大學(xué)物理角動量2

1、質(zhì)點的角動量,在慣性參考系中選一固定的參考點o,質(zhì)點對o的位矢為 ,動量為 ,則質(zhì)點對o點的角動量(也稱動量矩)為,上次內(nèi)容回顧,i=1,2,.n 對n個式子求和有,上次內(nèi)容回顧,解 小球?qū)點的角動量守恒,例題2，如圖所示，一細繩穿過光滑水平桌面上的小孔o，繩的一端系有一質(zhì)量為m的小球并放在桌面上；另一端用力往下拉住。設(shè)開始時小球以角速度0繞孔o作半徑r的勻速圓周運動,現(xiàn)在向下緩慢拉繩，直到小球作圓周運動的半徑為r/2時止，求這一過程中拉力的功。,解 火箭只受引力(保守力)作用，機械能守恒：,例題3 質(zhì)量為m的火箭a，以水平速度o沿地球表面發(fā)射出去，如圖所示。火箭a的運動軌道與地軸oo相交于

2、距o為3r的c點。不考慮地球的自轉(zhuǎn)和空氣阻力，求：=？(設(shè)地球的質(zhì)量為m、半徑為r),c,o,a,m,對o點的角動量守恒： mor =,解得,m 3rsin,解：體系對o點角動量守恒,已知滑輪半徑為r,體系對o點角動量守恒,剛體的定 軸轉(zhuǎn)動,剛體的角動量=剛體上各個質(zhì)點的角動量之和。設(shè)剛體以角速度繞固定軸z轉(zhuǎn)動, 質(zhì)量為mi的質(zhì)點對o點的角動量為 li=miviri=mi ri2 整個剛體的角動量就是 l=(mi ri2) i=mi ri2,稱為 剛體對z軸的轉(zhuǎn)動慣量。,剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量,i=mi ri2 即：剛體的轉(zhuǎn)動慣量等于剛體中各質(zhì)點的質(zhì)量乘以它們各自到轉(zhuǎn)軸距離的平方的總和。,r為剛

3、體上的質(zhì)元dm到轉(zhuǎn)軸的距離。,質(zhì)量連續(xù)分布剛體,和轉(zhuǎn)軸有關(guān),和物體的質(zhì)量和質(zhì)量分布有關(guān),轉(zhuǎn)動慣量的計算,io=ml2+ml2=2ml2,例題1 質(zhì)量離散分布剛體： i=mi ri2 (1)正三角形的各頂點處有一質(zhì)點m，用質(zhì)量不計的細桿連接,如圖。系統(tǒng)對通過質(zhì)心c且垂直于三角形平面的軸的轉(zhuǎn)動慣量為,通過o點且垂直于三角形平面的軸的轉(zhuǎn)動慣量為,c,x,例2質(zhì)量為m、長度為l的細直棒，求轉(zhuǎn)動慣量(1)通過質(zhì)心c且垂直于棒的軸，(2)通過棒一端與棒垂直的軸。 解 建立如圖所示的坐標(biāo)，將細棒分為若干微元dm=(m/l)dx ,對棒積分得,均質(zhì)圓盤(m,r)繞中心軸轉(zhuǎn)動時，,均質(zhì)細圓環(huán)(m,r)繞中心軸轉(zhuǎn)

4、動時，其轉(zhuǎn)動慣量為,質(zhì)量為m，長為l，半徑為r的均勻圓柱對通過 中心軸的轉(zhuǎn)動慣量,幾個常見物體的轉(zhuǎn)動慣量,剛體對任一轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量i等于剛體通過質(zhì)心的平行軸的轉(zhuǎn)動慣量ic加上剛體的總質(zhì)量m乘以兩平行軸間距離d的平方，即 i=ic+md2,平行軸定理,平行軸定理的推導(dǎo),平行軸定理的推導(dǎo),dx,c,x,dm,質(zhì)量為m、長度為l的細直棒，求轉(zhuǎn)動慣量(1)通過質(zhì)心c且垂直于棒的軸，(2)通過棒一端與棒垂直的軸。,平行軸定理示例,剛體定軸轉(zhuǎn)動定理,對定軸轉(zhuǎn)動的剛體，,該定理在剛體力學(xué)中的地位,力矩問題,合外力矩在z軸的分量,與轉(zhuǎn)軸垂直的平面內(nèi)的力才對這個力矩有貢獻,可寫成積分形式,剛體的進動非定軸轉(zhuǎn)動問

5、題,例題1 以20n.m的恒力矩作用在有固定軸的轉(zhuǎn)輪上，在10s內(nèi)該輪的轉(zhuǎn)速均勻地由零增大到100rev/min。此時撤去該力矩，轉(zhuǎn)輪經(jīng)100s而停止。試推算此轉(zhuǎn)輪對該軸的轉(zhuǎn)動慣量,及摩擦力距。,20-mr=i 1，,1= /t1,對m: mg-t=ma 對柱： tr=i， 解得 =2mg/(2m+m)r, t=mmg/(2m+m)。,例題2 質(zhì)量為m、半徑為r的勻質(zhì)柱體可繞通過其中心軸線的光滑水平固定軸轉(zhuǎn)動；柱體邊緣繞有一根不能伸長的細繩，繩子下端掛一質(zhì)量為m的物體，如圖所示。求柱體的角加速度及繩中的張力。,a=r,mg-t2= ma a=r1=r2 ,t1r= m1r21,t2r-t1r

6、= m2r22,例題3 質(zhì)量m1半徑為r的勻質(zhì)圓盤可繞水平光滑軸轉(zhuǎn)動，一輕繩纏繞于盤上，另一端通過質(zhì)量為m2半徑r的具有水平光滑軸的圓盤形定滑輪后掛有質(zhì)量為m的物體，如圖所示。求當(dāng)物體m由靜止開始下落了h時，求:物體m的速度及 繩中的張力。,解 :,v2=2ah，,例題4 一根質(zhì)量為m、長為l的均勻細棒ab，可繞一水平光滑軸o在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動，o軸離a端的距離為 l/3。今使棒從靜止開始由水平位置繞o軸轉(zhuǎn)動，求棒轉(zhuǎn)過角時的角加速度和角速度。,解,所以,完成積分得,討論: (1)當(dāng)=0時，=3g/2l， =0 ； (2)當(dāng)=90時， =0，=(3g/l)1/2。,例題5 一質(zhì)量為m、半徑為r的勻

7、質(zhì)圓盤繞通過盤心且垂直于盤面的光滑軸正以o的角速度轉(zhuǎn)動。現(xiàn)將盤置于粗糙的水平桌面上，圓盤與桌面間的摩擦系數(shù)為，求圓盤經(jīng)轉(zhuǎn)幾圈將停下來？,r,dr,o,計算出來摩 擦力矩是關(guān)鍵,于是得,又由2-o2=2，所以停下來前轉(zhuǎn)過的圈數(shù)為,定軸轉(zhuǎn)動的角動量守恒定律,若物體所受的合外力矩為零(即0)時，則 i=常量 這表明：當(dāng)合外力矩為零時,物體的角動量將保持不變，這就是定軸轉(zhuǎn)動的角動量守恒定律,說明：在慣性系下成立,i=常量,系統(tǒng)定軸轉(zhuǎn)動的角動量守恒,轉(zhuǎn)軸存在運動的情況,系統(tǒng)角動量守恒的條件是：,系統(tǒng)動量守恒的條件是：,系統(tǒng)的機械能守恒的條件是:,三大守恒定律的守恒條件,解,例題5 粗糙的水平桌面上，有一

8、長為2l、質(zhì)量為m的勻質(zhì)細桿，可繞通過其中點且垂直于桿的豎直光滑固定軸o自由轉(zhuǎn)動，桿與桌面間的摩擦系數(shù)為，起初桿靜止。桌面上有兩個質(zhì)量均為m的小球，各自在垂直于桿的方向上，正對著桿的一端，以相同的速率v相向運動，并與桿的兩端同時發(fā)生完全非彈性碰撞(設(shè)碰撞時間極短), 如圖,求: (1)兩小球與桿剛碰后，這一系統(tǒng)的角速度為多少？ (2)桿經(jīng)多少時間停止轉(zhuǎn)動？(不計兩小球重力造成的摩擦力矩）,(2),由= o+t：,碰撞過程中有角動量守恒,解,例題6 勻質(zhì)園盤(m、r)與一人(m/10,視為質(zhì)點)一起以角速度o繞通過其盤心的豎直光滑固定軸轉(zhuǎn)動,如圖所示。如果此人相對于盤以速率v、沿半徑為r/2的園周運動(方向與盤轉(zhuǎn)動方向相反), 求:(1)圓盤對地的角速度;(2)欲使園盤對地靜止，人相對園盤的速度大小和方向？,(2) 欲使盤靜止，可令,當(dāng)剛體在力矩m的作用下由角 1轉(zhuǎn)到2時,力矩所作的功為,力矩的功率