有限單元法平面問題例題

1、.,平面有限元解法,設有對角受壓的正方形薄板（如上圖所示），載荷沿厚度均勻分布，為2N/m。試對該結構進行整體分析，建立整體剛度矩陣和整體結點載荷列陣，建立整體結點方程組，通過編程求解出結點的位移，并從而求出各單元的應力。（為簡單起見，取板的厚度t= 1 , 彈性常數(shù)E =1,泊松比0）,.,右圖為取1/4模型，離散后，單元、結點、荷載和約束的簡圖。,1 簡化力學模型、選取單元類型 結構及荷載沿雙軸對稱，選取1/4結構結構。 圖所示為平面應力問題，平面應力單元類型中，3結點三角形單元,.,2 結構離散，單元編號、結點編號,.,將對象劃分成4個單元，共有6個結點，單元和結點上均編上號碼，其中結點

2、的整體編碼1至6，以及個單元的結點局部編碼i,j,m,均示于上圖中。,.,3.1 結點位移列陣、荷載列陣,3 單元分析（對逐個單元進行分析。以單元1為例）,.,3.2 位移函數(shù),3 單元分析,.,3.3 討論位移函數(shù)的收斂性 （1）完備性 （2）協(xié)調(diào)性,3 單元分析,.,3.4 推導形函數(shù)（只需分析1個單元，其余可直接用公式計算） 代入結點坐標和位移,3 單元分析,.,常數(shù),3 單元分析,.,設,3 單元分析,.,得到,3 單元分析,.,3 單元分析,.,3 單元分析,得到內(nèi)部任意一點位移和結點位移的關系式,.,3 單元分析,得到內(nèi)部任意一點位移和結點位移的關系式,.,3 單元分析,得到形函數(shù)

3、矩陣,.,3 單元分析,3.5 推導內(nèi)部任意一點應變和結點位移的轉換關系,.,3 單元分析,.,3 單元分析,.,3 單元分析,.,3 單元分析,3.6 推導內(nèi)部任意一點應力和結點位移的轉換關系,平面應力的彈性矩陣為,.,3 單元分析,把D、B矩陣代入公式即可應力轉換矩陣S,.,3 單元分析,3.7 得到單元剛度矩陣 把B和D矩陣代入,對3結點三角形，可以簡化為,.,3 單元分析,3.8 單元等效荷載計算,.,4 組成整體剛度矩陣,暫時不考慮位移邊界條件，把所分析結構的整體結點平衡方程組列出：,整體剛度矩陣寫成66的矩陣，它的每個子塊是22的矩陣，實際它是一個1212的矩陣。如K23，它的四個

4、元素表示當結構的結點3沿x或y方向有單位位移時，在結點2的x方向或y方向引起的結點力。,.,4 組成整體剛度矩陣,整體剛度矩陣寫成66的矩陣，它的每個子塊是22的矩陣，實際它是一個1212的矩陣。如K23，它的四個元素表示當結構的結點3沿x或y方向有單位位移時，在結點2的x方向或y方向引起的結點力。,.,4 整體剛度矩陣續(xù),由于于結點3和結點2在結構中是通過和這兩個單元相聯(lián)系，因而K23應是單元 的k23和單元 的k23之和。同理，可以找到各單元剛度矩陣中所有子矩陣在整體剛度矩陣K中的位置，得到整體勁度矩陣。,式中k的上標1,2,3,4表示是哪一個單元的剛度矩陣中的子矩陣，空白處是22的零矩陣

5、。,.,4 整體剛度矩陣續(xù),對于單元、，根據(jù)公式，可求得A=0.5m2，,將上式中各子塊的具體數(shù)值代入整體剛度矩陣K表達式中，得出整體剛度矩陣。,對于單元，根據(jù)公式，可求得A=0.5m2，,把0，t1m，代入單元的剛度矩陣，得兩種單元的剛度矩陣k都是：,(37),.,4 整體剛度矩陣,整體剛度矩陣K,(38),.,5 引入位移邊界條件,位移邊界條件為：,因此，整體結點的位移列陣就簡化為：,.,5 引入位移邊界條件,與這6個零位移分量相應的6個平衡方程不必建立，因此，將整體剛度矩陣中，第1、3、7、8、10、12各行以及同序號的各行劃去，因而整體勁度矩陣K簡化為：,.,6 整體結點載荷列陣,確定

6、了每個單元的結點載荷列陣：,根據(jù)各單元的結點局部編碼與整體編碼的關系，確定三個子塊FLi,FLj,FLm在FL中的位置。,.,6 整體結點載荷列陣,由于該結構只是在結點1受有向下1N/m的載荷，因而，非零元素子塊，只有,在考慮了邊界條件后，整體載荷列陣為：,.,平面有限元解法求解整體結點載荷列陣,求解化簡后的整體剛度矩陣：,(39),求解以后，得結點位移：,.,平面有限元解法求解應力轉換矩陣,應用單元的應力轉換矩陣S，求出各單元中的應力： 根據(jù)0，以及已求出的A、b和c的值，再由式(21)和(22)得出應力轉換矩陣如下，對于單元、 ：,對于單元,.,平面有限元解法求解各單元中的應力（續(xù)）,應用單元的應力轉換矩陣S，求出各單元中的應力：,Pa,單元,單元,Pa,.,