高中數(shù)學 3．3 二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題3教案 新人教版必修

1、 3.3二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題【整體設(shè)計】教學分析 前面已經(jīng)學習了一元一次不等式(或組)、一元二次不等式及其解法，并且知道相應(yīng)的幾何意義。作為不等式模型，它們在生產(chǎn)、生活中有著廣泛的應(yīng)用，然而，在不等式模型中，除了它們之外，還有二元一次不等式模型。本節(jié)將通過實際例子抽象出二元一次不等式(組)數(shù)學模型，引出二元一次不等式(組)的相關(guān)概念。 本節(jié)的主要內(nèi)容有：二元一次不等式(或組)的概念、表示的平面區(qū)域及相應(yīng)的畫法。其中，重點是二元一次不等式所表示的平面區(qū)域，難點是復雜的二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域的確定。在教學中，可啟發(fā)學生觀察圖象，循序漸進地理解掌握相關(guān)概念，以學生探究為

2、主，老師點撥為輔，學生之間分組討論，交流心得，分享成果，進行思維碰撞，同時可借助計算機等媒體工具來進行動態(tài)演示本節(jié)內(nèi)容在教學中應(yīng)體現(xiàn)以下幾點：注重探究過程。能正確地畫出給定的二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域，是學習下節(jié)簡單線性規(guī)劃問題圖解法的重要基礎(chǔ)。注重探究方法，結(jié)合等式(函數(shù))所表示的圖形的認知，用類比的方法提出“二元一次不等式組的解集表示什么圖形”的問題注重探究手段，結(jié)合信息計術(shù)教學目標 1、通過本節(jié)探究，使學生了解并會用二元一次不等式表示平面區(qū)域以及用二元一次不等式組表示平面區(qū)域；能畫出二元一次不等式（組）所表示的平面區(qū)域2、通過學生的親身體驗，培養(yǎng)學生觀察、聯(lián)想以及作圖的能力，滲透

3、集合、化歸、數(shù)列結(jié)合的數(shù)學思想，提高學生“建?！焙徒鉀Q實際問題的能力3、通過本節(jié)學習，著重培養(yǎng)學生深刻理解“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學思想。盡管側(cè)重于用“數(shù)”研究“形”，但同時也用“形”去研究“數(shù)”，培養(yǎng)學生觀察、聯(lián)想、猜測、歸納等數(shù)學能力重難點教學重點：從實際問題中抽象出二元一次不等式（組），靈活運用二元一次不等式（來）表示平面區(qū)域教學難點：二元一次不等式表示的平面區(qū)域的確定及怎樣確定不等式（或表示的哪一側(cè)區(qū)域課時安排1課時第1課時導入新課出示課本給出的實例，“一家銀行的信貸部計劃年初投入元用于企業(yè)和個人貸款，希望這筆貸款資金至少可帶來30000元的效益，其中從企業(yè)貸款中獲益12%，從個人貸款中獲益1

4、0%，那么，信貸部應(yīng)該如何分配資金呢？這個問題中存在一些不等關(guān)系，我們應(yīng)該用什么不等式模型來刻畫它們呢”？讓學生用不等式來刻畫資金分配的問題，可得到不等關(guān)系，由此引出二元一次不等式（組）的解集的概念展開新課一、提出問題讓學生閱讀課本，什么是二元一次不等式（組）的解集？在直角坐標系內(nèi)，二元一次不等式（組）的解集表示什么圖形？怎樣判斷二元一次不等式表示的是直線哪一側(cè)的平面區(qū)域？直線將平面內(nèi)的點分成了哪幾類？二學生活動通過代特殊點的方法檢驗滿足不等式的點的位置，并猜想出結(jié)論：坐標滿足不等式的點在直線的上方三建構(gòu)數(shù)學1進一步驗證結(jié)論的正確性： 如圖，在直線上方任取一點，過作平行于軸的直線交直線于點，點

5、在直線上方，點在點上方，即，點為直線上方的任意一點，所以，直線上方任意點，都有，即；同理，對于直線左下方任意點，都有，即又平面上任意一點不在直線上即在直線上方或直線下方因此，滿足不等式的點在直線的上方，我們稱不等式表示的是直線上方的平面區(qū)域；同樣，不等式表示的是直線下方的平面區(qū)域練習：判斷不等式表示的是直線上方還是下方的平面區(qū)域？（下方）下半平面上半平面2得出結(jié)論：一般地，直線把平面分成兩個區(qū)域（如圖）：表示直線上方的平面區(qū)域；表示直線下方的平面區(qū)域說明：（1）表示直線及直線上方的平面區(qū)域；表示直線及直線下方的平面區(qū)域 （2）對于不含邊界的區(qū)域，要將邊界畫成虛線四數(shù)學運用1例題：例1判斷下列不

6、等式所表示的平面區(qū)域在相應(yīng)直線的哪個區(qū)域？（用“上方”或“下方”填空）（1）不等式表示直線 的平面區(qū)域；（2）不等式表示直線 的平面區(qū)域；（3）不等式表示直線 的平面區(qū)域；（4）不等式表示直線 的平面區(qū)域說明：二元一次不等式在平面直角坐標系中表示某一側(cè)所有點組成的平面區(qū)域可以用“選點法”確定具體區(qū)域：任選一個不在直線上的點，檢驗它的坐標是否滿足所給的不等式若適合，則該點所在的一側(cè)即為不等式所表示的平面區(qū)域；否則，直線的另一側(cè)為所求的平面區(qū)域例2畫出下列不等式所表示的平面區(qū)域：（1）； （2）解：（1）（2）兩個不等式所表示的平面區(qū)域如下圖所示：例3將下列各圖中的平面區(qū)域（陰影部分）用不等式表示

7、出來（其中圖（1）中區(qū)域不包括軸）：解：（1）；（2）；（3）新問題情境情境：通過前一課的學習，我們已經(jīng)知道了二元一次不等式的幾何意義那么，二元一次不等式組的幾何意義又如何呢？根據(jù)前面的討論，不等式（1）表示直線及其下方的平面區(qū)域；不等式（2）表示直線及其下方的平面區(qū)域因此，同時滿足這兩個不等式的點的集合就是這兩個平面區(qū)域的公共部分（如下圖所示）圖圖如果再加上約束條件，那么，它們的公共區(qū)域為圖中的陰影部分例4畫出下列不等式組所表示的平面區(qū)域：（1） （2）解：（1）不等式表示直線及其下方的平面區(qū)域；不等式表示直線上方的平面區(qū)域；因此，這兩個平面區(qū)域的公共部分就是原不等式組所表示的平面區(qū)域（2）

8、原不等式組所表示的平面區(qū)域即為不等式所表示的平面區(qū)域位于第一象限內(nèi)的部分思考：如何尋找滿足（2）中不等式組的整數(shù)解？（要確定不等式組的整數(shù)解，可以畫網(wǎng)格，然后按順序找出在不等式組表示的平面區(qū)域內(nèi)的格點，其坐標即為不等式組的整數(shù)解）例5三個頂點坐標為，求內(nèi)任一點所滿足的條件解：三邊所在的直線方程：；：；：內(nèi)任意一點都在直線下方，且在直線的上方，故滿足的條件為例6原點和點在直線的兩側(cè)，則實數(shù)的取值范圍是 提示：將點和的坐標代入的符號相反，即，例7（1）若點在直線下方區(qū)域，則實數(shù)的取值范圍為 （2）若點在直線的上方區(qū)域，則點在此直線的下方還是上方區(qū)域？解：（1）直線下方的點的坐標滿足，（2）直線的上

9、方區(qū)域的點的坐標滿足，點在直線的上方區(qū)域，又，點在此直線的上方區(qū)域五回顧小結(jié)：1二元一次不等式的幾何意義；2二元一次不等式表示的平面區(qū)域的確定六課外作業(yè)：課本第86頁 練習 第14題課本第93頁 A組 第1，2題，B組第1，2題3.3.2簡單的線性規(guī)劃問題【整體設(shè)計】教學分析本節(jié)內(nèi)容在教材中有著重要的地位與作用。線性規(guī)劃是利用數(shù)學為工具，來研究一定的人、財、物、時等資源在一定條件下，如何精打細算，用最少的資源，取得最大的經(jīng)濟效益，它是數(shù)學規(guī)劃中理論較完整，方法較成熟，應(yīng)用較廣泛的一個分支，并能解決科學研究、工程設(shè)計、經(jīng)濟管理等許多方面的實際問題。中學所學的線性規(guī)劃只是規(guī)劃率中的極小一部分，但這

10、部分內(nèi)容體現(xiàn)了數(shù)學的工具性、應(yīng)用性，同時也滲透了化歸，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想。通過這部分內(nèi)容的學習，可使學生進一步了解數(shù)學在解決實際問題中的應(yīng)用，培養(yǎng)學生學習數(shù)學的興趣、應(yīng)用數(shù)學的意識和解決實際問題的能力實際教學中注意以下幾個問題：用圖解法解決線性規(guī)劃問題時，分析題目的已知條件，找出約束條件和目標函數(shù)是關(guān)鍵，可先將題目中的量分類、列出表格，理清頭緒，然后列出不等式組尋求約束條件，并就題目所述找到目標函數(shù)可行域就是二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域。教學目標1、使學生了解線性規(guī)劃的意義以及約束條件、目標函數(shù)、可行解、可行域、最優(yōu)解等基本概念；了解線性規(guī)劃問題的圖解法，并能應(yīng)用它解決一些簡單的實際問題2

11、、通過本節(jié)內(nèi)容的學習，培養(yǎng)學生觀察、聯(lián)想以及作圖的能力，滲透集合、化歸、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想，提高學生“建?！焙徒鉀Q實際問題的能力重點難點教學重點：求線性目標函數(shù)的最值問題，培養(yǎng)學生“用數(shù)學”的意識教學難點：把實際問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題，并給出解答課時安排3課時【教學過程】第1課時導入新課（選）由身邊的線性規(guī)劃問題導入課題，同時闡明其重要意義。如6枝玫瑰花與3枝康乃馨的價格之和大于24元，而4枝玫瑰與5枝康乃馨的價格之和小于22元。如果想買2枝玫瑰或3枝康乃馨，那么價格比較結(jié)果是怎樣的呢？可由學生列出不等關(guān)系，并畫出平面區(qū)域，由此引入新課一問題情境1問題：在約束條件下，如何求目標函數(shù)的最大值？二

12、建構(gòu)數(shù)學首先，作出約束條件所表示的平面區(qū)域，這一區(qū)域稱為可行域，如圖（1）所示其次，將目標函數(shù)變形為的形式，它表示一條直線，斜率為，且在軸上的截距為平移直線，當它經(jīng)過兩直線與的交點時，直線在軸上的截距最大，如圖（2）所示因此，當時，目標函數(shù)取得最大值，即當甲、乙兩種產(chǎn)品分別生產(chǎn)和時，可獲得最大利潤萬元這類求線性目標函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值問題，通常稱為線性規(guī)劃問題其中使目標函數(shù)取得最大值，它叫做這個問題的最優(yōu)解對于只含有兩個變量的簡單線性規(guī)劃問題可用圖解法來解決說明：平移直線時，要始終保持直線經(jīng)過可行域（即直線與可行域有公共點）三數(shù)學運用1例題：例1設(shè)，式中變量滿足條件，求的最大值

13、和最小值解：由題意，變量所滿足的每個不等式都表示一個平面區(qū)域，不等式組則表示這些平面區(qū)域的公共區(qū)域由圖知，原點不在公共區(qū)域內(nèi)，當時，即點在直線：上，作一組平行于的直線：，可知：當在的右上方時，直線上的點滿足，即，而且，直線往右平移時，隨之增大由圖象可知，當直線經(jīng)過點時，對應(yīng)的最大，當直線經(jīng)過點時，對應(yīng)的最小，所以，例2設(shè)，式中滿足條件，求的最大值和最小值解：由引例可知：直線與所在直線平行，則由引例的解題過程知，當與所在直線重合時最大，此時滿足條件的最優(yōu)解有無數(shù)多個，當經(jīng)過點時，對應(yīng)最小，說明：1線性目標函數(shù)的最大值、最小值一般在可行域的頂點處取得； 2線性目標函數(shù)的最大值、最小值也可在可行域的

14、邊界上取得，即滿足條件的最優(yōu)解有無數(shù)多個2練習：課本第91頁 練習 第1，2題例3（1）已知，求的取值范圍；（2）設(shè)，且，求的取值范圍。解：（1）不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，作直線：，作一組平行線：，由圖知由向右下方平移時，隨之增大，反之減小，當經(jīng)過點時取最小值， 當經(jīng)過點時取最大值，由和分別得，所以，（2），由（1）知，例4（備用題）已知的三邊長滿足，求的取值范圍。解：設(shè)，則，作出平面區(qū)域，由圖知：，即四回顧小結(jié)：鞏固圖解法求線性目標函數(shù)的最大值、最小值的方法五課外作業(yè)：另行補充第2課時一問題情境1情境：前面我們用圖解法解決了一些求線性目標函數(shù)最大值、最小值的問題在現(xiàn)實生活中，我們還會遇

15、到什么樣的與線性規(guī)劃有關(guān)的問題呢？二數(shù)學運用1例題：例1投資生產(chǎn)A產(chǎn)品時，每生產(chǎn)100噸需要資金200萬元，需場地200平方米，可獲利潤300萬元；投資生產(chǎn)B產(chǎn)品時，每生產(chǎn)100米需要資金300萬元，需場地100平方米，可獲利潤200萬元現(xiàn)某單位可使用資金1400萬元，場地900平方米，問：應(yīng)作怎樣的組合投資，可使獲利最大？分析：這是一個二元線性規(guī)劃問題，可先將題中數(shù)據(jù)整理成下表，以方便理解題意：資 金（百萬元）場 地（平方米）利 潤（百萬元）A產(chǎn)品223B產(chǎn)品312限 制149然后根據(jù)此表數(shù)據(jù)，設(shè)出未知數(shù)，列出約束條件和目標函數(shù)，最后用圖解法求解解：設(shè)生產(chǎn)A產(chǎn)品百噸，生產(chǎn)B產(chǎn)品米，利潤為百萬

16、元，則約束條件為，目標函數(shù)為作出可行域（如圖），將目標函數(shù)變形為，它表示斜率為，在軸上截距為的直線，平移直線，當它經(jīng)過直線與和的交點時，最大，也即最大此時，因此，生產(chǎn)A產(chǎn)品百噸，生產(chǎn)B產(chǎn)品米，利潤最大為1475萬元說明：（1）解線性規(guī)劃應(yīng)用題的一般步驟：設(shè)出未知數(shù)；列出約束條件（要注意考慮數(shù)據(jù)、變量、不等式的實際含義及計量單位的統(tǒng)一）；建立目標函數(shù)；求最優(yōu)解（2）對于有實際背景的線性規(guī)劃問題，可行域通常是位于第一象限內(nèi)的一個凸多邊形區(qū)域，此時變動直線的最佳位置一般通過這個凸多邊形的頂點例2某運輸公司向某地區(qū)運送物資，每天至少運送180噸該公司有8輛載重為6噸的A型卡車與4輛載重為10噸的B型卡車，有10名駕駛員每輛卡車每天往返的次數(shù)為A型車4次，B型車3次每輛卡車每天往返的成本費為A型車320元，B型車為504元試為該公司設(shè)計調(diào)配車輛的方案，使公司花費的成本最低解：設(shè)每天調(diào)出A型車輛，