高中數(shù)學(xué) 集合的含義及表示知識(shí)講解（B） 新人教A版必修

1、集合及集合的表示（B層）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.了解集合的含義，會(huì)使用符號(hào)“”“”表示元素與集合之間的關(guān)系2.能選擇自然語(yǔ)言、圖象語(yǔ)言、集合語(yǔ)言（列舉法或描述法）描述不同的具體問題，感受集合語(yǔ)言的意義和作用3.理解集合的特征性質(zhì)，會(huì)用集合的特征性質(zhì)描述一些集合，如常用數(shù)集、解集和一些基本圖形的集合等【要點(diǎn)梳理】集合概念及其基本理論，稱為集合論，是近、現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個(gè)重要的基礎(chǔ)，一方面，許多重要的數(shù)學(xué)分支，都建立在集合理論的基礎(chǔ)上.另一方面，集合論及其所反映的數(shù)學(xué)思想，在越來越廣泛的領(lǐng)域中得到應(yīng)用.要點(diǎn)一、集合的有關(guān)概念1集合理論創(chuàng)始人康托爾稱集合為一些確定的、不同的東西的全體，人們能意識(shí)到這些東西，并且

2、能判斷一個(gè)給定的東西是否屬于這個(gè)總體.2一般地，研究對(duì)象統(tǒng)稱為元素(element)，一些元素組成的總體叫集合(set)，也簡(jiǎn)稱集.3關(guān)于集合的元素的特征(1)確定性：設(shè)A是一個(gè)給定的集合，x是某一個(gè)具體對(duì)象，則x或者是A的元素，或者不是A的元素，兩種情況必有一種且只有一種成立.(2)互異性：一個(gè)給定集合中的元素，指屬于這個(gè)集合的互不相同的個(gè)體(對(duì)象)，因此，同一集合中不應(yīng)重復(fù)出現(xiàn)同一元素.(3)無序性：集合中的元素的次序無先后之分.如：由1，2，3組成的集合，也可以寫成由1，3，2組成一個(gè)集合，它們都表示同一個(gè)集合.4元素與集合的關(guān)系：(1)如果a是集合A的元素，就說a屬于(belong t

3、o)A，記作aA(2)如果a不是集合A的元素，就說a不屬于(not belong to)A，記作5集合的分類(1)空集：不含有任何元素的集合稱為空集(empty set)，記作：.(2)有限集：含有有限個(gè)元素的集合叫做有限集.(3)無限集：含有無限個(gè)元素的集合叫做無限集.6常用數(shù)集及其表示非負(fù)整數(shù)集(或自然數(shù)集)，記作N正整數(shù)集，記作N*或N+整數(shù)集，記作Z有理數(shù)集，記作Q實(shí)數(shù)集，記作R要點(diǎn)二、集合的表示方法我們可以用自然語(yǔ)言來描述一個(gè)集合，但這將給我們帶來很多不便，除此之外還常用列舉法和描述法來表示集合.1. 自然語(yǔ)言法：用文字?jǐn)⑹龅男问矫枋黾系姆椒?如：大于等于2且小于等于8的偶數(shù)構(gòu)成的

4、集合.2. 列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，寫在大括號(hào)內(nèi).如：1，2，3，4，5，x2，3x+2，5y3-x，x2+y2，.3.描述法：把集合中的元素的公共屬性描述出來，寫在大括號(hào) 內(nèi).具體方法：在大括號(hào)內(nèi)先寫上表示這個(gè)集合元素的一般符號(hào)及取值(或變化)范圍，再畫一條豎線，在豎線后寫出這個(gè)集合中元素所具有的共同特征.4.圖示法：圖示法主要包括Venn圖、數(shù)軸上的區(qū)間等.為了形象直觀，我們常常畫一條封閉的曲線，用它的內(nèi)部來表示一個(gè)集合，這種表示集合的方法稱為韋恩（Venn）圖法. 如下圖，就表示集合.【典型例題】1，2，3，4類型一：集合的概念及元素的性質(zhì)例1 集合由形如的數(shù)構(gòu)成的，判斷是不

5、是集合中的元素？答案：是解析：由分母有理化得，.由題中集合可知均有，即.點(diǎn)評(píng)：（1）解答本題首先要理解與的含義，然后要弄清所給集合是由一些怎樣的數(shù)構(gòu)成的，能否化成此形式，進(jìn)而去判斷是不是集合中的元素.（2）判斷一個(gè)元素是不是某個(gè)集合的元素，就是判斷這個(gè)元素是否具有這個(gè)集合的元素的共同特征.此類題，主要看能否將所給對(duì)象的表達(dá)式轉(zhuǎn)化為集合中元素所具有的形式.舉一反三：【變式1】設(shè)(1)若aZ，則是否有aS？(2)對(duì)S中任意兩個(gè)元素x1，x2，則x1+x2，x1x2，是否屬于集合S？解：(1)若aZ，則有aS，即n=0時(shí)，xZ，aS；(2)x1，x2S，則m1，n1，m2，n2Z，m1m2+2n1n

6、2Z，m1n2+m2n1Zx1x2S.類型二：元素與集合的關(guān)系例2.用符號(hào)“”或“”填空(1)(2)(3)解析：給定一個(gè)對(duì)象a，它與一個(gè)給定的集合A之間的關(guān)系為，或者，二者必居其一.解答這類問題的關(guān)鍵是：弄清a的結(jié)構(gòu)，弄清A的特征，然后才能下結(jié)論.對(duì)于第(1)題，可以通過使用計(jì)算器，比較各數(shù)值的大小，也可以先將各數(shù)值轉(zhuǎn)化成結(jié)構(gòu)一致的數(shù)，再比較大小；對(duì)于第(2)題，不妨分別令x=3，x=5，解方程；對(duì)于第(3)題，要明確各個(gè)集合的本質(zhì)屬性.(1) (2)令，則令，則(3) (-1，1)是一個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)，且符合關(guān)系y=x2，點(diǎn)評(píng)：第(1)題充分體現(xiàn)了“化異為同”的數(shù)學(xué)思想.另外，“見根號(hào)就平方”也

7、是一種常用的解題思路和方法，應(yīng)注意把握.第(2)題關(guān)鍵是明確集合這個(gè)“口袋”中是裝了些x呢？還是裝了些n呢？要特別注意描述法表示的集合，是由符號(hào)“”左邊的元素組成的，符號(hào)“”右邊的部分表示x具有的性質(zhì).第(3)題要分清兩個(gè)集合的區(qū)別.集合這個(gè)“口袋”是由y構(gòu)成的，并且是由所有的大于或等于0的實(shí)數(shù)組成的；而集合是由拋物線上的所有點(diǎn)構(gòu)成的，是一個(gè)點(diǎn)集.舉一反三：【變式1】 用符號(hào)“”或“”填空（1）若,則 ；-2 .（2）若則 ；-2 .答案：（1）， （2），類型三：集合中元素性質(zhì)的應(yīng)用例3.設(shè)是至少含有兩個(gè)元素的集合，在上定義了一個(gè)二元運(yùn)算“*”（即對(duì)任意的，對(duì)于有序元素對(duì)（a,b）,在中唯一

8、確定的元素與之對(duì)應(yīng)），若對(duì)任意的，有，則對(duì)任意的，下列等式中不恒成立的是（ ）A. B. C. D. 答案： A解析：抓住本題的本質(zhì)恒成立. 只要為中元素即可有. B中由已知即為符合已知條件形式.中即可. D中相當(dāng)于已知中的也正確.只有A不一定正確.點(diǎn)評(píng)：本題應(yīng)緊緊抓住關(guān)系式，即關(guān)系式中有三個(gè)數(shù)，其中有兩個(gè)數(shù)相同且分別在兩邊，此時(shí)關(guān)系式等于中間的數(shù)，只要分析出這個(gè)特點(diǎn)即可解決.舉一反三：【變式1】定義集合運(yùn)算：.設(shè)集合，則集合的所有元素之和為A. 0 B. 6 C. 12 D. 18答案： D解析：，當(dāng)時(shí)， ，于是的所有元素之和為0+6+12=18.點(diǎn)評(píng)：這類試題通過給出新的數(shù)學(xué)概念或新的運(yùn)算

9、方法，在新的情境下完成某種推理證明是集合命題的一個(gè)新方向.常見的有定義新概念、新公式、新運(yùn)算和新法則等類型.例4. ，則M=( )A. 2，3 B. 1，2，3，4 C. 1，2，3，6 D. -1，2，3，4答案：D解析：集合中的元素滿足是整數(shù)，且能夠使是自然數(shù)，所以由aZ，所以-1a4當(dāng)a=-1時(shí)，符合題意；當(dāng)a=0時(shí)，不符合題意；當(dāng)a=1時(shí)，不符合題意；當(dāng)a=2時(shí)，符合題意；當(dāng)a=3時(shí)，符合題意；當(dāng)a=4時(shí)，符合題意.故a=-1，a=2，a=3，a=4為M中元素，即M=-1，2，3，4，選項(xiàng)D正確.高清課程：集合的表示及運(yùn)算 例1例5. 設(shè)集合=x|，當(dāng)集合為單元素集時(shí)，求實(shí)數(shù)的值.答案

10、：0，1解析：由集合中只含有一個(gè)元素可得，方程ax2+2x+1=0有一解，由于本方程并沒有注明是一個(gè)二次方程，故也可以是一次方程，應(yīng)分類討論：當(dāng)a=0時(shí)，可得是一次方程，故滿足題意.當(dāng)a0時(shí)，則為一個(gè)二次方程，所以有一根的含義是該方程有兩個(gè)相等的根，即為判別式為0時(shí)的a的值，可求得為a=1.故a的取值為0，1.例6.已知集合，若，求實(shí)數(shù)的值及集合.答案：，解析：（1）若則.所以，與集合中元素的互異性矛盾，則應(yīng)舍去.（2）若，則或，當(dāng)時(shí)，滿足題意；當(dāng)時(shí)，與集合中元素的互異性矛盾，則應(yīng)舍去.（3）若，則或，由上分析知與均應(yīng)舍去.綜上，集合.點(diǎn)評(píng)：本題中由于1和集合中元素的對(duì)應(yīng)關(guān)系不明確，故要分類討

11、論.此類問題在解答時(shí)，既要應(yīng)用元素的確定性、互異性解題，又要利用它們檢驗(yàn)解的正確與否，特別是互異性，最容易忽視，必須在學(xué)習(xí)中引起足夠的重視.舉一反三：【變式1】已知集合，求實(shí)數(shù)的值答案：解析：當(dāng)，即時(shí)，滿足題意；當(dāng)即，時(shí)，與集合的概念矛盾，不滿足題意舍去，時(shí)， 由上面知，滿足題意故 例7設(shè)是實(shí)數(shù)集，且滿足條件：若，則.（1）若，則中必還有另外兩個(gè)元素；（2）集合不可能是單元素集；（3）集合中至少有三個(gè)不同的元素.答案：（1） （2）略 （3）略解析：（1）若，則，于是，故集合中還含有兩個(gè)元素.（2）若為單元素集，則，即，此方程無實(shí)數(shù)解，與都為集合的元素，則不可能是單元素集.（3）由已知.現(xiàn)只需

12、證明三個(gè)數(shù)互不相等.若方程無解，；若，方程無解，；若，方程無解，故集合中至少有三個(gè)不同的元素.點(diǎn)評(píng)：集合離不開元素，元素是集合的核心，所以解決有關(guān)集合中的探索性問題，可以先從元素入手，作為解題的切入點(diǎn).類型四：集合的表示方法例8試分別用列舉法和描述法表示下列集合：(1)方程的所有實(shí)數(shù)根組成的集合；(2)由大于15小于25的所有整數(shù)組成的集合.答案：；。解析：(1)設(shè)方程的實(shí)數(shù)根為x，并且滿足條件因此，用描述法表示為；方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根因此，用列舉法表示為.(2)設(shè)大于15小于25的整數(shù)為x，它滿足條件，且15x25，因此，用描述法表示為；大于15小于25的整數(shù)有16，17，18，19，20，21

13、，22，23，24，因此，用列舉法表示為.點(diǎn)評(píng)：（1）列舉法表示集合，元素不重復(fù)、不計(jì)次序、不遺漏，且元素與元素之間用“，”隔開.（2）列舉法適合表示有限集，當(dāng)集合中元素的個(gè)數(shù)較少時(shí)，用列舉法表示集合較為方便，而且一目了然.（3）用描述法表示集合時(shí)，要注意代表元素是什么，同時(shí)要注意代表元素所具有的性質(zhì).舉一反三：【變式1】用列舉法表示集合：(1)A=xR|(x-1)(x+2)(x2-1)(x3-8)=0(2)B=(x，y)|x+y=3， xN， yN(3)C=y|x+y=3，xN， yN(4)(5)(6)P=x|x(x-a)=0， aR解析：本題是描述法與列舉法的互化，一定要先觀察描述法中代表元素是什么.(1)A=1，-2，-1，2(2)B=(0，3)，(3，0)，(1，2)，(2，1)(3)C=0，1，2，3(4)D=(0，0)(5)M=0(6)當(dāng)a0時(shí)，P=0，a；當(dāng)a=0時(shí)，P=0.點(diǎn)評(píng)：此例題（2）與（3），（4）與（5）兩組都是考察代表元素的，而（6）考察了集合元素的互異性