2014年第一輪復(fù)習(xí)數(shù)列

1、數(shù)列的定義,歸納 知識整合 1數(shù)列的定義 按照 排列著的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的 排在第一位的數(shù)稱為這個數(shù)列的第1項(通常也叫做 ),一定順序,項,首項,有限,無限,3數(shù)列的通項公式 如果數(shù)列an的第n項與 之間的關(guān)系可以用一個式子來表示，那么這個公式叫做這個數(shù)列的通項公式 探究1.數(shù)列的通項公式唯一嗎？是否每個數(shù)列都有通項公式？,序號n,自測 牛刀小試,2已知數(shù)列的通項公式為ann28n15，則3是數(shù)列 中的第_項 解析：令an3，即n28n153，解得n2或6，故3是數(shù)列an 中的第2項或第6項 答案：2或6,答案：7,5若數(shù)列an的前n項和Snn210n(n1,2,

2、3，)，則 此數(shù)列的通項公式為an_；數(shù)列nan中數(shù)值最小的項是第_項,答案：2n113,已知數(shù)列的前幾項求通項公式,用觀察法求數(shù)列的通項公式的技巧 用觀察歸納法求數(shù)列的通項公式，關(guān)鍵是找出各項的共同規(guī)律及項與項數(shù)n的關(guān)系當(dāng)項與項之間的關(guān)系不明顯時，可采用適當(dāng)變形或分解，以凸顯規(guī)律，便于歸納當(dāng)各項是分?jǐn)?shù)時，可分別考慮分子、分母的變化規(guī)律及聯(lián)系，正負(fù)相間出現(xiàn)時，可用(1)n或(1)n1調(diào)節(jié),由an與Sn的關(guān)系求通項公式,例7已知數(shù)列an的前n項和為Sn3n1，求它的通項公式an. 自主解答當(dāng)n2時，anSnSn13n1(3n11)23n1；當(dāng)n1時，a1S12也滿足an23n1. 故數(shù)列an的通

3、項公式為an23n1.,數(shù)列函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用,例8已知數(shù)列ann25n4， 數(shù)列中有多少項是負(fù)數(shù)？ n為何值時，an有最小值？并求出最小值 自主解答(1)由n25n40，解得1n4. nN*，n2,3. 數(shù)列中有兩項是負(fù)數(shù)，即為a2，a3.,等差數(shù)列,一、知識要點,等差數(shù)列的定義,如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與前一項的差 都 等 于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列。,等差數(shù)列的判定方法,1、定義法：對于數(shù)列 ，若 (常數(shù))，則數(shù)列 是等差數(shù)列。 2等差中項：對于數(shù)列 ，若 則數(shù)列 是等差數(shù)列。,一、知識要點,等差數(shù)列的通項公式,如果等差數(shù)列的首項是 ，公差是d，則等差 數(shù)列的通項為： 說

4、明該公式整理后是關(guān)于n的一次函數(shù),且n的系數(shù)p為公差d.,共n個括號,等差數(shù)列的前n項和公式的推導(dǎo),倒序 相加,等差數(shù)列的前n項和,1、 2、 說明對于公式2整理后是關(guān)于n的沒有常數(shù)項的二次函數(shù)。,一般地，,一、知識要點,等差中項,如果 a， A ，b 成等差數(shù)列，那么A叫做a與b的等差中項。即： 或,在等差數(shù)列中，,1等差數(shù)列任意兩項間的關(guān)系：如果 是等差數(shù)列的第n項， 是等差數(shù)列的第m項，公差為d，則有,一、知識要點,等差數(shù)列的性質(zhì),3若數(shù)列 是等差數(shù)列， 是其前n項的和， 那么 ， ， 成公差為 的等差數(shù)列.。,特別地，,4前n項中所有奇數(shù)項和與所有偶數(shù)項和問題,5.從等差數(shù)列的某一項開

5、始，每間隔相同數(shù)目的 項抽取出來的項按照原來的順序仍排成等差數(shù)列。,6.幾個等差數(shù)列的線性組合仍為等差數(shù)列,【題型1】等差數(shù)列的基本運算,例題：等差數(shù)列an中，若a2 = 10，a6 = 26 ，求a14,二、【題型剖析】,解：法一 由已知可得，a1 + d = 10 a1 + 5d = 26 ,-得：4d = 16 d = 4 把d = 4 代入得：a1 = 6,a14 = a1 + 13d = 6 + 134 = 58,解：法二、 由性質(zhì)， 得： a6 = a2 + 4d, 26 = 10 + 4d d = 4,a14 = a6 + 8d = 26 + 84 = 58,【題型1】等差數(shù)列的

6、基本運算,練習(xí)1：等差數(shù)列an中，已知a 1= ，a 2 + a 5 =4 a n = 33，則n是 ( ),解：,把 代入上式得,解得：,【題型2】等差數(shù)列的前n項和,【題型2】等差數(shù)列的前n項和,3.等差數(shù)列an中, 則此數(shù)列前20項的和等于（ ）,解： , + 得：,【題型3】等差數(shù)列性質(zhì)的靈活應(yīng)用,二、【題型剖析】,例題：已知等差數(shù)列an , 若a 2+ a 3 + a 10+ a 11 =36 ，求a 5+ a 8,a5+ a8 =18,【題型4】等差數(shù)列性質(zhì)的靈活應(yīng)用,練習(xí)：已知等差數(shù)列an中,a2+a8=8,則該數(shù)列前9項和S9等于 （ ）,【題型4】等差數(shù)列綜合應(yīng)用,二、【題型

7、剖析】,(方法1) 解: 設(shè)直角三角形三邊長分別為： a,a+d,a+2d(a0,d0)， 由勾股定理得：(a+2d)2=a2+(a+d)2, 即a2-2ad-3d2=0，亦即(a-3d)(a+d)=0， a=3d(a=-d舍去)， 直角三角形三邊長分別為3d,4d,5d， 它們的比為3:4:5.,練習(xí): (一題多解) 已知直角三角形三邊長成等差數(shù)列，試求其三邊之比.,方法2. 設(shè)三邊分別為：a-d,a,a+d(ad0), 由勾股定理得：(a-d)2+a2=(a+d)2， 即a2-4ad=0, a=0(舍去)或a=4d. 三邊為：3d,4d,5d. a:b:c=3:4:5.,三、實戰(zhàn)訓(xùn)練,3、

8、已知等差數(shù)列an。若a10 = 30，a20 = 50 Sn=242, 求 n,1、在等差數(shù)列中，已知前10項和為5，前20項和為15，則前30項和為（ ）,3、在等差數(shù)列中，已知前10項和為5，前20項和為15，則前30項和為（ ）,解；由性質(zhì)3可得 成等差數(shù)列,即 成等差數(shù)列,即,三、實戰(zhàn)訓(xùn)練（答案）,由定義可知，數(shù)列為等差數(shù)列,解：由已知易得：,三、實戰(zhàn)訓(xùn)練（答案）,2、在等差數(shù)列an中，前15項的和 則 為（ ）,解：,三、實戰(zhàn)訓(xùn)練（答案）,三、實戰(zhàn)訓(xùn)練（答案）,1、已知等差數(shù)列共有10項，其中奇數(shù)項之和15，偶數(shù)項之和為30，則其公差是( ),解：,復(fù)習(xí)課:等比數(shù)列,1.定義：an/

9、an-1=q（ q為不等于零的常數(shù)）（n2）,3.等比數(shù)列的通項變形公式： an=amqn-m,2.等比數(shù)列的通項公式：an=a1qn-1,8.等比數(shù)列的前 項和公式:,或,a1、q、n、an、Sn中,知三求二,9.性質(zhì): 在等比數(shù)列an中,Sn是它的前n項和, 那么有: Sm, S2m-Sm, S3m-S2m, 也成等比數(shù)列.,n+1,判斷是非,n,點 擊,若 且 ,則,c21,2,n,新課講授:,已知,是等比數(shù)列，請完成下表：,例1,解：,?,已知,是等比數(shù)列，請完成下表：,例2,解：,已知,是等比數(shù)列，請完成下表：,a1、q、n、an、Sn中,例3,知三求二,例3 求等比數(shù)列 的第5項到

10、第10項的和.,【解法1】,例4. 已知等比數(shù)列an的前 m項和為10， 前 2m項和為50，求它的前 3m項的和。 解: 在等比數(shù)列an中,有:,Sm, S2m-Sm, S3m-S2m, 也成等比數(shù)列. 所以,由 (S2m-Sm)2=Sm (S3m-S2m)得: S3m=210,求數(shù)列 的前n項的和.,拓展1,分組求和,反思,解:,求和：,拓展2,(2)當(dāng) ，即 時,原式=,數(shù)列實際應(yīng)用 舉例,某林場第一年造林 0.5km2，以后每年比上一年多造林0.1km2，問6年后林場共造林多少？ 解：依題意，林場每年造林?jǐn)?shù)成等差數(shù)列 an ， 其中 a 10.5，d0.1，n6. 所以 S60.56

11、+ 0.1 4.5 即6年后林場共造林4.5km 2,探索,某種卷筒衛(wèi)生紙繞在圓柱形紙筒芯上，空紙筒芯直徑40mm，滿筒時直徑120mm，已知衛(wèi)生紙的厚度為0.1mm，問：滿筒時衛(wèi)生紙的總長度大約是多少米？,探索,解：,卷筒上紙的厚度為6020=40(mm)，,紙繞了400.1=400(圈),從里往外，每一圈的長分別是： 40.2；40.4； ；120. 這是首項是 40.2，公差為0.2，400項的等差數(shù)列. 紙的總長= 40.2 + 40.4 + + 120，,100.6(m),所以，紙的總長大約為100.6米.,某種電子產(chǎn)品經(jīng)過3次降價，單價由原來的174元降到58元，這種產(chǎn)品平均每次降

12、價的百分率是多少？,解：設(shè)平均每次降價的百分率是x，則每次降價后的單價是原價的(1x)倍 將原單價與三次降價后的單價依次排列，就組成一個等比數(shù)列， 其中a1174，a458，n4，q1x ，,由等比數(shù)列的通項公式，得 58174(1x)41 整理，得 (1x)3 1x 0.693 因此，x10.69331% 即這種電子產(chǎn)品平均每次降價的百分率約為31%,探索,解 ：設(shè)每年他存入x元， 一年后存的本利和為 x(1+5%)， 兩年后的本利和為 x(1+5%)+ x(1+5%)2， 5 年后的本利和為 x(1+5%)+ x(1+5%)2 + x(1+5%)5 這是首項為x(1+5%)，公比為(1+5

13、%)，共5項的 等比數(shù)列.,某人為了5年后能購買一輛車，準(zhǔn)備每年到銀行去存一筆數(shù)額相同的錢假設(shè)銀行儲蓄年利率為5%，按復(fù)利計算，為了使5年后本利共有10萬元，問他每年約需存多少錢？（精確到元）,探索,依題意，列方程得 x(1+5% )+ x(1+5%)2 + x(1+5%)5 = 100000 即 1.05 x = 100000 解此方程，得 x 17236 元 所以每年約需存入 17236 元,解 ：設(shè)每年他存入x元，,探索,某人為了5年后能購買一輛車，準(zhǔn)備每年到銀行去存一筆數(shù)額相同的錢假設(shè)銀行儲蓄年利率為5%，按復(fù)利計算，為了使5年后本利共有10萬元，問他每年約需存多少錢？（精確到元）,歸

14、納,解決數(shù)列實際問題的步驟是： 讀題，確定數(shù)列類型； 尋求已知量，確定所求量； 選擇公式列式； 解答； 寫出答案,某劇場有20排座位，后一排比前一排多2個座位，最后一排有60個座位，這個劇場共有多少個座位？,思考,“神舟八號”發(fā)射成功！ 發(fā)射現(xiàn)場負(fù)責(zé)人立即給10個人發(fā)出短信：,試問最多有多少人收到了短信？,負(fù)責(zé)人發(fā)出的10條短信接收者的x值均為1，以后每一位收到短信后將x值都增加1，再將短信發(fā)出據(jù)統(tǒng)計，所發(fā)短信中x的最大值為10,思考,洗衣機用清水漂洗衣服時，每次可以漂去污物的80%，要使殘留的污物不超過原來的2%，問至少應(yīng)該漂洗幾次？,思考,例6從盛滿 升（ ）純酒精的容器里倒出1 升，然后

15、填滿水，再倒出1升混合溶液后又用水填滿，如此繼續(xù)下去問第 次操作后溶液的濃度是多少?若 ，至少應(yīng)倒幾次后才能使酒精濃度低于 ？,分析：這是一道數(shù)學(xué)應(yīng)用題解決應(yīng)用問題的關(guān)鍵是建立數(shù)學(xué)模型，使實際問題數(shù)學(xué)化注意到開始濃度為1，操作一次后溶液濃度是 .操作二次后溶液濃度是 ,，操作n次后溶液濃度是 .則不難發(fā)現(xiàn)，每次操作后溶液濃度構(gòu)成等比數(shù)列，由此便建立了數(shù)列模型解決數(shù)列問題，便可能達到解決實際問題之目的,有關(guān)等比數(shù)列的應(yīng)用題,解：設(shè)每次操作后溶液濃度為數(shù)列 ，則問題即為求數(shù)列的通項 依題意，知原濃度為1， ， ， 構(gòu)成以首項 ，公比 的等比數(shù)列， 所以 ， 故第n次操作后酒精濃度是 當(dāng) 時， 由

16、，得 . 因此，至少應(yīng)操作4次后，才能使酒精濃度低于 ,注：數(shù)學(xué)應(yīng)用問題的解答步驟： 一、通過閱讀，理解題意，建立數(shù)學(xué)模型； 二、通過解決數(shù)學(xué)問題，解決實際問題； 三、回答實際問題,例7某人年初欲向銀行貸款10萬元用于買房。已知有以下兩種還款方式： （）等額本息還款法：分10次等額歸還，年利 率為4%，按復(fù)利計算，每年年初還款一次； （）等額本金還款法：每年年初還本金1萬元，并加付欠款的利息，年利率為5%； 請問：他用哪一種還款方式比較合算？,(1) 解法1: 設(shè)每年還款m元 . 1051.0410 = m (1+4%)9 + m (1+4%)8 + m (1+4%)7 + + m = m (1.049 + 1.048 + 1.047 + + 1.04 +1) = 解得 m = 12330 (元) 即每年需還款12330元.實際房款為1233010=123300元,