模糊數(shù)學(xué)方法2009

1、模糊數(shù)學(xué)方法,處理現(xiàn)實(shí)的數(shù)學(xué)模型可分為三大類：,確定性數(shù)學(xué)模型：背景對象具有確定性或固定性， 對象具有必然的聯(lián)系。,二. 隨機(jī)性數(shù)學(xué)模型：背景對象具有或然性或隨機(jī)性。,三. 模糊性數(shù)學(xué)模型：背景對象及其關(guān)系均具有模糊性,概率與統(tǒng)計(jì)數(shù)學(xué)將數(shù)學(xué)的應(yīng)用范圍從必然現(xiàn)象擴(kuò)大到隨機(jī)現(xiàn)象，模糊數(shù)學(xué)則將數(shù)學(xué)的應(yīng)用范圍從清晰現(xiàn)象擴(kuò)大到模糊現(xiàn)象的領(lǐng)域。,二十世紀(jì)六十年代，產(chǎn)生了模糊數(shù)學(xué)這門新興學(xué)科。,現(xiàn)代數(shù)學(xué)是建立在集合論的基礎(chǔ)上。集合論的重要意義在與它把數(shù)學(xué)的抽象能力延伸到人類認(rèn)識過程的深處。一組對象確定一組屬性，人們可以通過說明屬性來說明概念（內(nèi)涵），也可以通過指明對象來說明它。符合概念的那些對象的全體叫做這

2、個概念的外延，外延其實(shí)就是集合。從這個意義上講，集合可以表現(xiàn)概念，而集合論中的關(guān)系和運(yùn)算又可以表現(xiàn)判斷和推理，一切現(xiàn)實(shí)的理論系統(tǒng)都可能納入集合描述的數(shù)學(xué)框架。,模糊數(shù)學(xué)的產(chǎn)生,經(jīng)典集合論只能把自己的表現(xiàn)力限制在那些有明確外延的概念和事物上，它明確地限定：每個集合都必須由明確的元素構(gòu)成，元素對集合的隸屬關(guān)系必須是明確的，決不能模棱兩可。,各門學(xué)科，尤其是人文、社會學(xué)科及其它“軟科學(xué)”的數(shù)學(xué)化、定量化趨向把模糊性的數(shù)學(xué)處理問題推向中心地位。,但是，在客觀世界中還普遍存在著大量的模糊現(xiàn)象。由于現(xiàn)代科技所面對的系統(tǒng)日益復(fù)雜，模糊性總是伴隨著復(fù)雜性出現(xiàn)。,更重要的是，隨著電子計(jì)算機(jī)、控制論、系統(tǒng)科學(xué)的迅

3、速發(fā)展，要使計(jì)算機(jī)能像人腦那樣對復(fù)雜事物具有識別能力，就必須研究和處理模糊性。,在日常生活中，經(jīng)常遇到許多模糊事物，沒有分明的數(shù)量界限，要使用一些模糊的詞句來形容、描述。比如，比較年輕、高個、大胖子、好、漂亮、善、熱。在人們的工作經(jīng)驗(yàn)中，往往也有許多模糊的東西。,我們研究人類系統(tǒng)的行為，或者處理可與人類系統(tǒng)行為相比擬的復(fù)雜系統(tǒng)，如航天系統(tǒng)、人腦系統(tǒng)、社會系統(tǒng)等，參數(shù)和變量甚多，各種因素相互交錯，系統(tǒng)很復(fù)雜，它的模糊性也很明顯。從認(rèn)識方面說，模糊性是指概念外延的不確定性，從而造成判斷的不確定性。,模糊數(shù)學(xué)的研究內(nèi)容,模糊數(shù)學(xué)的研究內(nèi)容主要有以下三個方面：,第一，研究模糊數(shù)學(xué)的理論，以及它和精確數(shù)

4、學(xué)、隨機(jī)數(shù)學(xué)的關(guān)系。 查德提出用“模糊集合”作為表現(xiàn)模糊事物的數(shù)學(xué)模型。并在“模糊集合”上逐步建立運(yùn)算、變換規(guī)律，開展有關(guān)的理論研究，能夠?qū)磥硐喈?dāng)復(fù)雜的模糊系統(tǒng)進(jìn)行定量的描述和處理的數(shù)學(xué)方法。,在模糊集合中，給定范圍內(nèi)元素對它的隸屬關(guān)系不一定只有“是”或“否”兩種情況，而是用介于0和1之間的實(shí)數(shù)來表示隸屬程度，還存在中間過渡狀態(tài)。,第二，研究模糊語言學(xué)和模糊邏輯。人類自然語言具有模糊性，人們經(jīng)常接受模糊語言與模糊信息，并能做出正確的識別和判斷。,為了實(shí)現(xiàn)用自然語言跟計(jì)算機(jī)進(jìn)行直接對話，就必須把人類的語言和思維過程提煉成數(shù)學(xué)模型，才能給計(jì)算機(jī)輸入指令，建立合適的模糊數(shù)學(xué)模型.,如果我們把合乎語

5、法的標(biāo)準(zhǔn)句子的從屬函數(shù)值定為1，那么，其他文法稍有錯誤，但尚能表達(dá)相仿的思想的句子，就可以用以0到1之間的連續(xù)數(shù)來表征它從屬于“正確句子”的隸屬程度。這樣，就把模糊語言進(jìn)行定量描述，并定出一套運(yùn)算、變換規(guī)則。,第三，研究模糊數(shù)學(xué)的應(yīng)用。模糊數(shù)學(xué)是以不確定性的事物為其研究對象的。模糊集合的出現(xiàn)是數(shù)學(xué)適應(yīng)描述復(fù)雜事物的需要，查德的功績在于用模糊集合的理論找到解決模糊性對象加以確切化，從而使研究確定性對象的數(shù)學(xué)與不確定性對象的數(shù)學(xué)溝通起來，過去精確數(shù)學(xué)、隨機(jī)數(shù)學(xué)描述感到不足之處，就能得到彌補(bǔ)。,在模糊數(shù)學(xué)中，目前已有模糊拓?fù)鋵W(xué)、模糊群論、模糊圖論、模糊概率、模糊語言學(xué)、模糊邏輯學(xué)等分支。,模糊數(shù)學(xué)的

6、應(yīng)用,模糊數(shù)學(xué)是一門新興學(xué)科，它已初步應(yīng)用于模糊控制、模糊識別、模糊聚類分析、模糊決策、模糊評判、系統(tǒng)理論、信息檢索、醫(yī)學(xué)、生物學(xué)等各個方面。在氣象、結(jié)構(gòu)力學(xué)、控制、心理學(xué)等方面已有具體的研究成果。然而模糊數(shù)學(xué)最重要的應(yīng)用領(lǐng)域是計(jì)算機(jī)職能，不少人認(rèn)為它與新一代計(jì)算機(jī)的研制有密切的聯(lián)系。,目前，世界上發(fā)達(dá)國家正積極研究、試制具有智能化的模糊計(jì)算機(jī).,模糊集合論的基礎(chǔ)知識,定義11.1 從論域U到閉區(qū)間0,1的任意一個映射： ，對任意uU， 那么 叫做U的一個模糊子集， 叫做u的隸屬函數(shù)，也記做 。,所謂模糊集合，實(shí)質(zhì)上是論域U到0,1上的一個映射，而對于模糊子集的運(yùn)算，實(shí)際上可以轉(zhuǎn)換稱為對隸屬函

7、數(shù)的運(yùn)算：,假設(shè)給定有限論域 ，它的模糊子集可以用查德給出的表示法：,表示一個有n個元素的模糊子集?！?”叫做查德記號，不是求和。,例1：設(shè)論域 ,，,，,例2：設(shè)以人的歲數(shù)作為論域U0,120，單位是“歲”，那么“年輕”，“年老”，都是U上的模糊子集。隸屬函數(shù)如下：,“年輕”(u),“年老”(u),40歲的人，隸屬函數(shù)值,例： 有一組線段共30根， 第一根長30厘米， 第二根比第一根短1厘米，依次下去， 選出長的線段。,解： 論域U u1,u2,., u30, 因?yàn)榫€段長度按線性遞減， 所以長線段的隸屬函數(shù)A(ui)是條數(shù)i的線性函數(shù)。,選A(u1)=1, A(u30)=0, 由兩點(diǎn)式有,第

8、i條線段相對于長線段的隸屬度為,隸屬函數(shù)的值的確定，雖然有各種方法，本質(zhì)上應(yīng)該是客觀的，但實(shí)際上常常帶有主觀性，對同一論域上的模糊集合，不同的人或用不同的判斷標(biāo)準(zhǔn)，所得出的各元素的隸屬度也不盡相同，那么，有沒有辦法來比較哪一個更正確些呢，這就涉及到怎樣來度量模糊性的問題。,怎樣度量模糊性,例假定有甲乙兩個顧客商場買衣服，他們主要考慮三個因素： 花色式樣（x1）, 耐穿程度（x2）, 價格（x3）；,究竟誰的觀點(diǎn)正確呢？看來沒法確定。因?yàn)楦魅擞懈魅说慕?jīng)驗(yàn)，各人有各人的道理，這就是怎樣度量模糊性的問題。解決這個問題的研究途徑很多，目前用得較多的大致有“距離”，“貼近度”兩個。,用“距離”來度量模糊

9、性,在有限論域X上有兩個模糊子集 和 ， 和 的漢明距離定義如下：,絕對漢明距離：,相對漢明距離：,。,在有限論域X上有兩個模糊子集 和 ， 和 的歐幾里得距離定義如下：,絕對歐幾里得距離：,相對歐幾里得距離：,怎樣用距離來描述一個模糊集合的模糊程度呢？要定義一個跟 最貼近的集合，這個集合用來 表示，如果 里某元素的隸屬度0.5， 的相應(yīng)元素的隸屬度為1，如果=0.5，則相應(yīng)的隸屬度為0，即,或 大，即模糊度大。模糊度越大， 表明越模糊。,漢明模糊度,歐幾里德模糊度,的模糊度比 的模糊度大,用“貼近度”來度量模糊性,設(shè) 和 為論域U上的兩個模糊子集，記： 內(nèi)積： 外積： 其中 為最大下界， 為

10、最小上界。,貼近度：,一 . 模糊模式識別,模式識別有兩種方法：直接法：最大隸屬原則， 間接法：擇近原則。,例：考慮人的年齡問題，分為年輕、中年、老年，分別對應(yīng)三個模糊集A1、A2、A3，設(shè)論域U（0,100,有,1. 最大隸屬原則: 設(shè)Ai是模糊集，對論域中的任何元素，若存在i0,使得Ai0(u0)=maxA1(u0),A2(u0),.,An(u0),則認(rèn)為u0相對隸屬于Ai0,模糊數(shù)學(xué)的應(yīng)用,某人40歲，則A1(40)=0, A2(40)=1,A3(40)=0,則A2(40)=maxA1(40),A2(40),A3(40)=max0,1,0=1根據(jù)最大隸屬原則，他應(yīng)該是中年人。,又如，某人

11、35歲，由A1(35)=0.125, A2(35)=0.875, A3(35)=0, 可見35歲的人應(yīng)該是中年人。,2. 擇近原則,若有茶葉等級標(biāo)準(zhǔn)樣品五種：I, II, III, IV, V, 及待識別的茶葉模型A，確定A的型號。,設(shè)Ai，B是模糊集，若存在i0使得貼近度(Ai0, B)=max (A1,B), (A2,B), .(An,B),則認(rèn)為B與Ai0最貼近，即判定B與Ai0屬于同一類。,解：取反映茶葉質(zhì)量的因素集為論域U，U=條索，色澤，凈度，湯色，香氣，滋味假定U上的模糊集為,I=0.5, 0.4, 0.3, 0.6, 0.5, 0.4, II=0.3, 0.2, 0.2, 0.

12、1, 0.2, 0.2 III=0.2, 0.2, 0.2, 0.1, 0.1, 0.2, IV=0, 0.1, 0.2, 0.1, 0.1, 0.1 V=0, 0.1, 0.1, 0.1, 0.1, 0.1, A=0.4, 0.2, 0.1, 0.4, 0.5, 0.6,貼近度公式：,(A, I)=0.6, (A, II)=0.55, (A, III)=0.5, (A, IV)=0.45, (A, V)=0.5,按擇近原則，可以確定A為I型茶葉。,二.幾何圖形識別,許多模式識別常常歸結(jié)為幾何識別。例如機(jī)器自動識別染色體和白細(xì)胞分類，就是應(yīng)用幾何圖形識別。而幾何圖形又常劃分為若干三角形圖形：等

13、腰三角形、直角三角形、等腰直角三角形、等邊三角形和非典型三角形。現(xiàn)實(shí)問題中的等腰三角形往往不是標(biāo)準(zhǔn)的等腰三角形，即帶有不同程度的模糊性，所以它的模式可用模糊集表示。其它三角形類似。,現(xiàn)給定一具體三角形，其三個內(nèi)角為(85,50,45)，試確定它屬于上述類型的哪一類.,首先確定五種類型的模糊集的隸屬函數(shù)，三角形論域 U=(A,B,C)| A+B+C=180,A=B=C=0,上述五種類型是U上的模糊集，它們的隸屬函數(shù)分別規(guī)定為：,等腰三角形：I(u)=1-1/60 min(A-B, B-C),直角三角形：R(u)=1-1/90 |A-90|,等腰直角三角形IR(u)=1-max1/60 min(A

14、-B, B-C),1/90 |A-90|,非典型三角形T(u)=1/180 min3(A-B),3(B-C),2|A-90|,A-C,應(yīng)為近似直角三角形,三.手寫文字的識別,1.方格矩陣法,對于一個印刷體字母，首先把它局限在一個框框內(nèi)，然后把這個框框分成很多個小方格，在每個小方格上按線條出現(xiàn)的清晰程度給予適當(dāng)?shù)碾`屬度uij, 而i,j是該方格所在的行數(shù)和列數(shù)。這樣可構(gòu)成一個模糊關(guān)系矩陣，約定,Uij=表示這一格上線條清晰出現(xiàn)，并填上黑色。,Uij=表示這一格上線條不出現(xiàn)，并填上白色。,這些矩陣叫做標(biāo)準(zhǔn)矩陣。使用電腦識別文字時，通常先把37個文字（包括26個字母，10個數(shù)字，一個空白）對應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)

15、矩陣置于內(nèi)存中，將待識別的文字表示成75階模糊矩陣做為輸入。由于打印時著色不均勻及可能產(chǎn)生的污點(diǎn)，因而使得通過傳感器獲得的信息不一定清晰，即不一定為0或1，往往介于0,1之間，與標(biāo)準(zhǔn)矩陣不一定一致。為了得到正確的結(jié)果，采用下述方法。,先把模糊矩陣化為模糊向量，矩陣的第i行放在第i個分量上，字母H對應(yīng)的分量為H=(10001 10001 10001 11111 10001 10001 10001),于是文字可用向量表示，37個標(biāo)準(zhǔn)矩陣都可以化為標(biāo)準(zhǔn)向量。設(shè)有文字向量,計(jì)算數(shù)值,假設(shè)電腦收到文字向量r=(r1,r2,.r35),只要算出r與37個標(biāo)準(zhǔn)向量的接近程度W(r,A),W(r,B)w(r,

16、0)，便可根據(jù)擇近原則判定r究竟是什么。,我們把打印缺陷等偶然因素叫做噪聲，實(shí)驗(yàn)結(jié)果是：在噪聲達(dá)到31.43%的情況下，正確識別率大于90。,識別手寫文字或圖象可采用上述類似的方法，不過因?yàn)槭謱懳淖趾蛨D象比印刷文字復(fù)雜的多，所以須將框框分成更多的小方格，因而對應(yīng)的文字向量的維數(shù)也大的多，這就使計(jì)算變得非常困難。,2. 模糊方位轉(zhuǎn)換識別技術(shù),所謂方位，就是把待識別的文字固定在一個方框框內(nèi)，框框的位置不能倒置，然后確定各方向的編碼。,3=(3 2 2 7 7 1 1 0 7 7 6 6 5) 2=(3 2 2 1 7 7 7 7 7 0 0 2 2 2) 7=(3 2 2 2 7 7 7 7 7

17、7 7 7),顯然沿著給定文字的方向，與給定的八個方向不完全一致，所以所示的方向都是模糊的。,取論域U=-22.5, 337.5是角度區(qū)間，那么八個方向0，1，2，3，4，5，6，7就是U上的模糊集，它們的隸屬函數(shù)規(guī)定如下：,為了識別手寫數(shù)字，可以先把10個數(shù)字的各個字的模糊方向用隸屬度給出，叫做號碼串模糊向量，再存儲到計(jì)算機(jī)中作為標(biāo)準(zhǔn)向量。將待識別的字的號碼串模糊向量輸入到計(jì)算機(jī)中與標(biāo)準(zhǔn)向量比較，按就近原則，就可辨別是什么字了。,確定隸屬函數(shù)的原則,隸屬函數(shù)的確定過程，本質(zhì)上應(yīng)該說是客觀的，但是事實(shí)上現(xiàn)在還沒有一個完全客觀的評定標(biāo)準(zhǔn)。在許多情況下，常是初步確定粗略的隸屬函數(shù)，然后通過“學(xué)習(xí)”

18、和時間檢驗(yàn)逐步修改和完善化，而實(shí)際效果正是檢驗(yàn)和調(diào)整隸屬函數(shù)的依據(jù)。,模糊統(tǒng)計(jì)是確定隸屬函數(shù)的一種主要方法，它需要做大量的試驗(yàn)，因此工作量是比較大的。,四. 模糊相似選擇,例題 由10名專家組成評比小組對某一行業(yè)中的三家企業(yè)甲、乙、丙的綜合效益進(jìn)行評比，企業(yè)的綜合效益是一個復(fù)雜系統(tǒng)，包括經(jīng)濟(jì)效益，社會效益，環(huán)境效益等，而每個專家考慮問題的角度不同，觀點(diǎn)不同，使得難以排出一個整體的優(yōu)劣次序。如發(fā)生以下情況：,7人認(rèn)為甲比乙好，3人認(rèn)為乙比甲好； 6人認(rèn)為乙比丙好，4人認(rèn)為丙比乙好； 8人認(rèn)為丙比甲好，2人認(rèn)為甲比丙好；,則如何確定一個整體上的優(yōu)劣呢？,給出一個模糊選擇矩陣：,即優(yōu)越程度一樣,對,

19、把甲乙丙分別設(shè)為x1,x2,x3,第一步：令 ，得,第二步：取 （ ），寫出 截矩陣 ， 如本例中可取 ，得,第三步：令 減小，當(dāng)下降到某一值時，第一次出現(xiàn) 中某一行除對角線外全為1，認(rèn)為該行對應(yīng)的元素是U中相對最優(yōu)的元素。本例中當(dāng)取 時， 則丙的綜合效益最好。,第四步：劃去xk所在第k行第k列元素，得n-1階矩陣。本例中劃去第3行第3列元素，得2階矩陣為,第五步：繼續(xù)上述過程，逐個選出相對最優(yōu)元素，即得優(yōu)劣次序。 ，因此甲第二好。,整體優(yōu)劣為丙、甲、乙。,例題 用生產(chǎn)工人的勞動生產(chǎn)率，每萬元固定資產(chǎn)、容納職工人數(shù)和技術(shù)管理人員在職工中的比重三項(xiàng)指標(biāo)作為衡量一個企業(yè)技術(shù)密集程度的指標(biāo)體系。,五

20、. 模糊聚類,這6家企業(yè)關(guān)于上述三項(xiàng)指標(biāo)的數(shù)值依次是：,現(xiàn)有6家企業(yè)構(gòu)成論域：,評價這6個企業(yè)的技術(shù)密集程度。,建立模糊相似矩陣,其中,取水平,時，將U分成6個等價類,取水平,，,，,，,將有公共元素的類進(jìn)行合并，得水平 下U的分類為 說明在這一水平下可以認(rèn)為第三，五，六家企業(yè)的技術(shù)密集程度是相同的。,最后取水平,，,，,，,將所有具有公共元素的類合并，得到水平 下的U分類為,所有企業(yè)的技術(shù)密集程度屬于同一類，說明在這一水平下可以認(rèn)為6家企業(yè)的技術(shù)密集程度是相同的。,模糊綜合評價的一般步驟如下：,六. 模糊綜合評價,（4） 綜合評價。,（1） 確定評價對象的因素集,（2） 確定評語集,（3）

21、作出單因素評價；,例題 評價某種牌號的手表， ，其中x1表示外觀式樣，x2表示走時準(zhǔn)確，x3表示價格，x4表示質(zhì)量。,評語集為 ，其中y1表示很滿意，y2表示滿意，y3表示不滿意。,例如，對外觀式樣有70的顧客很滿意，20的顧客滿意，10的顧客不滿意，那么,則這個問題的單因素評價矩陣為,由于各個因素在綜合評價中的作用不同，為此給出一個U的模糊集合 ，滿足條件 在綜合評價中，將A稱為綜合評價的權(quán)重向量，假設(shè)如果某類顧客評價手表的權(quán)重為 即對四個方面的重視程度為40，20，30，10%。,說明很滿意，滿意，不滿意的隸屬度依次是0.4，0.3，0.2，根據(jù)最大隸屬原則，可以認(rèn)為這類顧客對這種手表“很

22、滿意”,例： 某廣告公司領(lǐng)導(dǎo)班子需要增配一名懂經(jīng)營的領(lǐng)導(dǎo)者，現(xiàn)有甲、乙、丙三位候選人可供選擇，選擇的原則是合理兼顧以下幾個方面思想品德、經(jīng)營業(yè)績、組織能力、文化程度、年齡大小、身體狀況。請用模糊綜合評價法對三人進(jìn)行排序，給出最佳人選。,解：首先，確定評估項(xiàng)目的評價因素集UU=思想品德u1，經(jīng)營業(yè)績u2，組織能力u3，文化程度u4，年齡大小u5，身體狀況u6,第二，確定評語等級集VV=優(yōu)秀v1，良好v2，中等v3，及格v4，不及格v5,第三，建立模糊關(guān)系矩陣R通過民意檢測，得出各個評價因素對甲、乙、丙的評價向量，記為R(ui)，甲、乙、丙分別為：R(u甲)（0.35，0.25，0.15，0.20

23、，0.05） （0.37，0.23，0.16，0.10，0.14） （0.33，0.25，0.16，0.20，0.06） （0.28，0.32，0.20，0.10，0.10） （0.33，0.24，0.20，0.13，0.10） （0.29，0.25，0.23，0.11，0.12）,R(u乙)（0.41，0.20，0.19，0.13，0.07） （0.37，0.16，0.21，0.16，0.10） （0.45，0.21，0.11，0.23，0.10） （0.34，0.25，0.15，0.15，0.11） （0.32，0.21，0.33，0.04，0.10） （0.49，0.11，0.20，0.

24、05，0.15）R(u丙)（0.19，0.15，0.35，0.11，0.30）（0.25，0.33，0.12，0.12，0.18）（0.20，0.10，0.30，0.10，0.30）（0.23，0.27，0.12，0.18，0.20）（0.35，0.15，0.13，0.17，0.20）（0.23，0.24，0.23，0.25，0.05）,于是可以寫出對甲、乙、丙的模糊評價矩陣R分別為：0.35，0.25，0.15，0.20，0.050.37，0.23，0.16，0.10，0.14R甲=0.33，0.25，0.16，0.20，0.060.28，0.32，0.20，0.10，0.100.33，0.

25、24，0.20，0.13，0.100.29，0.25，0.23，0.11，0.12,R乙=0.41，0.20，0.19，0.13，0.07 0.37，0.16，0.21，0.16，0.10 0.45，0.21，0.11，0.23，0.10 0.34，0.25，0.15，0.15，0.11 0.32，0.21，0.33，0.04，0.10 0.49，0.11，0.20，0.05，0.15 0.19，0.15，0.35，0.11，0.30 0.25，0.33，0.12，0.12，0.18R丙=0.20，0.10，0.30，0.10，0.30 0.23，0.27，0.12，0.18，0.20 0.35，0.15，0.13，0.17，0.20 0.23，0.24，0.23，