均為 ，且每個問題的解答互不影響 (1)求該同學答對問題的個數(shù)的期望與方差； (2)設答對一個題目得10分，否則扣一分，

6、求該同學得分的期望與方差,5.袋中有相同的5個球,其中3個紅球,2個黃球,現(xiàn)從 中隨機且不放回地摸球,每次摸1個，當兩種顏色的 球都被摸到時,即停止摸球,記隨機變量為此時已 摸球的次數(shù), (1)隨機變量的概率分布列； (2)隨機變量的數(shù)學期望與方差.,解 (1)隨機變量可取的值為2,3,4, 所以隨機變量的概率分布列為：,(2)隨機變量的數(shù)學期望 隨機變量的方差,6.某地區(qū)試行高考考試改革:在高三學年中舉行5次 統(tǒng)一測試,學生如果通過其中2次測試即可獲得足夠 學分升上大學繼續(xù)學習,不用參加其余的測試,而每 個學生最多也只能參加5次測試.假設某學生每次通 過測試的概率都是 每次測試時間間隔恰當,

7、每次 測試通過與否互相獨立. (1)求該學生考上大學的概率； (2)如果考上大學或參加完5次測試就結束,記該生參 加測試的次數(shù)為X,求X的分布列及X的數(shù)學期望.,解 (1)記“該學生考上大學”為事件A，其對立事 件為 (2)參加測試次數(shù)X的可能取值為2,3,4,5.,故X的分布列為： 答 該生考上大學的概率為 所求數(shù)學期望是,1.甲、乙兩名射手在同一條件下射擊，所得環(huán)數(shù)X1， X2分布列如下：,用擊中環(huán)數(shù)的期望與方差分析比較兩名射手的射擊水平。,解：,表明甲、乙射擊的平均水平沒有差別，在多次射擊中平均得分差別不會很大，但甲通常發(fā)揮比較穩(wěn)定，多數(shù)得分在9環(huán)，而乙得分比較分散，近似平均分布在810

8、環(huán)。,題型三 均值與方差的實際應用,問題1：如果你是教練，你會派誰參加比賽呢？,問題2：如果其他對手的射擊成績都在8環(huán)左右，應派哪一名選手參賽？,問題3：如果其他對手的射擊成績都在9環(huán)左右，應派哪一名選手參賽？,2.有甲乙兩個單位都愿意聘用你，而你能獲得如下信息：,根據(jù)工資待遇的差異情況，你愿意選擇哪家單位？,解：,因為EX1=EX2，DX1 DX2，所以兩個單位工資的均值相等，但甲單位不同職位的工資相對集中，乙單位不同職位的工資相對分散。這樣，如果你希望不同職位的工資差距小一些，就選擇甲單位；如果你希望不同職位的工資差距大些，就選擇乙單位。,從做對題數(shù)的數(shù)學期望考察，兩人水平相當；從方差考察甲較穩(wěn)定從至少完成2題的概率考察，甲通過的可能性大因此可以判斷甲的實驗操作能力較強,(2)設表示10萬元投資乙項目的收益，則的分布列為：,基礎自測 1.已知 的分布列 則在下列式子中： 正確的個數(shù)是 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3,解析 答案 C,2.若隨機變量X的分布列如表,則E(X)等于 ( ) A. B. C. D. 解析 由分布列的性質, 可得2x+3x+7x+2x+3x+x=1, E(X)=02x+13x+27x+32x+43x+5x