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文檔簡介
1、激光原理,第三章 光學諧振腔,激光原理,光學諧振腔的模式理論,1、幾何理論 2、波動光學理論 3、菲涅爾-基爾霍夫衍射積分方程,光學諧振腔的作用,一 、穩(wěn)定性條件,3.1共軸球面腔的穩(wěn)定性條件,雙周期透鏡波導,共軸球面腔,令,二、共軸球面腔的構成與分類,當 時,共軸球面諧振腔為穩(wěn)定腔,當 時,共軸球面諧振腔為非穩(wěn)腔,當 時,共軸球面諧振腔為臨界腔,(1)穩(wěn)定腔構成的方式, 雙凹腔, 凹凸腔, 平凹腔,(2)非穩(wěn)腔構成的方式, 雙凸腔, 平凸腔, 平凹腔, 雙凹腔, 凹凸腔,(3)臨界腔構成的方式, 對稱共焦腔, 平行平面腔, 共心腔,二、穩(wěn)定圖,圖中沒有斜線的部分是諧振腔的穩(wěn)定工作區(qū),其中包括
2、坐標原點。圖中畫有斜線的陰影區(qū)為不穩(wěn)定區(qū),在穩(wěn)定區(qū)和非穩(wěn)區(qū)的邊界上是臨界區(qū)。對工作在臨界區(qū)的腔,只有某些特定的光線才能在腔內往返而不逸出腔外。,3.2 光學諧振腔的模式,一、平平腔中的駐波,1.自由空間的駐波,向+z傳播,向-z傳播,(a) 振幅沿縱向z的分布,(b) 駐波頻率等于原平面波的頻率,都是 ,可以連續(xù)取值,2.平平腔中的駐波,鏡面為駐波節(jié)點,其面上有一個相位的突變,當,駐波頻率,對于一個q值,在腔內對應某種穩(wěn)定的駐波結構,含有q+1個節(jié)點,這種穩(wěn)定的駐波分布稱為腔內的一個縱模。,q縱模序數,二、腔中光波模的諧振頻率,諧振:在腔中某點A,光波每經一次往返,在該處的相位相同(或為其 的
3、整數倍),光場會產生相干加強,稱為諧振。,腔內所有激光振蕩都要滿足諧振條件,才能形成穩(wěn)定的強的相干光場。,在均勻平面波近似下:,腔內的穩(wěn)定駐波頻率條件與諧振頻率條件是等效的,三、腔內的多縱模振蕩及單縱模選取,1. 縱模的頻率間隔,各縱模振蕩頻率是等間距排列在頻率坐標軸上,舉例1:10cm腔長的He-Ne激光器可能出現(xiàn)的縱模數(一種,單縱模),舉例2:30cm腔長的He-Ne激光器可能出現(xiàn)的縱模數(三種,多縱模),2. 多縱模振蕩,條件?, 滿足腔內諧振頻率條件;, 滿足腔的諧振的頻率必須落在激活介質發(fā)光的原子光譜范圍內;, 滿足增益的閾值條件;, 不考慮模之間的競爭。,振蕩縱模最多為,3. 單
4、縱模選取,當 時,可單縱模輸出,減小,增大,4. 激光縱模的頻率漂移問題,頻率漂移:振蕩頻率隨外界環(huán)境變化而發(fā)生緩慢變化的現(xiàn)象,3.3 平行平面腔模的迭代法,衍射對開腔場分布的影響 在決定開腔中激光振蕩能量的空間分布方面,衍射將起主要作用。衍射效應是決定開腔模式形成的主要因素。,開腔模的一般物理概念 在經過足夠多次的渡越以后,能形成這樣一種穩(wěn)態(tài)場:其分布不再受衍射的影響,它在腔內往返一次后能夠再現(xiàn)出發(fā)時的場分布。,將在開腔鏡面上的,經一次往返能再現(xiàn)的穩(wěn)態(tài)場分布稱為開腔的自再現(xiàn)模或橫模。其特點是: 場的形狀再現(xiàn)(一次渡越后分布狀態(tài)相同) 振幅相差一固定因子 有一固定的相位差,一、開腔衍射理論的分
5、析方法,1、菲涅爾-基爾霍夫衍射積分方程,2、自再現(xiàn)模,當q足夠 大時,除了一個表示幅度衰減和相位移動的常 數因子 外, 應能將 再現(xiàn)出來。,以 表示開腔中這一不受衍射影響的穩(wěn)態(tài)場的分布函數,如果滿足,3、復常數 的意義,量度每經單程渡越時自再現(xiàn)模的振幅衰減,量度每經單程渡越時自再現(xiàn)模的相位滯后,自再現(xiàn)模在腔內單程渡越所經受的相對功率損失,稱為模的單程損耗,越大,模的單程損耗越大,自再現(xiàn)模在腔內單程渡越的總相移,表示幾何相移,表示單程附加相移,4、分離變量,設2a*2b的一對矩形平面鏡腔,令,滿足方程的 可能不止一個,可以用 分別表示它的第m個和第n個解,當 取一系列不連續(xù)的特定值時,方程才能
6、成 立,這些能夠使方程成立的 稱為方程的本征 值, 為相應的本征函數。,二、平平腔模的迭代解法,平平腔的特點: 方向性好,模體積大,易單模振蕩 難調整,損耗大,故增益小的器件不能用 平平腔模無解析解,1、迭代法,是否滿足 ?,平行平面腔模的迭代解法,迭代流程,初始值,帶入積分方程求解U2(x),然后將其歸一化,再將U2代入積分方程,求出U3,U4,U5.,畫出曲線,確定相對振幅分布和相對相位分布,建立穩(wěn)態(tài)場:以歸一化的振幅曲線和相位曲線不再發(fā)生變化為原則,討論 1、菲涅爾數的選取 N 2、達到穩(wěn)態(tài)場的渡越次數,3、迭代法的意義在于 (1)第一次證明了開腔模式的存在性; (2)加深了我們對模的各
7、種特征的認識; (3)具有普遍的適用性。,掌握,自再現(xiàn)模 復常數 的意義 單程損耗和單程相移 平平腔的特點 平平腔迭代法 腔的菲涅耳數,2、平平腔鏡面上場的振幅分布,(1) 基模振幅分布特性, 偶對稱性, N決定場的振幅的具體分布,與單獨的a或者L無關, N越大,鏡邊緣處的相對振幅越小,衍射損耗越小, N為偶數,在鏡面中心的振幅不為最大,只有N為基數時,鏡面中心的振幅才為最大,(2) 一階模振幅分布特性, 奇對稱性, N越大,鏡邊緣處的相對振幅越小, 光強將出現(xiàn)節(jié)線(暗區(qū)), 與基模比較,鏡邊緣處的一階模的振幅基模,3、平平腔鏡面上場的相位分布, 平面鏡上,不是等相位面,光場不是均勻的平面波,
8、 相位的起伏變化與N有關, 節(jié)線兩邊相位差相差180度, N較大時,鏡面上的TEM00近似平面波,鏡面中心部分更趨于平面波,4、單程相移和諧振頻率,(1) 單程相移, 計算方法:在鏡面上取一點,計算往返一次后,在該點的相位之變化, 總的相移不等于幾何相移,存在一個附加相位超前,與腔的N有關,而且與m,n有關, N相同,基模 小,高階模 大; 對于同一橫模,N越大, 越小,(2) 諧振頻率, 滿足諧振條件, 諧振頻率,5、單程功率損耗,計算方法:由鏡子上某一點往返一次后振幅值的變化計算功率損耗,基模衍射損耗最小 衍射損耗由N而定,N越大,損耗越小 圓形鏡腔基模損耗的近似公式,3.4 穩(wěn)定球面腔,
9、當N比較大時,可以用厄米-高斯函數近似,當N比較大時,可以用達蓋爾-高斯函數近似,一、方形鏡對稱共焦腔的模式,1、衍射積分方程,令,方形鏡共焦腔自再現(xiàn)模的問題就等價于求解這兩個積分方程的本征值問題。,2、衍射積分方程的解,(1)博伊德-戈登的精確解,相應的本征值為,對于任意給定的c值,即對應光腔的菲涅爾數,當m,n取一系列正整數時,可求得一系列本征值及相應的本征函數。進而可以討論光腔內模式的全部特征:分布特征和傳輸特征。,(2)厄米-高斯近似解,在 的區(qū)域內,角向長橢球函 數可以表示為厄米多項式和高斯分布函數的乘積。,厄米-高斯函數即為方程的本征函數,厄米-高斯函數能很好的近似,在鏡子中心區(qū)域
10、,厄米-高斯函數能很好的近似,3、厄米-高斯近似解下的討論,(1)鏡面上場的振幅和相位分布,基模,基模在鏡面上的分布是高斯型的,光斑半徑,半功率點的定義:,高階橫模,厄米多項式的零點決定場的節(jié)線,厄米多項式的正負交替變化與高斯函數的特性決定場分布的外形輪廓。,在x方向上有m條節(jié)線,在y方向上有n條節(jié)線,相位分布,由于長橢球函數是實函數,說明鏡面上各點場的相位相同,及共焦腔反射鏡本身構成場的一個等相位面。(這一點與平平腔不同),掌握 (1)平平腔迭代法數值計算結果: 鏡面上的振幅分布; 鏡面上的相位分布; 單程相移(幾何相移,附加相移及其特點); 諧振頻率; 單程損耗的特點;,掌握 (1)方形鏡
11、對稱共焦腔的自再現(xiàn)模: 精確解; 厄米-高斯近似解; 鏡面上的振幅分布,基模光斑尺寸,半功率點光斑尺寸,高階模分布特點,強度花樣圖,高階模光斑尺寸 鏡面本身為等相位面,(2)單程損耗,共焦腔自再現(xiàn)模, 均勻平面波的夫瑯和費衍射 平平腔自再 現(xiàn)模的衍射 共焦腔, 隨著菲涅耳數N的增加,單程損耗下降,(2)單程相移和諧振頻率,單程相移,附加相移,與N無關,諧振頻率,q的改變和m,n的改變引起的諧振頻率的變化具有相同的數量級。(這一點與平平腔不同),模式簡并,不同的m,n,q處于同一頻率,q+(m+n+1)相同的各種m,n,q的組合,不同模式的簡并對激光有不利影響,多模振蕩;競爭效應和燒孔效應,共焦
12、腔是模式高度簡并的,4、方形鏡對稱共焦腔的行波場,(1)如果已知鏡面上的場分布,可以采用菲涅爾-基爾霍夫衍射積分方程求出共焦腔中任一點的場,其中,表示 模在腔內任一點的場強,如果輸出鏡的輸出對光束無變換作用,可以把這一結果推廣到腔外,(2)振幅分布,共焦場的振幅分布如下:,基模,其中,鏡面上,Z=0處,(3)模體積,某一模式的模體積描述該模式在腔內所擴展的空間,模體積大:對該模式提供的 越多,可能輸出大的功率 模體積小:對該模式提供的 越少,可能輸出小的功率,基模,高階模,應用舉例:,CO2激光諧振腔,L=1m,2a=2cm,,(4)等相位面分布,(5)遠場發(fā)散角,二、圓形鏡對稱共焦腔的模式,
13、1、衍射積分方程的解,精確解:超橢球函數 數值解:給出曲線 近似解:拉蓋爾-高斯近似解,2、圓形鏡對稱共焦腔的數值解討論, 振幅分布與方形鏡類似 圓形鏡本身為等相位面 各模的相移不同, 損耗,3、拉蓋爾-高斯近似解,圓形鏡共焦腔的自再現(xiàn)模為拉蓋爾-高斯函數,本征值,(1) 振幅分布,基模的場分布為,定義在基模振幅的 處的光斑半徑為,模沿輔角方向的節(jié)線數目為m,沿徑向方向的節(jié)線 數目為n,(2) 相位分布,鏡面為其等相位面,(3) 單程相移,(4) 諧振頻率,圓形鏡對稱共焦腔中,模式是高度簡并的,(5) 單程衍射損耗,在計算衍射損耗時,不能采用近似解,4、圓形鏡對稱共焦腔的行波場,圓形鏡對稱共焦
14、腔的行波場與方形鏡對稱共焦腔的行波場類似,兩者的基模光束的振幅分布、光斑尺寸、等相位面的曲率半徑及光束發(fā)散角都完全相同。,三、對稱共焦腔的特點,具有確定的腔內光場分布形式,并可推廣到一般穩(wěn)定球面腔; 由行波場可確定其空間分布特性; 對稱共焦腔衍射損耗低,模式鑒別能力高,易調整; 基模體積小,易生成多模振蕩(模式高度簡并); 要求R和L加工精確,對稱共焦腔小結,1.共焦腔的自再現(xiàn)模 2.分布特征: 振幅分布(基模與高階模) 相位分布 光斑尺寸 模體積 單程相移和諧振頻率 模的單程衍射損耗 基模光束的遠場發(fā)散角,共焦腔光束的基本特性如光斑尺寸、模體積、發(fā)散角、等相面的曲率半徑等,它們都唯一的由焦距f決定,與橫向尺寸無關 f:作為表征共焦腔高斯光束的特征參數,四、一般穩(wěn)定球面腔與對稱共焦腔的等價性,所謂等價,是指兩種腔具有相同的自再現(xiàn)模。,1、任意一個共焦球面腔與無窮多個穩(wěn)定球面腔等價,2、任意一個滿足穩(wěn)定條件的球面腔唯一的等價于某一共焦腔,如果在共焦腔的任意兩個等相位面上放置兩塊具有相應曲率半徑的球面反射鏡
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