初等數(shù)學(xué)研究(八)軌跡

1、.,1,第八講,軌跡及探求,.,2,一、軌跡的意義 1.軌跡定義：滿足某種條件C的一切點(diǎn)所構(gòu)成的圖形F，稱為符合條件C的點(diǎn)的軌跡。 2.關(guān)于軌跡的證明：要判定一個(gè)圖形F是符合條件C的點(diǎn)軌跡，必須從以下兩方面去證明： (1)符合條件C的所有點(diǎn)都在圖形F上；(完備性) (2)圖形F上的點(diǎn)都符合條件C。(純粹性),.,3,完備性、純粹性的等價(jià)命題 (1)完備性：不在圖形F上的點(diǎn)都不符合條件C； (2)純粹性：不符合條件C的點(diǎn)都不在圖形F上。 也就是說(shuō)(1) (1)，(2) (2)， 所以，軌跡的證明可?。?1)(2)；(1)(2)；(1)(2)；(1)(2)四種不同的形式(其實(shí)質(zhì)相同) 一般先選擇(

2、1)(2)證明，非必須，一般不用其他方法。,.,4,例題選講,例1.求證： 對(duì)定線段AB張的角等于定角的點(diǎn)P的軌跡，是以AB為弦，所含的圓周角等于的兩個(gè)?。夯mB和弧AmB。,P.,P,.,5,二、原人教版中學(xué)教材中六個(gè)基本軌跡定理,中學(xué)幾何課本中的六個(gè)基本軌跡定理： 1、2、3、4、5、6 這六個(gè)基本軌跡定理，在以后的證(解)題或其他軌跡命題的證明中，可直接引用而不必證明。,.,6,1.到兩個(gè)已知點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)的軌跡,是 連結(jié)這兩點(diǎn)的線段的垂直平分線; 2.和兩條相交直線距離相等的點(diǎn)的軌跡,是 平分這兩條已知直線所成角的兩條互相垂直的直線; 3.和兩條平行直線距離相等的點(diǎn)的軌跡,是 和這

3、兩條直線平行并且距離相等的一條直線; 4.和一條直線的距離等于定長(zhǎng)線段的點(diǎn)的軌跡,是 和這條直線平行并且距離等于定長(zhǎng)的兩條直線; 5.和已知點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)線段的點(diǎn)的軌跡,是 以已知點(diǎn)為圓心,以定長(zhǎng)線段為半徑的圓; 6.對(duì)一條線段所張的角等于定角的點(diǎn)的軌跡,是 以這條線段為弦,所含的圓周角等于這定角的兩個(gè)弧.,.,7,三、軌跡命題的三種類型,軌跡命題的一般形式是“具有性質(zhì)的點(diǎn)的軌跡是圖形”。其中命題的題設(shè)部分就是軌跡的條件C，結(jié)論部分就是軌跡的圖形F。由于對(duì)軌跡的圖形F的敘述的方式不同，軌跡命題通常分為三種類型。,.,8,1.第一類型,命題的結(jié)論中明白的給出了軌跡圖形的形狀、大小(如果有大小可

4、言)和位置。 如：平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的軌跡是以兩定點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的垂直平分線。,這類命題具有定理的形式，解題時(shí)只需要進(jìn)行證明即可。證明步驟是： 證完備性；證純粹性；下結(jié)論。,.,9,2.第二類型,命題的結(jié)論中給出了軌跡圖形的形狀，而對(duì)其大小(如果有大小可言)和位置敘述不完全，或沒(méi)有涉及。 如：平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的軌跡，是一條直線。,.,10,這類軌跡命題同樣具有定理的形式。但在解題方面與第一類型又有所不同。首先需要探知軌跡的大小和位置。因此，解決這類命題的方法步驟大致為： 探求軌跡圖形的位置和大小，使其基本輪廓確定； 證明包括證完備性、純粹性、下結(jié)論 討論：即研究給定的條件

5、對(duì)軌跡圖形的影響。(有些特殊的點(diǎn)、線問(wèn)題),.,11,3.第三類型,命題中只給出了題設(shè)條件，沒(méi)有結(jié)論，屬于問(wèn)題形式，故稱為軌跡問(wèn)題。 如:求平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)的軌跡。,解決此類問(wèn)題的方法步驟與第二類型軌跡命題類似：探求軌跡圖形的形狀、和位置；證明；討論。探求過(guò)程可能較繁難，這是軌跡命題中最難的一種類型。,.,12,四、軌跡命題舉例(一),第一類型,例3. 一底邊固定而其鄰邊為定長(zhǎng)的平行四邊形的對(duì)角線的交點(diǎn)的軌跡，為以固定底邊的中點(diǎn)為圓心，以定長(zhǎng)為直徑的圓。,.,13,已知：AB為定線段，另一定長(zhǎng)為 l (如圖)，ABCD是以線段AB為一邊、鄰邊 AD=l 的一平行四邊形，O是以AB

6、中點(diǎn)為圓心， 為半徑的圓。 求證：這樣的平行四邊形的對(duì)角線交點(diǎn)的軌跡就是O.,P,.,14,證明：(1)完備性 設(shè)P為平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD的交點(diǎn)，連OP，則因O是AB的中點(diǎn)，P是BD的中點(diǎn)，知OP是ABD的中位線，從而 ，即點(diǎn)P在o上,P,.O,.,15,(2)純粹性 設(shè)P是O上的任一點(diǎn)，連AP并延長(zhǎng)至C點(diǎn)，使PC=AP,連BP并延長(zhǎng)到D點(diǎn)，使PD= BP，則ABCD是一個(gè)平行四邊形，對(duì)角線交點(diǎn)為P。,. P,由于O、P分別是AB、BD的中點(diǎn)，因而AD=2OP，而P在O上，OP= 。 因此，AD=2OP=2 = l 。 即O上任一點(diǎn)(與AB的交點(diǎn)除外)均為以AB為一邊，定長(zhǎng)l為

7、鄰邊的平行四邊形的對(duì)角線交點(diǎn)。 綜合 (1)、(2)命題得證。,.,16,關(guān)于軌跡上的特殊點(diǎn),極限點(diǎn)題設(shè)圖形處于極限位置時(shí)產(chǎn)生的點(diǎn)； 臨界點(diǎn)在軌跡端點(diǎn)處的極限點(diǎn)； 終止點(diǎn)處在軌跡端點(diǎn)位置，本身又屬于軌跡，不是臨界點(diǎn)。 這些特殊點(diǎn)對(duì)于確定軌跡圖形的形狀、大小和位置有時(shí)起著決定性作用，通常在解決軌跡的討論部分，應(yīng)指出哪些是特殊點(diǎn)才算完整。 靜點(diǎn)相對(duì)于軌跡上的一般動(dòng)點(diǎn)，位置確定的點(diǎn)。 另外還有孤立點(diǎn)等。,.,17,第二類型,解決這類命題與第一類命題比較，需增加探求過(guò)程，即通過(guò)合理的猜測(cè)或預(yù)測(cè)確定軌跡圖形的大小(有大小可言)和位置，再如同第一類命題進(jìn)行證明、討論。,.,18,例4. 和兩個(gè)定點(diǎn)距離等于

8、定比(不等于1)的點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓周，稱為阿氏圓。 已知：A、B為兩定點(diǎn)。求：點(diǎn)P的軌跡，使 PAPB=m(常數(shù)) (m1),探求：倘若P點(diǎn)合乎條件，易知P點(diǎn)關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)也合乎條件，即所求圓周應(yīng)以AB為對(duì)稱軸，那么圓周直徑就在直線 AB上了。,.A,.B,P.,.,19,在線段AB及延長(zhǎng)線上分別取C、D，并使ACCB=ADDB=m,則C、D合乎條件，故軌跡可能是以CD為直徑的圓周。,連PC、PD，則PC、PD分別為PAB中APB的內(nèi)、外角平分線，因而PCPD，可見(jiàn)P確為以CD為直徑的圓周上一點(diǎn)。,.C,.D,.,20,證明：(1)完備性 由探求可知，凡符合條件的點(diǎn)都在以CD為直徑的圓上

9、。,F,(2)純粹性 設(shè)P是以CD為直徑的圓周上任一點(diǎn)，連PA、PB 、PC、PD，過(guò)點(diǎn)C作直線平行于PD，分別交PA、PB于E、F兩點(diǎn)。 則ECPD=ACAD， CFPD=CBBD .,由于ACCB=ADDB=m； 所以ACAD=CBBD(交換內(nèi)項(xiàng))； 則ECPD=CFPD；于是 EC=CF. 又 PCPD，EFPD .PCEF . 從而PC平分APB， 因此PAPB=ACCB=m; 即點(diǎn)P符合條件，命題得證。,E,P.,.,21,第三類型,軌跡命題的第三類型解決起來(lái)比第二類型更復(fù)雜一些，主要體現(xiàn)在探求上，因?yàn)槊}中并未告知圖形的形狀、大小和位置，均需由解題者探求、預(yù)測(cè)。,.,22,常用的五

10、種探求方法,1.性質(zhì)預(yù)測(cè)法. 2.找特殊點(diǎn)法. 3.初等變換法. 4.描跡法. 5.間接求跡法.,.,23,1.性質(zhì)預(yù)測(cè)法,主要是根據(jù)軌跡的對(duì)稱性和范圍來(lái)探求軌跡。,例7.從已知半圓直徑AB延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)C，作切線CT及OCT的平分線CP，從圓心O作這條角平分線的垂線，求定垂足P的軌跡。,.,24,過(guò)O作直徑AB的垂半徑OD，則已知圖形關(guān)于OD對(duì)稱；由于條件也關(guān)于OD對(duì)稱，故軌跡應(yīng)關(guān)于OD對(duì)稱。當(dāng)點(diǎn)C趨近于B時(shí)，所論角平分線趨近于BD，動(dòng)點(diǎn)P趨近于BD的中點(diǎn)G，因而點(diǎn)G及和G關(guān)于OD對(duì)稱的點(diǎn)H(AD的中點(diǎn))為軌跡的兩個(gè)端點(diǎn)。,M ,H ,探求：,G,N,E,.,25,2.找特殊點(diǎn)法,探求軌跡時(shí)

11、可以使其動(dòng)點(diǎn)移動(dòng)到一些特殊的位置上，從而求軌跡上相應(yīng)的特殊點(diǎn)，然后再根據(jù)這些特殊點(diǎn)的位置來(lái)判斷所求的圖形，這種方法稱為特殊點(diǎn)法。這種方法常同性質(zhì)預(yù)測(cè)法一起使用。,.,26,例8.AB是定半圓所在圓的直徑，O是圓心，C是半圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，CDAB，D是垂足，在半徑OC上截取OP使OPCD，求P點(diǎn)的軌跡。(如圖),C,P,O,.,27,M ,探求：由已知條件看出，動(dòng)點(diǎn)P隨C點(diǎn)的移動(dòng)而移動(dòng)。當(dāng)C點(diǎn)移動(dòng)到A點(diǎn)的位置時(shí)，OPCD0，即點(diǎn)P與圓心O重合，故而O是軌跡上一個(gè)特殊點(diǎn)。當(dāng)C點(diǎn)移動(dòng)到AB弧的中點(diǎn)M的位置時(shí)，OPCDOM，即P點(diǎn)與M點(diǎn)重合，因此M是軌跡上的又一特殊點(diǎn)。,.,28,給定的半圓及條件皆關(guān)于

12、OM對(duì)稱，所以軌跡也應(yīng)以O(shè)M為對(duì)稱軸。,設(shè)P是滿足條件的任意點(diǎn)，連PM，則CDOP，OCOM，OCDMOP，有 OCDMOP，OPMCDO90,故可預(yù)測(cè)所求軌跡應(yīng)為以O(shè)M為直徑的圓。,.,29,3.描跡法,按照題設(shè)條件作出軌跡若干點(diǎn)，再用光滑的曲線(直線)把它們連接起來(lái)，初步得到所求軌跡的大致形狀和位置，然后按照定形、定位的條件來(lái)確定軌跡。這種方法稱為描跡法。,請(qǐng)大家留意關(guān)于描跡法的注意點(diǎn)！,.,30,例12三角形有一內(nèi)角固定，夾此角的兩邊的和為定值，求第三邊中點(diǎn)的軌跡。,題設(shè)：在ABC中，角A的位置固定，ABACl(定長(zhǎng))，P為BC的中點(diǎn)。 求：點(diǎn)P的軌跡。,.,31,探求：,先尋求軌跡中的

13、一些特殊點(diǎn)。當(dāng)C點(diǎn)移動(dòng)到A點(diǎn)處，則P在P1位置：AP1 ；當(dāng)B點(diǎn)移動(dòng)到A點(diǎn)處，則P在P1位置，AP1 。因此，P1與P1為軌跡的臨界點(diǎn)，因而軌跡可能是線段或圓弧。,P1 , P1,.,32,繼續(xù)探求：,B2 , C2,B3 , C3,P3 ,順次連接P1、P2、P3、P1，可以看到它們大致在一條直線上，故可猜測(cè)：軌跡的圖形可能是以P1、P1為端點(diǎn)的線段。證明可參看趙振威本P144例2，請(qǐng)大家自行完成, P2,.,33,4間接求跡法,(1)直接求跡法 (2)間接求跡法 通過(guò)類比、比較由熟知命題或熟知圖形推測(cè)軌跡圖形的方法，稱為間接求跡法。,.,34,例3一個(gè)動(dòng)點(diǎn)向定三角形的三邊引垂線，并且三個(gè)垂足是共線的，求這個(gè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡。,題設(shè)：ABC為定三角形，P為動(dòng)點(diǎn)，E、F、G分別是從P向ABC的三邊AB、BC、CA引垂線所得的垂足，并且E、F、G三點(diǎn)共線。 求：P點(diǎn)的軌跡。, P,E ,F, G,.,35,小結(jié)： 前面共介紹了初等幾何中探求軌跡問(wèn)題常見(jiàn)的五種方法，但在探求軌跡