第六章 自由電子費(fèi)米氣體.ppt

1、第六章 自由電子費(fèi)米氣體 (金屬自由電子論) Free Electron Fermi Gas,2,金屬元素有大約75種之多，在自然界大約有2/3以上的固態(tài)純?cè)貙儆诮饘佟?人類社會(huì)很早就學(xué)會(huì)了使用金屬并以其作為人類進(jìn)步的標(biāo)志，如過去的銅器時(shí)代、鐵器時(shí)代等。 金屬具有良好的導(dǎo)電、導(dǎo)熱、易加工及特殊的金屬光澤等特點(diǎn)，但為什么這些元素具有如此的特點(diǎn)？其深層次的原因是什么？,3,許多固體具有導(dǎo)電性，這意味著在這固體內(nèi)有許多電子并沒有真正被原子所束縛住，相反的這些電子可以在固體內(nèi)遨游。 具有導(dǎo)電性的固體可被區(qū)分成兩類，那便是金屬與半導(dǎo)體。 在這章節(jié)內(nèi)我們將只針對(duì)金屬進(jìn)行討論。,4,6.1 金屬自由電子論

2、 的物理模型,5,1. Drude的金屬自由電子論,Drude的經(jīng)典理論建立的歷史背景: 1870年前后，玻爾茲曼、麥克斯韋等建立了氣體分子運(yùn)動(dòng)論和統(tǒng)計(jì)理論；1897年，T.T.Thomson發(fā)現(xiàn)電子，使得人們輕易就可以猜測出金屬導(dǎo)電的機(jī)制。 在總結(jié) 金屬本身總是具有高電導(dǎo)率、高熱導(dǎo)率和高的反射率的實(shí)驗(yàn)事實(shí)的基礎(chǔ)上，Drude于1900年建立了Drude模型，主要研究金屬的電導(dǎo)和熱導(dǎo)問題。,6,1. Drude的金屬自由電子論,Drude的經(jīng)典理論: 自由電子是經(jīng)典離子氣體，服從玻爾茲曼分布(速度分布)，與中性稀薄氣體一樣去處理，完全套用經(jīng)典氣體模型，認(rèn)為電子之間無相互作用，同時(shí)也不考慮離子實(shí)

3、勢場的作用。 這樣一個(gè)簡單的物理模型處理金屬的許多動(dòng)力學(xué)問題是成功的，特別是對(duì)我們理解簡單金屬的許多性質(zhì)是有幫助的。,7,1）金屬晶體中的傳導(dǎo)電子只與離子實(shí)發(fā)生碰撞（后面可以看到，電子與電子之間的碰撞幾率基本可以忽略），忽略了離子實(shí)與傳導(dǎo)電子之間的庫侖相互作用，稱為自由電子近似（free electron approximation）。 2）忽略了電子與電子之間的庫侖排斥相互作用，成為獨(dú)立電子近似（independent electron approximation）。,Drude經(jīng)典理論的基本假設(shè):,將金屬中高濃度（1022-1023/cm3)的價(jià)電子看作理想氣體，其基本假設(shè)為：,8,4）一

4、個(gè)電子與離子實(shí)兩次碰撞之間的平均時(shí)間間隔稱為弛豫時(shí)間，它與電子的速度和位置無關(guān)，稱為弛豫時(shí)間近似（relaxation approximation）。,3） 傳導(dǎo)電子簡單地隨機(jī)的和正離子實(shí)相碰撞(受正離子實(shí)的散射)且碰撞是瞬時(shí)的，每次碰撞都急劇地改變傳導(dǎo)電子的速度，但碰后電子的速度只與碰撞地點(diǎn)的溫度有關(guān)，而與碰前速度無關(guān)。電子只是通過碰撞與周圍環(huán)境達(dá)到熱平衡。在相繼的兩次碰撞之間，電子做直線運(yùn)動(dòng)，遵循牛頓第二定律，稱為碰撞近似（collision approximation）。,9,特魯?shù)履Ｐ偷膽?yīng)用,1）金屬的直流電導(dǎo)金屬晶體內(nèi)的電子運(yùn)動(dòng)類似理想氣體分子的運(yùn)動(dòng)，因此電流密度為 j = -nev

5、平,n 金屬導(dǎo)體內(nèi)的電子數(shù)密度,v平 電子運(yùn)動(dòng)的平均定向速度,討論： 外電場E=0時(shí)， v平=0 電子運(yùn)動(dòng)是隨機(jī)的凈定向電流為零，對(duì)電流密度沒有貢獻(xiàn),10,me電子的質(zhì)量 t 傳導(dǎo)電子與離子實(shí)發(fā)生碰撞的平均自由時(shí)間,歐姆定律,外電場E 0時(shí)， v平 0 產(chǎn)生凈定向電流 在外場E作用下，考慮電子每一次碰撞后其運(yùn)動(dòng)方向是隨機(jī)的，所以電子的初速度對(duì)平均速度是沒有貢獻(xiàn)的。,因此，電子平均速度v平起源于在外場E作用下，電子在連續(xù)兩次碰撞的平均時(shí)間間隔內(nèi)，電子附加上的一個(gè)速度：,11,實(shí)驗(yàn)測定金屬的電阻率r，來估計(jì)平均自由時(shí)間t,2）金屬的平均自由時(shí)間和平均自由程,平均自由程l (電子在連續(xù)兩次碰撞之間的

6、平均運(yùn)動(dòng)距離) 以下應(yīng)該不是用v平來表示速度,根據(jù)經(jīng)典的能量均分定律，有,12,free electron approximation 離子實(shí)（金屬原子間距）大約也就是這個(gè)量級(jí)，可以看出，與Drude模型的假設(shè)比較吻合。 但實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)金屬中電子的平均自由程要比以上特 魯?shù)履Ｐ偷墓浪阒荡蟮枚唷u： T=4K， 也就是Drude模型當(dāng)中的假設(shè)并不是適用于一切情況。,13,問 題,在固定電場中，如何推導(dǎo)電子動(dòng)量隨時(shí)間的變化？ 直流電導(dǎo)率的推導(dǎo)以及可否直接用于交流電導(dǎo)率的推導(dǎo)？為什么？ 怎么用此模型來考慮焦耳熱的問題？,14, 設(shè)單位體積內(nèi)的電子數(shù)為n，則電子氣系統(tǒng)的內(nèi)能密 度為, 每個(gè)電子具有3個(gè)

7、自由度，每個(gè)自由度具有kBT/2的 平均能量,特魯?shù)履Ｐ蛯⒔饘僦械碾娮右曌鹘?jīng)典粒子。根據(jù)經(jīng)典的能量均分定律：,3）金屬的比熱,電子氣的熱容：,大多數(shù)金屬,高溫下與晶格振動(dòng)的貢獻(xiàn)相當(dāng)， 這與實(shí)驗(yàn)結(jié)果不符。,15,1904年，洛倫茲發(fā)展了該模型，將麥克斯韋玻爾茲曼統(tǒng)計(jì)規(guī)律引人，認(rèn)為電子速度服從麥克斯韋玻爾茲曼統(tǒng)計(jì)分布律。,4）特魯?shù)履Ｐ偷陌l(fā)展：,5）特魯?shù)履Ｐ偷某晒εc失敗,成功之處： 經(jīng)典的特魯?shù)侣鍌惼澴杂呻娮幽Ｐ蛷奈⒂^上定性的解釋了金屬的高電導(dǎo)率、高熱導(dǎo)率、霍爾效應(yīng)以及某些光學(xué)性質(zhì)。,16,獲得的平均自由程和熱容與實(shí)驗(yàn)結(jié)果嚴(yán)重不符，實(shí)驗(yàn)上熱容僅是理論值的1%(電子參與導(dǎo)電過程，但對(duì)熱導(dǎo)好像沒有參

8、與，為什么？）；在處理磁化率等問題上也遇到根本性的困難。,不足之處：,不足之處產(chǎn)生的原因分析 經(jīng)典理論在微觀世界的不適用,17,量子力學(xué)對(duì)金屬中電子的處理,1926年費(fèi)米狄拉克統(tǒng)計(jì)理論和量子力學(xué)建立， 1928年，索末菲在自由電子模型基礎(chǔ)上，提出應(yīng)該利用量子力學(xué)原理去計(jì)算電子氣體的能量和動(dòng)量，并由此考察金屬的一些特性。 索末菲提出：電子在離子產(chǎn)生的平均勢場中運(yùn)動(dòng)，電子氣體服從費(fèi)米 狄拉克分布和泡利不相容原理。并成功地計(jì)算了電子的熱容，解決了經(jīng)典理論的困難。,18,2Sommerfeld的自由電子論,索末菲模型的基本假設(shè)： 1）free electron approximation 2）inde

9、pendent approximation 3）價(jià)電子的能量分布服從費(fèi)米狄拉克統(tǒng)計(jì)，稱為自由電子費(fèi)米氣體（free electron Fermi gas） 4）不考慮電子和離子實(shí)的碰撞（no collision）,Drude 經(jīng)典理想氣體 Sommerfeld 量子理想氣體,19,傳導(dǎo)電子在金屬中自由運(yùn)動(dòng)，電子與電子之間有很強(qiáng)的排斥力，電子與離子實(shí)之間有很強(qiáng)的吸引力。Sommerfeld自由電子理論認(rèn)為把離子實(shí)的電荷抹散成一個(gè)正電荷背景(這樣周期勢場就不存在了) 好象“凝膠”一樣。這種“凝膠”的作用純粹是為了補(bǔ)償傳導(dǎo)電子之間的排斥作用，以至于使得這些傳導(dǎo)電子不至于因?yàn)楸舜酥g很強(qiáng)的排斥作用而從

10、金屬晶體中飛濺出去，這就相當(dāng)于“凝膠”模型。,20,電子在運(yùn)動(dòng)中存在一定的散射機(jī)制（為什么要有散射機(jī)制？）。,索末菲自由電子模型總結(jié)：,電子在一無限深度的方勢阱中運(yùn)動(dòng)，電子間的相互作 用忽略不計(jì)；,電子按能量的分布遵從FermiDirac統(tǒng)計(jì)；,電子的填充滿足泡利（Pauli）不相容原理；,（即金屬中的電子可以看作是被關(guān)在一個(gè)箱體中的 自由 電子）,21,6.2 能級(jí)和軌道密度,22,一、運(yùn)動(dòng)方程及其解,Y(r)：表示電子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的波函數(shù)。 V0： 電子在勢阱底部所具有的勢能，取V0 0。 （或者說是晶格平均場+其他電子的平均場） E： 電子的本征能量,令,有,1. 自由電子定態(tài)薛定諤方程,2

11、3,方程的解：,A：歸一化因子，由歸一化條件確定,電子相應(yīng)于波函數(shù)Yk(r)的能量：,V: 金屬的體積,：電子平面波的波矢,具有平面波的形式,24,因?yàn)椴ê瘮?shù)Y(r)同時(shí)也是動(dòng)量算符 的本征態(tài)，所以處于Y(r)態(tài)的電子有確定的動(dòng)量，可以寫成,相應(yīng)的速度為,電子能量再現(xiàn)熟悉的經(jīng)典形式,：電子平面波的波矢，它的方向?yàn)槠矫娌ǖ膫鞑シ较颍?它的取值需要由邊界條件確定。,25,波矢的取值問題,經(jīng)典物理中平面波的波矢取值是任意的，但電子波矢的取值由邊界條件決定。 固定邊界條件（駐波邊界條件）：波函數(shù)在金屬表面上任何點(diǎn)的值均為零，不利于討論輸運(yùn)性質(zhì)。 周期性邊界條件（波恩卡曼邊界條件）：首尾相接成環(huán)，既有有

12、限尺寸又消除了邊界的存在。,26,2. 邊界條件,取整數(shù),(1) 固定邊界條件,方程的解應(yīng)由平面波形式改寫為：,由以上邊界條件可得：,27,以一維情況為例，討論一下：,當(dāng)波函數(shù)為正弦形式，并且從到的寬度是半波長的整數(shù)倍時(shí)，則以上邊界條件就能得到滿足。于是：,n 取正整數(shù),此邊界條件無法討論輸運(yùn)問題，故我們通常不采用,28,(2) 周期性邊界條件,以一維情況為例，,29,若在三個(gè)方向都用周期性邊界條件：薛定鍔方程的解在三個(gè)方向都以L為周期重復(fù)，即：,波矢取一系列分立值：,此時(shí),30,在k空間中，電子態(tài)的分布是均勻的，分布密度只與金屬的體積有關(guān),在 空間中，波矢 的分布密度為,每一個(gè)量子態(tài)在 空間

13、中所占的體積為：,每個(gè)波矢占據(jù)的體積為(2p/L)3,(2/L)3,31,這就是電子的色散關(guān)系，能量隨波矢的變化是拋物線函數(shù),3、費(fèi)米面等概念（無限多的K，有限的電子如何填充的問題）,32,對(duì)于三維晶體，需要的量子數(shù)： 波矢k（三個(gè)分量kx、ky、kz） 自旋量子數(shù),給定了 就確定了能級(jí)，代表同能級(jí)上自旋相反的一對(duì)電子軌道。,在波矢空間自由電子的等能面是一個(gè)球面，不同能量的等能面是一系列同心球面。,33,電子在T=0k時(shí)所能填充到的最高等能面稱為費(fèi)米面。,自由電子的等能面是球面，在T=0k時(shí)，費(fèi)米面把電子填充過的軌道與電子未填充過的軌道完全分開了，即費(fèi)米面內(nèi)所有的軌道都被填充，費(fèi)米面外邊都是空

14、軌道。,這一點(diǎn)對(duì)金屬是非常重要的，因?yàn)橹挥匈M(fèi)米面附近的電子才能決定金屬的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)。,34, 費(fèi)米動(dòng)量 Fermi momentum, 費(fèi)米速度 Fermi velocity,費(fèi)米能Fermi energy,費(fèi)米溫度 Fermi temperature,費(fèi)米球：費(fèi)米面包圍的體積，代表T=0k時(shí)電子填充 的全部軌道,費(fèi)米波矢：費(fèi)米球的半徑（Fermi wave vector，kF）,35,三維時(shí)，每個(gè)波矢的體積為 ，每個(gè)波矢代表自旋相反的兩個(gè)軌道，費(fèi)米球的體積 ，則：(軌道數(shù)等于總電子數(shù)),n：單位體積中的電子數(shù)（電子密度）費(fèi)米波矢由電子氣的密度唯一地決定,36,費(fèi)米參量唯一決定于電子氣密度，電

15、子氣的密度越大，各參量值越大。,37,如一些典型金屬的費(fèi)米面參數(shù)：原子價(jià) 金屬 n(cm-3) kF(cm-1) VF(cm/s) EF(eV) 1 Na 2.651022 0.92108 1.07108 3.23 2 Zn 13.101022 1.57108 1.82108 10.90 3 Al 18.061022 1.75108 2.02108 11.63,38,4、能態(tài)密度,什么是能態(tài)密度？,為什么要引入是能態(tài)密度？,怎樣具體計(jì)算能態(tài)密度？,能態(tài)密度說明什么物理問題？,39,1、什么是能態(tài)密度,能量E附近，單位能量間隔內(nèi)的能態(tài)數(shù)目：,單位頻率間隔內(nèi)的簡正模式的個(gè)數(shù),定義：,聯(lián)想到什么？,

16、簡正模式密度：,40,聲子的總能量:,2、為什么引入能態(tài)密度,41,自由電子在基態(tài)的總能量：,42,42,E的球體中，能夠允許的電子能態(tài)總數(shù)為：,對(duì)三維的金屬晶體來講:,3、怎樣求解能態(tài)密度,43,電子的能態(tài)密度并不是均勻分布的， 電子能量越高，能態(tài)密度就越大。,結(jié)論:,44,同理：,45,4 、能態(tài)密度說明的物理問題：,一維情況：,二維情況：,三維情況：,46,納米線直徑小于1到2納米，也稱為超細(xì)納米 線。制備困難，保存困難。,整數(shù)量子霍爾效應(yīng)：1985年諾貝爾獎(jiǎng)；分?jǐn)?shù)霍爾效應(yīng)：1998年諾貝爾獎(jiǎng)；現(xiàn)在的石墨烯已經(jīng)是研究熱點(diǎn)。,三維可以穩(wěn)定存在，研究的最為透徹。,分析：,一維不穩(wěn)定：,二維性

17、質(zhì)奇特：,三維可以穩(wěn)定存在：,47,最主要的是費(fèi)米面附近的能態(tài)密度將 兩邊取對(duì)數(shù)得： +常數(shù),微商上式得：,48,費(fèi)米面附近的軌道密度近似等于總電子數(shù)除以費(fèi)米能：,49,6.3 電子氣體的熱容,50,費(fèi)米-狄拉克(FermiDirac)統(tǒng)計(jì),1. 量子統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)知識(shí),經(jīng)典的Boltzmann統(tǒng)計(jì)：,量子統(tǒng)計(jì)： FermiDirac統(tǒng)計(jì)和BoseEinstein統(tǒng)計(jì),電子的分布函數(shù),費(fèi)米子：自旋為半整數(shù)（n1/2） 的粒子（如：電子、質(zhì) 子、中子 等），費(fèi)米子遵從FermiDirac統(tǒng)計(jì)規(guī) 律，費(fèi)米子的填充滿足Pauli原理。,玻色子：自旋為整數(shù)n的粒子（如：光子、聲子等）， 玻色子遵從BoseE

18、instein統(tǒng)計(jì)規(guī)律， 玻色子不遵從Pauli原理。,51,電子的費(fèi)米-狄拉克分布函數(shù)：,物理意義： 理想電子氣體在溫度為T 且處于熱平衡時(shí)，能量為E的量子態(tài)被電子占據(jù)的幾率。,化學(xué)勢是系統(tǒng)溫度和粒子（電子）數(shù)的函數(shù)，原則上可以由下式確定 求和遍及系統(tǒng)所有可能的本征態(tài)。,：電子的化學(xué)勢，其物理意義是在體積不變的情況下，系 統(tǒng)增加一個(gè)電子時(shí)，系統(tǒng)自由能的增量。,52,2. T0K時(shí)電子的分布（根據(jù)泡利原理和能量最低原理）, 費(fèi)米能,53,系統(tǒng)的自由電子總數(shù)為,在EEdE中的電子數(shù)為：,54, 自由電子密度,金屬：n：1022 1023 cm3,定義 費(fèi)米 溫度：,物理意義：設(shè)想將EF0轉(zhuǎn)換成熱

19、振動(dòng)能，相當(dāng)于多高溫度 下的振動(dòng)能。,55,金屬： EF0 幾個(gè)eV ； TF： 104 105 K （遠(yuǎn)高于金屬熔點(diǎn)）,一些金屬元素費(fèi)米能與費(fèi)米溫度的計(jì)算值,56,T=0K 時(shí)系統(tǒng)的總能量：,T0,能態(tài)密度,57,T=0時(shí)系統(tǒng)中每個(gè)電子的平均能量：,上式表明，在絕對(duì)零度T=0時(shí)，自由電子氣系統(tǒng)中每個(gè)電子的平均能量與費(fèi)米能量EF0具有相同的量級(jí)，約為幾個(gè)電子伏特。而按照經(jīng)典自由電子氣體理論（特魯?shù)履Ｐ停?，金屬電子氣的平均能量可以根?jù)能量均分原理得到，應(yīng)該是3kBT/2，在絕對(duì)零度T=0時(shí)，電子的平均能量應(yīng)為0。 之所以得到平均能量不為0的結(jié)果，是因?yàn)樵谒髂┓谱杂呻娮幽Ｐ椭薪饘匐娮託獗仨毞馁M(fèi)米

20、-狄拉克分布和滿足泡利不相容原理，即每個(gè)能級(jí)上只能容納兩個(gè)自旋方向相反的電子。因此，即使在絕對(duì)零度T=0時(shí)，所有的電子不可能都處在最低能級(jí)E=0上。,58,3. T 0K時(shí)電子的分布,一般所謂基態(tài)是指N個(gè)電子的系統(tǒng)在絕對(duì)零度時(shí)的狀態(tài)。 然而，隨著溫度的升高會(huì)發(fā)生什么情況呢？, FermiDirac分布函數(shù),當(dāng)溫度升高時(shí)，電子氣的動(dòng)能增加。這時(shí)，某些在絕對(duì)零度時(shí)原本空著的能級(jí)將被占據(jù)，而某些在絕對(duì)零度時(shí)被占據(jù)的能級(jí)將空出來。當(dāng)理想電子氣處于熱平衡時(shí)，由費(fèi)米-狄拉克統(tǒng)計(jì)分布得到的能量E的軌道被占據(jù)的概率為：,59, FermiDirac分布函數(shù),對(duì)于特定的問題，化學(xué)勢m應(yīng)該這樣選擇，使得能正確地算

21、出系統(tǒng)中的電子的總數(shù)N。在T=0時(shí)，m=EF0，因?yàn)樵赥0的極限下，化學(xué)勢m是占據(jù)態(tài)和非占據(jù)態(tài)的清晰分界面，如圖。,1，當(dāng)E時(shí),在一切溫度下，當(dāng)E時(shí)，f()1/2 ，代表填充概率為1/2的能態(tài)。,60,以上條件下 ， f(E)迅速趨于零,當(dāng)E 幾個(gè)kBT時(shí)，exp(E)/ kBT 1 ，,FermiDirac分布過渡到經(jīng)典的Boltzmann分布,61, E 幾個(gè)kBT時(shí)， exp(E)/ kBT 幾個(gè)kBT的能態(tài)基本上是滿態(tài)。,在室溫附近，kBT/ 或kBT/ EF0 0.01，分布函數(shù)和T=0K時(shí)的情形的差別，僅出現(xiàn)在與m非常接近的能級(jí)上的電子的分布： 一些電子被激發(fā)到Em能級(jí)上; 在Em

22、的能級(jí)上留下一些空態(tài)。,從以上分析中我們還可以知道，化學(xué)勢 與T=0K時(shí)自由電子氣的費(fèi)米能級(jí)EF0 很接近，因此一般地，把化學(xué)勢m也稱為T0K時(shí)自由電子氣的費(fèi)米能級(jí)EF ， 所以在以下的討論中，我們將認(rèn)為EF=m。,62,對(duì)于金屬而言，T TF（或kBT EF ）總是成立的。雖然金屬中有大量的自由電子，但是，決定金屬許多性質(zhì)的并不是其全部的自由電子，而只是在費(fèi)米面附近的那一小部分。從下面的討論中，我們將可以看到正是這一小部分電子，對(duì)金屬比熱容有貢獻(xiàn)。,63,只有在費(fèi)米面附近厚度kBT的一層電子能夠吸收能量，因此只有這層電子對(duì)比熱有貢獻(xiàn)。,由于泡利不相容原理，處于費(fèi)米海深處的電子在熱激發(fā)下得不到

23、足夠的能量躍遷到空態(tài)，因此不受熱激發(fā)的影響。,在T=0k時(shí)，電子氣充滿了費(fèi)米球內(nèi)的所有軌道，當(dāng)溫度T上升時(shí)，并不是費(fèi)米球內(nèi)的電子都受到熱激發(fā)。這是因?yàn)樵诿總€(gè)k值上只能有自旋相反的兩個(gè)電子，由于泡利原理限制，熱激發(fā)(kBT)是低能激發(fā)，遠(yuǎn)離費(fèi)米面的電子不可能被激發(fā)(因?yàn)楦浇鼰o空軌道)，只有費(fèi)米面以外才有空軌道，因此只有費(fèi)米面附近的電子才能被激發(fā)，要激發(fā)遠(yuǎn)離費(fèi)米面的電子必須用高能激發(fā)(如光激發(fā)等)，而kBTF，所以遠(yuǎn)離費(fèi)米面的電子是凍結(jié)的。,按Sommerfeld的自由電子模型，電子氣服從費(fèi)米統(tǒng)計(jì)規(guī)律及泡利原理。,65,四、結(jié)果與討論（粗略的數(shù)量級(jí)估算）,1. 電子熱容量,對(duì)于金屬，當(dāng) T 0K時(shí)

24、，只有在費(fèi)米面附近幾個(gè)kBT的電子受熱激發(fā)，對(duì)電子熱容量的貢獻(xiàn)主要來自費(fèi)米面附近厚度kBT的一層電子。,在EEF 2kBT中的電子數(shù)為,這里，考慮 T 0K時(shí)費(fèi)米能級(jí)EF與T=0K時(shí)的費(fèi)米能級(jí)EF0之間存在一定的差異，但從下面的討論結(jié)果我們將會(huì)看到EFEF0。,66,根據(jù)能量均分定律，每個(gè)電子熱運(yùn)動(dòng)的平均能量：,由于熱激發(fā)，系統(tǒng)所獲得（或增加）的能量為,67,電子熱容量為：,我們知道常溫下，CL 3NkB；由于TTF，所以Ce CL ，即常溫下可以不必考慮電子熱容量的貢獻(xiàn)。,68,考慮自由電子的費(fèi)米分布與泡利不相容原理后，用這樣一個(gè)定性的模型解釋了熱容與經(jīng)典理論的差別與矛盾，由此可看到費(fèi)米面的

25、重要性。,經(jīng)典理論中（特魯?shù)履Ｐ?,考慮量子效應(yīng)后，從結(jié)果分析：,69,下面再從定量的角度來計(jì)算電子氣的熱容，在T=0 k時(shí)： 能量 F時(shí)， f(.T)=1 F時(shí)， f(.T)=0 基態(tài)下電子氣的總能量：當(dāng)溫度升高到TK時(shí)電子氣的總能量：這兩個(gè)能量之差就是電子氣溫度升高時(shí)的熱能。,70,當(dāng)溫度T升高時(shí)，隨溫度變化比較大是在費(fèi)米面附近，在遠(yuǎn)離費(fèi)米面的地方，隨溫度的變化很小?？傠娮訑?shù)： d=常數(shù)（不隨溫度變化）,d=常數(shù),71,即： 又再加上一項(xiàng)等于零的積分對(duì)Cel無影響則：,72,上式表示只在費(fèi)米面附近求積分，若把D()換成D(F)，即只考慮費(fèi)米面附近的軌道密度，則： 又 是溫度的函數(shù)，當(dāng)TTF

26、時(shí)，近似等于F，由此引起的誤差在T/TF的二次方的數(shù)量級(jí)。,73,74,75,金屬的熱容應(yīng)是兩部分熱容之和，既自由電子費(fèi)米氣與點(diǎn)陣對(duì)熱容的貢獻(xiàn)之和，低溫下電子氣的熱容Cel T，而點(diǎn)陣對(duì)Cv的貢獻(xiàn)為：,76,在室溫下電子氣對(duì)熱容的貢獻(xiàn)小的可以忽略，但在低溫下電子氣的熱容就顯示出來了，低溫下C=T+AT3或C/T=+AT2，由C/TT2的直線關(guān)系，由截距可求出，斜率可決定A，由實(shí)驗(yàn)直線可定出這兩個(gè)常數(shù)。而由此可求出理論值，但理論值與觀測值的差別很大。,77,實(shí)驗(yàn)值,78,按照近代固體理論，晶體中的電子與真空中的自由電子不同，不再是一個(gè)基本粒子，而是一個(gè)準(zhǔn)粒子，把晶體中的電子與周圍的互作用看作一個(gè)

27、整體，晶體中的電子就好象一個(gè)穿了衣服的電子一樣。,79,電子與周圍環(huán)境的互作用主要有：電子與原子實(shí)周期點(diǎn)陣的互作用。 電子在周期勢場中運(yùn)動(dòng)，周期勢場的作用改變了電子的質(zhì)量，稱有能帶有效質(zhì)量。,電子與聲子的互作用 原子實(shí)在平衡位置作小振動(dòng)，電子運(yùn)動(dòng)到原子實(shí)附近時(shí)，由于電子與原子實(shí)之間的庫侖作用要干擾原子實(shí)的振動(dòng)，這種互作用可用一種畸變勢來描寫，電子要改變離子實(shí)的勢場而運(yùn)動(dòng)。,電子與電子的互作用 在稠密電子氣中，電子間有很強(qiáng)的庫侖排斥作用，不論電子運(yùn)動(dòng)到什么地方都存在這種互作用，這樣一種互作用也可考慮到電子質(zhì)量的改變中。,82,6.4 電導(dǎo)與歐姆定律,83,1.電導(dǎo)率 在基態(tài)下，自由電子填充了費(fèi)米

28、球的所有軌道，即邊界條件允許的每個(gè)k值上都分布了自旋相反的兩個(gè)電子， 當(dāng)溫度升高時(shí)，費(fèi)米面附近的電子要被熱激發(fā)，在無外電場時(shí)，在波矢空間費(fèi)米球內(nèi)的k的分布是對(duì)稱的，有一個(gè)波矢為k的電子，就有一個(gè)波矢為-k的電子，或者說有一個(gè)速度為V的電子，就有一個(gè)速度為-V的電子(有中心反演對(duì)稱性),所以整個(gè)費(fèi)米球內(nèi)的電子的平均速度為零，對(duì)電流無貢獻(xiàn),無外電場時(shí)就沒有電流。,84,在恒定電場作用下，費(fèi)米球中的所有軌道上的電子都會(huì)受到電場力的作用，這個(gè)力會(huì)使波矢發(fā)生變化，由于費(fèi)米球內(nèi)的所有電子的波矢都發(fā)生了變化，而且由于外加恒定電場，變化率都相同，因而費(fèi)米球就以一定的速度在波矢空間漂移，其運(yùn)動(dòng)方向與電子運(yùn)動(dòng)方向

29、相反，球心離開了原點(diǎn)，在恒定電場下，費(fèi)米球就以恒定速度漂移下去。,85,86,反映在真實(shí)空間中，是每個(gè)電子的動(dòng)量發(fā)生了變化,但 是恒定的，電子是作勻加速運(yùn)動(dòng)，即單位時(shí)間內(nèi)電子的速度變化率是相同的，電子的運(yùn)動(dòng)速度越來越快。在恒定電場作用下就不會(huì)有恒定電流，而是電流就會(huì)越來越大，這是與事實(shí)不符合的。,87,我們必須考慮碰撞機(jī)制，電子與聲子及雜質(zhì)缺陷的碰撞。正是由于這種碰撞使得電子的附加動(dòng)量有所減小，才能抑制費(fèi)米球的漂移，當(dāng)這種碰撞消耗的動(dòng)量與費(fèi)米球漂移速度增大的積累相平衡時(shí)，費(fèi)米球?qū)⒉辉倨啤?88,即 （等號(hào)右邊為單位時(shí)間內(nèi)耗散的動(dòng)量）-弛豫時(shí)間，-eE為定向運(yùn)動(dòng)動(dòng)量的積累(相當(dāng)于球心的位移),

30、單位時(shí)間內(nèi)耗散的動(dòng)量為hk/,當(dāng)兩項(xiàng)動(dòng)量變化相等時(shí),費(fèi)米球就不動(dòng)了。,89,電子的漂移速度為：電子對(duì)電流的貢獻(xiàn)： （n是電子氣密度） （這就是歐姆定律），相應(yīng)的電子氣的電導(dǎo)率： （此處的m*為電子的有效質(zhì)量）。,90,從這里我們可以看到在其它條件不變的情況下隨n增大而增大，這是合理的，因?yàn)闈舛萵增大，載流子的數(shù)目就增多。電導(dǎo)率與m*成反比也在預(yù)料之中，m*越大就是粒子的惰性越大，也就越難于加速。與成正比，是因?yàn)閷?shí)際是連續(xù)兩次碰撞的時(shí)間間隔，即平均自由壽命，所以越大，電子在兩次碰撞間被電場加速的時(shí)間越長，因而漂移速度越大，也就越大。,91,電子有兩種不同性質(zhì)的速度，一種是電子在外加電場中的定向運(yùn)

31、動(dòng)速度，稱為漂移速度，另一個(gè)是無規(guī)運(yùn)動(dòng)速度，是由于電子的無規(guī)運(yùn)動(dòng)引起的，即使沒有外電場，電子也仍象普通氣體分子那樣作無規(guī)則運(yùn)動(dòng)，電子到處亂動(dòng)，并不斷被散射而改變運(yùn)動(dòng)方向，這種運(yùn)動(dòng)在電場中也照樣存在，它不會(huì)對(duì)電流有所貢獻(xiàn)，但有外場存在時(shí)，有一個(gè)與外電場反向的凈附加速度，這個(gè)速度是疊加在無規(guī)運(yùn)動(dòng)速度之上的，電子無規(guī)運(yùn)動(dòng)的速度比漂移速度要大。,92,決定金屬中電子運(yùn)動(dòng)平均自由程的有三種機(jī)制：（1）樣品中雜質(zhì)缺陷對(duì)電子的散射。（2）電子與聲子的碰撞，既電子受格波的散射，嚴(yán)格的周期勢場是不散射電子的，只有周期場遭到破壞時(shí)才產(chǎn)生對(duì)電子的散射，這種碰撞依賴于溫度，隨溫度的升高，碰撞幾率增大。（3）電子與電子

32、的碰撞，由于泡利原理的限制，這種幾率較小。,93,2.弛豫時(shí)間的起源 我們?cè)胱鳛閮纱闻鲎仓g的弛豫時(shí)間，但未曾討論過它的起源，由周期結(jié)構(gòu)中的波動(dòng)理論，當(dāng)電子波通過周期性的晶格時(shí)，將沒有散射，除非周期性遭到破壞，布喇格條件被滿足，因此規(guī)則晶格內(nèi)電子波是不會(huì)被散射的，電子在晶體中的碰撞只能是同聲子與雜質(zhì)原子或缺陷之間的碰撞，正因?yàn)槿绱?，弛豫時(shí)間也就是電子與聲子等碰撞的時(shí)間間隔。,94,3.金屬的實(shí)驗(yàn)電阻率 引入電子與雜質(zhì)碰撞的弛豫時(shí)間i，電子與熱聲子的碰撞弛豫時(shí)間l, 則1/i與1/l分別表示電子與雜質(zhì)、電子與熱聲子碰撞的幾率，那么電子與雜質(zhì)碰撞、電子與熱聲子碰撞對(duì)電阻率的貢獻(xiàn)分別為：兩種機(jī)制

33、彼此獨(dú)立時(shí)總的散射幾率為：對(duì)電阻率的總貢獻(xiàn)為：= i+ l 這就是馬提生（Matthissens rule）定則。,95,根據(jù)馬提生定則，金屬的電阻率應(yīng)是溫度T的函數(shù)：(T) = i+ l 作- T曲線，外推到T=0K，此時(shí) l=0，則可得純粹由樣品的雜質(zhì)決定的電阻率，稱為剩余電阻率，它是一個(gè)結(jié)構(gòu)敏感量，是表征著樣品純度(或完美性)的特征量。,96,通常對(duì)金屬來說由于熱聲子散射導(dǎo)致的電阻率有一個(gè)經(jīng)驗(yàn)公式：當(dāng)TR時(shí)，f1，l T，即l與溫度成正比，溫度升高時(shí)，聲子密度增加，碰撞幾率增加，增加。 但當(dāng)TR時(shí)， ，熱聲子的電阻率l T5。,97,6.5 電子在電磁場中的運(yùn)動(dòng),98,1.漂移速度方程

34、由于外力 ，使電子獲得定向運(yùn)動(dòng)的動(dòng)量， ，電子與聲子及雜質(zhì)原子間的碰撞可考慮成摩擦阻力，由于摩擦阻力而使單位時(shí)間內(nèi)定向運(yùn)動(dòng)動(dòng)量的改變(摩擦力為f=p/)：而在外加電磁場作用下： 這就是外加電磁場作用下電子的漂移速度方程。,99,若設(shè)磁場B的方向沿Z軸方向，漂移速度方程的三個(gè)分量的方程式為：,100,若外電場是一個(gè)靜電場E，外磁場是一個(gè)靜磁場B，E、B不隨時(shí)間而變化，則dv/dt=0，既過程達(dá)到穩(wěn)定時(shí)，電子的速度也不隨時(shí)間變化，則： 其中 稱為回旋頻率。,101,2.霍耳效應(yīng) 由上面的漂移速度方程我們能討論霍耳效應(yīng)，如下圖：若一晶體上沿x方向有一電流，此時(shí)在z方向加一磁場電子受洛侖磁力作用而向-y方向偏移，偏移的結(jié)果使樣品邊界上有電荷積累，產(chǎn)生了一個(gè)y方向的電場，這種現(xiàn)象稱為霍耳效應(yīng)，產(chǎn)生的這個(gè)電場稱為霍耳電場，它阻止電子向-y方向偏移，若霍耳電場力與洛侖磁力達(dá)到平衡時(shí)，電子就不再偏移，達(dá)到平衡時(shí)Vy=0(在金屬中不形成電流),此時(shí)：,102,103,由此可得： 定義 稱為霍耳角 霍耳系數(shù)： 定義為： 單位電流、單位磁場產(chǎn)生的霍耳電場,104,則