相似三角形經(jīng)典講義

1、相似三角形相似三角形 一、本章的兩套定理一、本章的兩套定理 第一套（比例的有關(guān)性質(zhì)）： 涉及概念：第四比例項比例中項比的前項、后項，比的內(nèi)項、外項黃金分割等。 二、有關(guān)知識點：二、有關(guān)知識點： 1.相似三角形定義： 對應(yīng)角相等角相等，對應(yīng)邊成比例對應(yīng)邊成比例的三角形，叫做相似三角形。 2.相似三角形的表示方法：用符號“”表示，讀作“相似于” 。 3.相似三角形的相似比： 相似三角形的對應(yīng)邊的比叫做相似比。 4.相似三角形的預(yù)備定理： 平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交，所截成的三角形與原三角形相似。 5.相似三角形的判定定理： (1)三角形相似的判定方法與全等的判定方法的聯(lián)

2、系列表如下： 類型斜三角形直角三角形 全等三角形的判定SASSSS AAS（ASA ） HL 相似三角形 的判定 兩邊對應(yīng)成 比例夾角相 等 三邊對應(yīng)成 比例 兩角對應(yīng)相 等 一條直角邊 與斜邊對應(yīng) 成比例 從表中可以看出只要將全等三角形判定定理中的“對應(yīng)邊相等”的條件改為“對應(yīng)邊 成比例”就可得到相似三角形的判定定理，這就是我們數(shù)學(xué)中的用類比的方法，在舊知識的基礎(chǔ)上找出新知識并從中 探究新知識掌握的方法。 6.直角三角形相似： (1)直角三角形被斜邊上的高分成兩個直角三角形和原三角形相似。 (2)如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應(yīng)成比例，那么這兩個直

3、 角三角形相似。 7.相似三角形的性質(zhì)定理： (1)相似三角形的對應(yīng)角相等對應(yīng)角相等。 (2)相似三角形的對應(yīng)邊成比例應(yīng)邊成比例。 (3)相似三角形的對應(yīng)高高線的比，對應(yīng)中線中線的比和對應(yīng)角平分線應(yīng)角平分線的比都等于相似比。 (4)相似三角形的周長周長比等于相似比。 (5)相似三角形的面積面積比等于相似比的平方。 8.相似三角形的傳遞性 如果ABCA1B1C1，A1B1C1A2B2C2，那么ABCA2B2C2 三、注意三、注意 1、相似三角形的基本定理，它是相似三角形的一個判定定理，也是后面學(xué)習(xí)的相似三 角形的判定定理的基礎(chǔ)，這個定理確定了相似三角形的兩個基本圖形“A”型和“ 8 ”型。 c

4、d a b d b c a a c b d 或 合比性質(zhì)： d dc b ba bcad d c b a （比例基本定理） b a ndb mca ndb n m d c b a :)0(等比性質(zhì) 在利用定理證明時要注意 A 型圖的比例，每個比的前項是同一個三 AD AB DE BC AE AC 角形的三條邊，而比的后項是另一個三角形的三條對應(yīng)邊，它們的位置不能寫錯，尤其是要防止寫成 的錯誤。 AD DB DE BC AE EC 2、 相似三角形的基本圖形 .平行線型：即 A 型和 X 型。 .相交線型 三角形相似及比例式或等積式。 4、添加輔助平行線是獲得成比例線段和相似三角形的重要途徑。

5、5、對比例問題，常用處理方法是將“一份”看著 k k;對于等比問題，常用處理辦法是設(shè)“公比公比”為為 k k。 相似三角形測試卷相似三角形測試卷 一、選擇題一、選擇題 1 1下列命題中，正確的是（ ） A任意兩個等腰三角形相似 B任意兩個菱形相似 C任意兩個矩形相似 D任意兩個等邊三角形相似 2、 已知點 C 在直線 AB 上，且線段 AB=2BC，則 AC:BC=（ ） A 1 B 2 C 3 D 1 或 3 3、如圖，在長為 8 cm、寬為 4 cm 的矩形中，截去一個矩形，使得留下的矩形與原矩形相似，則留下矩形的面積是（ ） A 2 cm2 B 4 cm2 C 8 cm2 D 16 cm

6、2 4、ABC 中，DE/BC，且SADE:S 梯形 BCED=1:2，則 DE:BC 的值是（ ） A1:2 B1:3 C1: D1:23 5、如圖ABCD 中,Q 是 CD 上的點，AQ 交 BD 于點 P，交 BC 的延長線于點 R，若 DQ:CQ=4:3，則 AP:PR=（ ） A4:3 B4:7 C3:4 D3:7 6、如圖，梯形 ABCD 的對角線相交于點 O，有如下結(jié)論： AOBCOD，AODBOC，SAOD=SBOC，SCOD:SAOD=DC:AB；其中一定正確的有（ ） A1 個 B2 個 C3 個 D4 個 7 、如圖，ABCD 中，E 為 AD 的中點已知DEF 的面積為

7、 S，則DCF 的面積為（ ） AS B2S C3S D4 8、在中華經(jīng)典美文閱讀中，小明同學(xué)發(fā)現(xiàn)自己的一本書的寬與長之比為黃金比。已知這本書的長為 20cm，則它的寬 約為 A12.36cm B.13.6cm C.32.36cm D.7.64c C E D B A C A D B. C B D E A 第 3 題 第 5 題 第 6 題 第 7 題 9、如圖，中，是上一點，RtABCABAC3AB 4AC PBC 作于，于，設(shè)，則（ ）PEABEPDACDBPxPDPE ABCD3 5 x 4 5 x 7 2 2 1212 525 xx 10、如圖，在ABCD 中，E 是 BC 的中點，且A

8、EC=DCE，下列結(jié)論不正確的是( ) A、BF= 2 1 DF B、SFAD=2SFBE C、四邊形 AECD 是等腰梯形 D、AEB=ADC 二、填空題二、填空題 11、如圖，將三個全等的正方形拼成一個矩形 ADHE，則：ADEACEABE 等于 度_ 12、一張等腰三角形紙片，底邊長 l5cm，底邊上的高長 225cm現(xiàn)沿底邊依次從下往上裁剪寬度均為 3cm 的矩形紙 條，如圖所示已知剪得的紙條中有一張是正方形，則這張正方形紙條是第_張 13、如圖中，垂足是 D，下列條件中能證明是直角三角形的有 （只填序ABCABCD ABC 號） 。 90BA 222 BCACAB BD CD AB

9、AC BDADCD 2 14、如圖，點 M 是ABC 內(nèi)一點，過點 M 分別作直線平行于ABC 的各邊，所形成的三個小三角形1、2、3（圖 中陰影部分）的面積分別是 4，9 和 49則ABC 的面積是 _ 第 11 題 第 12 題 第 13 題 第 14 題 三、解答題三、解答題 15、 （1）已知：，求 的值 151110 accbba cba: 16、如圖，在平行四邊形 ABCD 中，過點 A 作 AEBC，垂足為 E，連接 DE，F(xiàn) 為線段 DE 上一點，且AFEB.求 證：ADFDEC若 AB4,AD3,AE3,求 AF 的長.3 O C B D A R Q P D CB A A D

10、 C P B E A BC D E F H G FE DCB A D C BA 17、已知ABC，延長BC到D，使CDBC取AB的中點F，連結(jié)FD交AC于點E （1）求 AE AC 的值；（2）若ABaFBEC，求AC的 長 18、如圖，已知：，求證： DE BC AE AC AD AB BDACCEAB 19.如圖，在ABC 中,AB=AC=1,點 D、E 在直線 BC 上運動，設(shè) BD=,CE=.如果BAC=30，DAE=105，試確定xy 與之間的函數(shù)關(guān)系。yx 20.已知，如圖，梯形 ABCD 中，ABDC，梯形外一點 P，連結(jié) PA、PB 分別交 DC 于 F、G，且 DF=FG，對角 線 BD 交 AF 于 E，求證：APPF = AEEF 21、E 為正方形 ABCD 的邊上的中點，AB=1，MNDE 交 AB 于 M，交 DC 的 延長線于 N，求證：EC = DCCN；CN=； NE = ； 2 4 1 4 5 E D C B A E A D BC A B CD F P G E AB C D E M N 22、如圖中，邊 BC=60，高 AD=40，EFGH 是內(nèi)接矩形，HG 交 AD 于 P，設(shè) HE=x,求矩形 EFGH 的周長 y 與 x 的ABC 函數(shù)關(guān)系式；求矩形 EFGH 的面積 S 與 x 的函數(shù)關(guān)系式。 23 正方形邊長為 4，、分別是