《高等數(shù)學(xué)》教學(xué)課件：第一節(jié) 導(dǎo)數(shù)的概念

1、第三章 一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、微分及其應(yīng)用,第一節(jié) 導(dǎo)數(shù)的概念 第二節(jié) 導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算 第三節(jié) 微分的概念與應(yīng)用 第四節(jié) 微分中值定理 第五節(jié) 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,2020年9月7日星期一,2,一、引例,二、導(dǎo)數(shù)的定義,第一節(jié),導(dǎo)數(shù)的概念,三、導(dǎo)數(shù)的意義,四、函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系,3,一、 引例,1. 變速直線運(yùn)動(dòng)的速度,設(shè)描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)位置的函數(shù)為,則 到 的平均速度為,而在 時(shí)刻的瞬時(shí)速度為,自由落體運(yùn)動(dòng),4,2. 曲線的切線斜率,曲線,在 M 點(diǎn)處的切線,割線 M N 的極限位置 M T,(當(dāng) 時(shí)),割線 M N 的斜率,切線 MT 的斜率,5,運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的位置函數(shù),在 時(shí)刻的瞬時(shí)速度,曲線,在 M 點(diǎn)

2、處的切線斜率,6,瞬時(shí)速度,切線斜率,所求量為函數(shù)增量與自變量增量之比的極限 .,7,二、導(dǎo)數(shù)的定義,定義1 . 設(shè)函數(shù),在點(diǎn),存在,并稱此極限為,記作:,即,則稱函數(shù),若,的某鄰域內(nèi)有定義 ,8,若上述極限不存在 ,在點(diǎn) 不可導(dǎo).,若,也稱,在,若函數(shù)在開(kāi)區(qū)間 I 內(nèi)每點(diǎn)都可導(dǎo),此時(shí)導(dǎo)數(shù)值構(gòu)成的新函數(shù)稱為導(dǎo)函數(shù).,記作:,就說(shuō)函數(shù),就稱函數(shù)在 I 內(nèi)可導(dǎo).,的導(dǎo)數(shù)為無(wú)窮大 .,9,在點(diǎn),的某個(gè)右,若極限,則稱此極限值為,在 處的右 導(dǎo)數(shù),記作,即,(左),(左),定義2 . 設(shè)函數(shù),鄰域內(nèi)有定義,存在,函數(shù),在點(diǎn),且,存在,簡(jiǎn)寫(xiě)為,可導(dǎo)的充分必要條件,是,10,三、導(dǎo)數(shù)的意義,加速度,角速度

3、,線密度,電流強(qiáng)度,是速度增量與時(shí)間增量之比的極限,是轉(zhuǎn)角增量與時(shí)間增量之比的極限,是質(zhì)量增量與長(zhǎng)度增量之比的極限,是電量增量與時(shí)間增量之比的極限,1. 導(dǎo)數(shù)的物理意義,11,例1. 研究函數(shù) , 與 在 臨近函數(shù)圖形的特點(diǎn).,2. 導(dǎo)數(shù)的幾何意義,12,在,處,該函數(shù)所對(duì)應(yīng)的曲線在點(diǎn)(1,1)處切線的斜率為2， 反映該函數(shù)在,處因變量的增長(zhǎng)率為2；,在,處,該函數(shù)所對(duì)應(yīng)的曲線在點(diǎn)(1,1)處切線的斜率為-2， 反映該函數(shù)在,處因變量的減少率為2；,在,處,該函數(shù)所對(duì)應(yīng)的曲線在點(diǎn)(1,0)處切線的斜率為,反映該函數(shù)在,處因變量的增長(zhǎng)率為,.,解:,13,若,曲線過(guò),上升;,若,曲線過(guò),下降;,

4、若,切線與 x 軸平行;,若,切線與 x 軸垂直 .,切線方程:,法線方程:,14,四、函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系,定理1.,證:,設(shè),在點(diǎn) x 處可導(dǎo),存在 ,因此必有,其中,故,所以函數(shù),在點(diǎn) x 連續(xù) .,即,15,所以函數(shù),在點(diǎn) x =0不可導(dǎo) .,例1:討論,在 x = 0 的連續(xù)性和可導(dǎo)性.,解:,在 x = 0 處連續(xù)但不可導(dǎo).,因?yàn)楫?dāng)自變量,處有增量,時(shí)，相應(yīng)地，函數(shù),有增量,16,內(nèi)容小結(jié),1. 導(dǎo)數(shù)的實(shí)質(zhì):,3. 導(dǎo)數(shù)的幾何意義:,4. 可微必連續(xù), 但連續(xù)不一定可微;,5. 已學(xué)求導(dǎo)公式 :,6. 判斷可導(dǎo)性,不連續(xù), 一定不可導(dǎo).,直接用導(dǎo)數(shù)的定義;,看左右導(dǎo)數(shù)是否存在且相等.,2.,增量