17.1勾股定理（一）

1、第十七章 勾股定理,17.1 勾股定理（1）,畢達(dá)哥拉斯(公元前572-前492年),古希臘著名的哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家。相傳有一次他在朋友家做客時(shí)，發(fā)現(xiàn)朋友家用磚鋪成的地面中反映了A、B、C三者面積之間的數(shù)量關(guān)系，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)直角三角形三邊的某種數(shù)量關(guān)系,我們也來觀察右圖的地面，你能發(fā)現(xiàn)A、B、C面積之間有什么數(shù)量關(guān)系嗎？,SA+SB=SC,每塊磚都是等腰直角三角形哦,（圖中每個(gè)小方格是1個(gè)單位面積）,1.A中含有_個(gè)小方格， 即A的面積是 個(gè)單位面積,B的面積是 個(gè)單位面積,C的面積是 個(gè)單位面積,9,9,18,9,探究一：你能發(fā)現(xiàn)圖1中正方形A、B、C的面積之間有什么數(shù)量關(guān)系嗎？,結(jié)論：圖

2、1中三個(gè)正方形A，B，C的面積之間的數(shù)量關(guān)系是:,SA+SB=SC,探究二：SA+SB=SC在圖2中還成立嗎？,結(jié)論：仍然成立。,A的面積是 個(gè)單位面積,B的面積是 個(gè)單位面積,C的面積是 個(gè)單位面積,25,16,9,你是怎樣得到正方形C的面積的？與同伴交流交流,（圖中每個(gè)小方格是1個(gè)單位面積）,A,B,C,問題2:式子SA+SB=SC能用直角三角形的三邊a、b、c來表示嗎?,問題4:那么直角三角形三邊a、b、c之間的關(guān)系式是:,至此，我們?cè)诰W(wǎng)格中驗(yàn)證了:直角三角形兩條直角邊上的正方形面積之和等于斜邊上的正方形面積，即SA+SB=SC,a2 + b2 = c2,a2 + b2 = c2,問題1

3、:去掉網(wǎng)格結(jié)論會(huì)改變嗎？,問題3:去掉正方形結(jié)論會(huì)改變嗎？,命題1：如果直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為a，b,斜邊長(zhǎng)為c，那么a2+b2=c2.,我們猜想：,是不是所有的直角三角形都具有這樣的結(jié)論呢？光靠實(shí)驗(yàn)和猜想還不能把問題徹底搞清楚。 這就需要我們對(duì)一般的直角三角形進(jìn)行證明下面我們就一起來探究，看一看我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽是怎樣證明這個(gè)命題的,三、拼圖證明,“趙爽弦圖”表現(xiàn)了我國(guó)古人對(duì)數(shù)學(xué)的鉆研精神和聰明才智，是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的驕傲。因此，當(dāng) 2002年第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)在北京召開時(shí)， “趙爽弦圖”被選作大會(huì)會(huì)徽。,趙爽拼圖證明法：,小組活動(dòng)：仿照課本中趙爽的思路，只剪兩刀，將兩個(gè)連體正方形，

4、拼成一個(gè)新的正方形.,b a,M,N,P,剪、拼過程展示：,用趙爽弦圖證明勾股定理,=,“趙爽弦圖”,現(xiàn)在，我們已經(jīng)證明了命題1的正確性，在數(shù)學(xué)上，經(jīng)過證明被確認(rèn)為正確的命題叫做定理，所以命題1在我國(guó)叫做勾股定理。,勾股定理：如果直角三角形兩直角邊長(zhǎng)分別為a、b,斜邊長(zhǎng)為c，那么 a2 + b2 = c2,即：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。,用拼圖法證明,S大正方形=(a+b)2=a2+b2+2ab S大正方形=4S直角三角形+ S小正方形 =4 ab+c2 =c2+2ab,a2+b2+2ab=c2+2ab,a2 +b2 =c2,證法一：,a,b,c,S大正方形c2,S小正方形（b

5、-a）2,S大正方形4S三角形S小正方形,弦圖,現(xiàn)在我們一起來探索“弦圖”的奧妙吧！,證法二：,1876年4月1日，伽菲爾德在新英格蘭教育日志上發(fā)表了他對(duì)勾股定理的這一證法。 1881年，伽菲爾德就任美國(guó)第二十任總統(tǒng)。后來，人們?yōu)榱思o(jì)念他對(duì)勾股定理直觀、簡(jiǎn)捷、易懂、明了的證明，就把這一證法稱為“總統(tǒng)”證法。,證法三：,a,a,b,b,c,c,伽菲爾德證法:, a2 + b2 = c2,勾股定理（gou-gu法則),如果直角三角形兩直角邊分別為a、b,斜邊為c，那么,即 直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。,勾,股,弦,兩千多年前，古希臘有個(gè)哥拉,斯學(xué)派，他們首先發(fā)現(xiàn)了勾股定理，因此,在國(guó)

6、外人們通常稱勾股定理為畢達(dá)哥拉斯,年希臘曾經(jīng)發(fā)行了一枚紀(jì)念票。,定理。為了紀(jì)念畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，1955,勾 股 世 界,國(guó)家之一。早在三千多年前，,國(guó)家之一。早在三千多年前，,國(guó)家之一。早在三千多年前，,國(guó)家之一。早在三千多年前，,國(guó)家之一。早在三千多年前，,國(guó)家之一。早在三千多年前，,國(guó)家之一。早在三千多年前，,國(guó)家之一。早在三千多年前,兩千多年前，古希臘有個(gè)畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，他們首先發(fā)現(xiàn)了勾股定理，因此在國(guó)外人們通常稱勾股定理為畢達(dá)哥拉斯定理。為了紀(jì)念畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，1955年希臘曾經(jīng)發(fā)行了一枚紀(jì)念郵票。,我國(guó)是最早了解勾股定理的國(guó)家之一。早在三千多年前，周朝數(shù)學(xué)家商高就提出，將一根直尺折成

7、一個(gè)直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三、股四、弦五”，它被記載于我國(guó)古代著名的數(shù)學(xué)著作周髀算經(jīng)中。,勾股史話,商高定理： 商高是公元前十一世紀(jì)的中國(guó)人。當(dāng)時(shí)中國(guó)的朝代是西周，是奴隸社會(huì)時(shí)期。在中國(guó)古代大約是戰(zhàn)國(guó)時(shí)期西漢的數(shù)學(xué)著作周髀算經(jīng)中記錄著商高同周公的一段對(duì)話。商高說：“故折矩，勾廣三，股修四，經(jīng)隅五?！鄙谈吣嵌卧挼囊馑季褪钦f：當(dāng)直角三角形的兩條直角邊分別為3（短邊）和4（長(zhǎng)邊）時(shí)，徑隅（就是弦）則為5。以后人們就簡(jiǎn)單地把這個(gè)事實(shí)說成“勾三股四弦五”，所以在我國(guó)人們就把這個(gè)定理叫作 “商高定理”。,商高定理就是勾股定理哦！,勾股定理給出了直角三角形三邊之間的關(guān)系，即兩直

8、角邊的平方和等于斜邊的平方。,c,b,a,公式變形,c2=a2 + b2,a2=c2b2,b2 =c2-a2,例題：求出下列直角三角形中未知邊的長(zhǎng)度.,解：（1）在RtABC中,由勾股定理得：AB2=AC2+BC2,X2 =36+64,x2 =100,x2=62+82,x0,y2+52=132,y2=132-52,y2=144, y=12,（2）在RtABC中,由勾股定理得:AC2+BC2=AB2,y0,X=10,四、實(shí)踐應(yīng)用,方法總結(jié)：利用勾股定理建立方程.,課堂 練 習(xí),1、求下圖中字母所代表的正方形的面積。,225,400,A,81,225,B,625,144,2.求下列圖中表示邊的未知

9、數(shù)x、y、z的值.,81,144,x,y,z,做一做,練習(xí)1：圖中已知數(shù)據(jù)表示面積，求表示邊的未知數(shù)x、y的值.,看誰算得快,練習(xí)2：已知S1=1，S2=3， S3=2，S4=4 , 求S5 、S6 、S7的值.,看誰算得快,3、求出下列直角三角形中未知邊的長(zhǎng)度,比一比看看誰算得快！,4.求下列直角三角形中未知邊的長(zhǎng):,可用勾股定理建立方程.,方法小結(jié):,8,x,17,16,20,x,12,5,x,1、求下列圖中字母所表示的正方形的面積.,=625,=144,五、反饋評(píng)價(jià),2、如圖，受臺(tái)風(fēng)影響，一棵樹在離地面4米處斷裂，樹的頂部落在離樹跟底部3米處，這棵樹折斷前有多高？,3、求下列直角三角形中

10、未知邊的長(zhǎng).,、一個(gè)直角三角形的三邊長(zhǎng)為三個(gè)連續(xù)偶數(shù),則它的三邊長(zhǎng)分別為 ( ),2、4、6, 4、6、8,B,試一試:, 6、8、10, 8、10、12,4、湖的兩端有A、兩點(diǎn)，從與A方向成直角的公元前方向上的點(diǎn)C測(cè)得CA=130米,CB=120米,則AB為( ),A.50米 B.120米 C.100米 D.130米,130,120,?,A,1、判斷題： 1)直角三角形三邊分別為 a, b, c ，則一定滿足下面的式子： a2+b2 =c2( ) 2) 直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別是3和4，則第三邊長(zhǎng)是5. ( ),能力比拼,1、本節(jié)課我們學(xué)到了什么？,通過學(xué)習(xí),我們知道了著名的勾股定理，掌握了從特殊到一般的探索方法，還