高中數(shù)學(xué) 1.1.2數(shù)列的函數(shù)特性 教案 北師大必修

1、1.1.2數(shù)列的函數(shù)特性教學(xué)目的：1了解數(shù)列的遞推公式，明確遞推公式與通項(xiàng)公式的異同；2會(huì)根據(jù)數(shù)列的遞推公式寫出數(shù)列的前幾項(xiàng)；3理解數(shù)列的前n項(xiàng)和與 的關(guān)系；4會(huì)由數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求出其通項(xiàng)公式.教學(xué)重點(diǎn)：根據(jù)數(shù)列的遞推公式寫出數(shù)列的前幾項(xiàng)教學(xué)難點(diǎn)：理解遞推公式與通項(xiàng)公式的關(guān)系內(nèi)容分析：由于并非每一函數(shù)均有解析表達(dá)式一樣，也并非每一數(shù)列均有通項(xiàng)公式(有通項(xiàng)公式的數(shù)列只是少數(shù))，因而研究遞推公式給出數(shù)列的方法可使我們研究數(shù)列的范圍大大擴(kuò)展 遞推是數(shù)學(xué)里的一個(gè)非常重要的概念和方法 在數(shù)列的研究中，不僅很多重要的數(shù)列是用遞推公式給出的，而且它也是獲得一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式的途徑：先得出較為容易寫出的數(shù)

2、列的遞推公式，然后再根據(jù)它推得通項(xiàng)公式 但是，這項(xiàng)內(nèi)容也是極易膨脹的，例如研究用遞推公式給出的數(shù)列的性質(zhì)，從數(shù)列的遞推公式推導(dǎo)通項(xiàng)公式等，這樣就會(huì)加重學(xué)生負(fù)擔(dān) 考慮到學(xué)生是在高一學(xué)習(xí)，我們必須牢牢把握教學(xué)要求，只要能初步體會(huì)一下用遞推方法給出數(shù)列的思想，能根據(jù)遞推公式寫出一個(gè)數(shù)列的前幾項(xiàng)就行了 教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)引入：上節(jié)學(xué)習(xí)知識(shí)點(diǎn)如下 數(shù)列的定義：按一定次序排列的一列數(shù)叫做數(shù)列.注意：數(shù)列的數(shù)是按一定次序排列的，因此，如果組成兩個(gè)數(shù)列的數(shù)相同而排列次序不同，那么它們就是不同的數(shù)列；定義中并沒有規(guī)定數(shù)列中的數(shù)必須不同，因此，同一個(gè)數(shù)在數(shù)列中可以重復(fù)出現(xiàn). 數(shù)列的項(xiàng)：數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)都叫做這個(gè)數(shù)

3、列的項(xiàng). 各項(xiàng)依次叫做這個(gè)數(shù)列的第1項(xiàng)（或首項(xiàng)），第2項(xiàng)，第n 項(xiàng)，.數(shù)列的一般形式： ，或簡(jiǎn)記為 ，其中an是數(shù)列的第n項(xiàng) 數(shù)列的通項(xiàng)公式：如果數(shù)列 的第n項(xiàng) 與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來表示，那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.5數(shù)列的圖像都是一群孤立的點(diǎn).6數(shù)列有三種表示形式：列舉法，通項(xiàng)公式法和圖象法.7 有窮數(shù)列：項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列.例如，數(shù)列是有窮數(shù)列.8 無窮數(shù)列：項(xiàng)數(shù)無限的數(shù)列.二、講解新課：知識(shí)都來源于實(shí)踐，最后還要應(yīng)用于生活 用其來解決一些實(shí)際問題 觀察鋼管堆放示意圖，尋其規(guī)律，建立數(shù)學(xué)模型 模型一：自上而下：第1層鋼管數(shù)為4；即：1 41+3 第2層鋼管數(shù)為5；即：2 5

4、2+3 第3層鋼管數(shù)為6；即：3 63+3 第4層鋼管數(shù)為7；即：4 74+3 第5層鋼管數(shù)為8；即：5 85+3 第6層鋼管數(shù)為9；即：6 96+3 第7層鋼管數(shù)為10；即：7 107+3若用an表示鋼管數(shù)，n表示層數(shù)，則可得出每一層的鋼管數(shù)為一數(shù)列，且 1n7）運(yùn)用每一層的鋼筋數(shù)與其層數(shù)之間的對(duì)應(yīng)規(guī)律建立了數(shù)列模型，運(yùn)用這一關(guān)系，會(huì)很快捷地求出每一層的鋼管數(shù) 這會(huì)給我們的統(tǒng)計(jì)與計(jì)算帶來很多方便 讓同學(xué)們繼續(xù)看此圖片，是否還有其他規(guī)律可循？（啟發(fā)學(xué)生尋找規(guī)律）模型二：上下層之間的關(guān)系:自上而下每一層的鋼管數(shù)都比上一層鋼管數(shù)多1 即依此類推： （2n7）對(duì)于上述所求關(guān)系，若知其第1項(xiàng)，即可求出

5、其他項(xiàng)，看來，這一關(guān)系也較為重要 定義：1遞推公式：如果已知數(shù)列 的第1項(xiàng)（或前幾項(xiàng)），且任一項(xiàng) 與它的前一項(xiàng) （或前n項(xiàng)）間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來表示，那么這個(gè)公 式就叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式 說明：遞推公式也是給出數(shù)列的一種方法 如下數(shù)字排列的一個(gè)數(shù)列：3，5，8，13，21，34，55，89 遞推公式為： 2數(shù)列的前n項(xiàng)和：數(shù)列中， 稱為數(shù)列 的前n項(xiàng)和，記為 . 表示前1項(xiàng)之和： = 表示前2項(xiàng)之和： = 表示前n-1項(xiàng)之和： = 表示前n項(xiàng)之和： = .當(dāng)n1時(shí) 才有意義；當(dāng)n-11即n2時(shí) 才有意義.3 與 之間的關(guān)系：由 的定義可知，當(dāng)n=1時(shí)， ； 當(dāng)n2時(shí)， ，即 說明：數(shù)列的

6、前n項(xiàng)和公式也是給出數(shù)列的一種方法.三、例題講解例1已知數(shù)列 的第1項(xiàng)是1，以后的各項(xiàng)由公式 給出，寫出這個(gè)數(shù)列的前5項(xiàng) 分析：題中已給出 的第1項(xiàng)即 ，遞推公式： 解：據(jù)題意可知： 例2已知數(shù)列中， 3），試寫出數(shù)列的前4項(xiàng)解：由已知得 例3已知 ， 寫出前5項(xiàng)，并猜想 法一： 法二：例4 已知數(shù)列 的前n項(xiàng)和，求數(shù)列的通項(xiàng)公式： an =n2 +2n； an =n -2n-1.解：當(dāng)n2時(shí)， an= - =(n +2n)-(n-1) +2(n-1)=2n+1；當(dāng)n=1時(shí)， an =1 +21=3；經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)n=1時(shí)，2n+1=21+1=3， an =2n+1為所求.當(dāng)n2時(shí)， an = (

7、n -2n-1)-(n-1) +2(n-1)-1=2n-3；當(dāng)n=1時(shí)，an =1 -21-1=-2；經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)n=1時(shí)，2n-3=21-3=-1-2， an = 為所求.四、練習(xí)：1根據(jù)各個(gè)數(shù)列的首項(xiàng)和遞推公式，寫出它的前五項(xiàng)，并歸納出通項(xiàng)公式(1) 0, (2n1) (nN)；(2) 1, (nN)；(3) 3, 3 2 (nN). 解：(1) 0, 1, 4, 9, 16, (n1) ;(2) 1, , , , , ;(3) 31+2 , 71+2 , 191+2 , 551+2 , 1631+2 , 123 ; 2 已知下列各數(shù)列 的前n項(xiàng)和 的公式，求 的通項(xiàng)公式 (1) 2n 3n; (2) 2. 解：(1) 1, = - 2n 3n2(n1) 3(n1)4n5, 又 符合