1結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)

1、結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ),哈爾濱建筑大學(xué) 建筑工程學(xué)院 結(jié)構(gòu)力學(xué) 王煥定教授編制 1998年8月,結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)目錄,緒論 體系的運(yùn)動(dòng)方程建立 單自由度體系的振動(dòng) 多自由度體系的振動(dòng) 頻率和振型的實(shí)用計(jì)算方法 隨機(jī)振動(dòng)初步 結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)分析 結(jié)構(gòu)的振動(dòng)控制,一、緒論,1.1 阪神地震錄像 1.2 動(dòng)力荷載及其分類 1.3 結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)的研究?jī)?nèi)容和任務(wù) 1.4 結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析中體系的自由度 1.5 結(jié)構(gòu)的動(dòng)力特性 1.6 建立結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)方程的一般方法,一、緒論 1.1 阪神地震,首先請(qǐng)大家看日本阪神地震錄像，希望能從中體會(huì)到學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)的重要性。 更希望大家能學(xué)好結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)！,1.2 動(dòng)荷載及其分類,所謂動(dòng)荷

2、載是指：隨時(shí)間變化（三要素），且作用結(jié)果使受荷物體質(zhì)量的加速度（慣性力與外荷比）不可忽視，這種荷載稱動(dòng)力荷載，簡(jiǎn)稱動(dòng)荷。 自重、緩慢變化的荷載，其慣性力與外荷比很小，分析時(shí)仍視作靜荷載。 靜荷只與作用位置有關(guān)，而動(dòng)荷是坐標(biāo)和時(shí)間的函數(shù)。,1.2 動(dòng)荷載及其分類,動(dòng)荷載可有多種分類方法，常見(jiàn)的是：,動(dòng)荷載,確定,不確定,風(fēng)荷載,地震荷載,其他無(wú)法確定變化規(guī)律的荷載,周期,非周期,簡(jiǎn)諧荷載,非簡(jiǎn)諧荷載,沖擊荷載,突加荷載,其他確定規(guī)律的動(dòng)荷載,1.3結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)的研究?jī)?nèi)容和任務(wù),結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)是研究動(dòng)荷作用下結(jié)構(gòu)動(dòng)力反應(yīng)規(guī)律的學(xué)科。,1.3.1 結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)的研究?jī)?nèi)容 當(dāng)前結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)的研究?jī)?nèi)容可用下圖表示

3、,輸入 （動(dòng)力荷載）,結(jié)構(gòu) （系統(tǒng)）,輸出 （動(dòng)力反應(yīng)）,控制系統(tǒng) （裝置、能量）,第一類問(wèn)題：反應(yīng)分析正問(wèn)題,1.3結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)的研究?jī)?nèi)容和任務(wù),結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)是研究動(dòng)荷作用下結(jié)構(gòu)動(dòng)力反應(yīng)規(guī)律的學(xué)科。,1.3.1 結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)的研究?jī)?nèi)容 當(dāng)前結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)的研究?jī)?nèi)容可用下圖表示,控制系統(tǒng) （裝置、能量）,輸入 （動(dòng)力荷載）,結(jié)構(gòu) （系統(tǒng)）,輸出 （動(dòng)力反應(yīng)）,第二類問(wèn)題：參數(shù)（或稱系統(tǒng)）識(shí)別,1.3結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)的研究?jī)?nèi)容和任務(wù),結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)是研究動(dòng)荷作用下結(jié)構(gòu)動(dòng)力反應(yīng)規(guī)律的學(xué)科。,1.3.1 結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)的研究?jī)?nèi)容 當(dāng)前結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)的研究?jī)?nèi)容可用下圖表示,控制系統(tǒng) （裝置、能量）,輸入 （動(dòng)力荷載）,結(jié)構(gòu) （系

4、統(tǒng)）,輸出 （動(dòng)力反應(yīng)）,第三類問(wèn)題：荷載識(shí)別。二、三為反問(wèn)題,1.3結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)的研究?jī)?nèi)容和任務(wù),結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)是研究動(dòng)荷作用下結(jié)構(gòu)動(dòng)力反應(yīng)規(guī)律的學(xué)科。,1.3.1 結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)的研究?jī)?nèi)容 當(dāng)前結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)的研究?jī)?nèi)容可用下圖表示,輸入 （動(dòng)力荷載）,結(jié)構(gòu) （系統(tǒng)）,輸出 （動(dòng)力反應(yīng)）,控制系統(tǒng) （裝置、能量）,第四類問(wèn)題：控制問(wèn)題,1.3結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)的研究?jī)?nèi)容和任務(wù),1.3.2 結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)的任務(wù) 結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)的任務(wù)是: 討論結(jié)構(gòu)在動(dòng)力荷載作用下反應(yīng)的分析的方法。尋找結(jié)構(gòu)固有動(dòng)力特性、動(dòng)力荷載和結(jié)構(gòu)反應(yīng)三者間的相互關(guān)系，即結(jié)構(gòu)在動(dòng)力荷載作用下的反應(yīng)規(guī)律，為結(jié)構(gòu)的動(dòng)力可靠性（安全、舒適）設(shè)計(jì)提供依據(jù)。,1.3

5、.3 與其它課程間的關(guān)系 首先，結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)要求較熟練掌握已學(xué)過(guò)的力學(xué)知識(shí)。其次，要求較好地掌握已學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)（數(shù)學(xué)中未學(xué)的，在學(xué)習(xí)過(guò)程中將會(huì)介紹）。 結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)為工程結(jié)構(gòu)的抗震、抗風(fēng)設(shè)計(jì)等提供依據(jù)。結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)基本原理、方法適用于一切工程。,1.4 結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析中的自由度,1.4.1 自由度的定義 確定體系中質(zhì)量位置的獨(dú)立坐標(biāo)數(shù)，稱作體系的自由度數(shù)。 應(yīng)注意：自由度數(shù)和質(zhì)量點(diǎn)個(gè)數(shù)有關(guān)，但沒(méi)有確定關(guān)系。,1.4.2 實(shí)際結(jié)構(gòu)自由度的簡(jiǎn)化方法 實(shí)際結(jié)構(gòu)都是無(wú)限自由度體系，這不僅導(dǎo)致分析困難，而且從工程角度也沒(méi)必要。常用簡(jiǎn)化方法有： 1) 集中質(zhì)量法 將實(shí)際結(jié)構(gòu)的質(zhì)量看成（按一定規(guī)則）集中在某些幾何點(diǎn)

6、上，除這些點(diǎn)之外物體是無(wú)質(zhì)量的。這樣就將無(wú)限自由度系統(tǒng)變成一有限自由度系統(tǒng)。,1.4 結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析中的自由度,2) 廣義坐標(biāo)法 以簡(jiǎn)支梁無(wú)限自由度體系為例，設(shè)梁上任意一點(diǎn)的位移可分離變量成 y(x,t)=Y(x)T(t) ，而Y(x)和里茲法一樣可用滿足位移邊界條件的“基函數(shù)”（例如正弦級(jí)數(shù)）線性組合來(lái)逼近，組合系數(shù)就是廣義坐標(biāo)，從而將無(wú)限自由度系統(tǒng)變成有限個(gè)廣義坐標(biāo)的系統(tǒng)。因此，簡(jiǎn)化系統(tǒng)的自由度就是廣義坐標(biāo)數(shù)。,如果不考慮軸向變形，則圖示平面集中質(zhì)量系統(tǒng)的自由度分別為：,如果不考慮軸向變形，則圖示空間集中質(zhì)量系統(tǒng)的自由度分別為：,請(qǐng)考慮計(jì)軸向變形結(jié)果如何？,2,2,2,3,3,4,6,4,1

7、.4 結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析中的自由度,3) 有限單元法 和靜力問(wèn)題一樣，可通過(guò)將實(shí)際結(jié)構(gòu)離散化為有限個(gè)單元的集合，將無(wú)限自由度問(wèn)題化為有限自由度來(lái)解決。由于將專門(mén)介紹，這里不再贅述。,雖將簡(jiǎn)單介紹有限單元法，但本部分主要討論集中質(zhì)量法。對(duì)集中質(zhì)量而言，自由度并不難理解，但如果錯(cuò)誤判斷了自由度個(gè)數(shù)，象超靜定問(wèn)題基本未知量個(gè)數(shù)一樣，由于它的錯(cuò)誤，后面再算是無(wú)意義的。因此，必須熟練地掌握自由度的確定。,1.5 結(jié)構(gòu)的動(dòng)力特性,結(jié)構(gòu)受動(dòng)荷載作用，它的反應(yīng)不僅和動(dòng)荷載有關(guān)，而且還和結(jié)構(gòu)本身固有的特性（包括結(jié)構(gòu)阻尼、頻率譜和振型等）有關(guān)。 設(shè)有單自由度的剛架和桁架，如果它們具有相同的阻尼、頻率，在相同動(dòng)荷載下將具

8、有相同的反應(yīng)?？梢?jiàn)結(jié)構(gòu)的固有特性能確定動(dòng)荷下的反應(yīng)程度，因此將他們稱作結(jié)構(gòu)的動(dòng)力特性。,1.5.1 自振頻率和頻率譜 外界干擾消除後，系統(tǒng)在平衡位置附近所產(chǎn)生的振動(dòng)，稱作自由振動(dòng)（無(wú)外荷作用的振動(dòng)）。自由振動(dòng)的頻率稱自振頻率，簡(jiǎn)稱自頻。,1.5 結(jié)構(gòu)的動(dòng)力特性,實(shí)際結(jié)構(gòu)有小于等于（一般等于）自由度數(shù)的自振頻率，將其按從小到達(dá)依次排列，此排列稱作頻率譜。 頻率譜中最小的頻率稱作基本頻率，簡(jiǎn)稱基頻。其后依次稱為第二、三等等頻率。他們可以通過(guò)計(jì)算和試驗(yàn)得到。 不同結(jié)構(gòu)頻率譜的分布是不同的。象單跨梁、不計(jì)扭轉(zhuǎn)振動(dòng)的房屋等，相鄰兩頻率間隔較大，這樣的頻譜稱稀疏型的。 對(duì)于空間結(jié)構(gòu)、考慮扭轉(zhuǎn)振動(dòng)的房屋等，

9、頻譜中存在密集區(qū)，這樣的頻譜稱密集型的。 結(jié)構(gòu)的動(dòng)力反應(yīng)和它的頻譜有密切關(guān)系。,1.5 結(jié)構(gòu)的動(dòng)力特性,1.5.2 結(jié)構(gòu)的振型 當(dāng)在一定條件下結(jié)構(gòu)按頻譜中某一頻率振動(dòng)時(shí)，在任意時(shí)刻各質(zhì)量的位移都保持同一比例，也即變形形狀是固定的。這一變形形式稱作此頻率對(duì)應(yīng)的振型。與基頻對(duì)應(yīng)的振型稱第一振型或基本振型，其他依次稱第二、第三振型等等。 振型也可通過(guò)計(jì)算或?qū)嶒?yàn)得到，在多自由度體系分析時(shí)，它是重要的工具。,1.5.3 結(jié)構(gòu)的阻尼 實(shí)際結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)都是衰減的，經(jīng)一定時(shí)間后將仍處于平衡。這說(shuō)明振動(dòng)過(guò)程有能量耗散，這種能量耗散作用稱作阻尼。,1.5 結(jié)構(gòu)的動(dòng)力特性,產(chǎn)生能量耗散的原因很多，如材料的內(nèi)摩擦、

10、周圍介質(zhì)對(duì)能量的吸收等等。至今為止，對(duì)阻尼機(jī)理仍然是沒(méi)有解決的問(wèn)題。 為了在動(dòng)力分析中考慮阻尼的影響，使分析更符合實(shí)際，人們提出了種種關(guān)于阻尼的假定。這些假定統(tǒng)稱作阻尼理論。 限于學(xué)時(shí)，這里只介紹一種常用的“等效粘滯”阻尼理論。所謂等效粘滯阻尼是假設(shè)： 導(dǎo)致能量耗散是由于存在阻尼力，它和運(yùn)動(dòng)的速度成正比，方向和速度方向相反。這比例系數(shù)稱阻尼系數(shù)，其數(shù)值由試驗(yàn)確定。 根據(jù)這一理論，單自由度的阻尼力為 。,1.6 建立結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)方程的一般方法,要了解和掌握結(jié)構(gòu)動(dòng)力反應(yīng)的規(guī)律，必須首先建立描述結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)的（微分）方程。建立運(yùn)動(dòng)方法很多，擇常用的簡(jiǎn)單介紹如下： 1) 應(yīng)用達(dá)朗泊爾原理，通過(guò)列瞬時(shí)“動(dòng)平衡”

11、方程來(lái)建立。由于下一章將專門(mén)介紹，這里不贅述。 2) 虛功法 根據(jù)達(dá)朗泊爾原理和所假設(shè)的阻尼理論，在質(zhì)量上考慮慣性力、阻尼力的作用，則在任意瞬時(shí)質(zhì)量應(yīng)該處于“動(dòng)平衡”狀態(tài)，因此根據(jù)虛位移原理，外力（動(dòng)荷載、慣性力、阻尼力）的總虛功應(yīng)恒等于總虛變形功。也即通過(guò)列虛功方程象1)一樣來(lái)獲得運(yùn)動(dòng)方程。由于是用虛功方程來(lái)建立平衡條件，稱虛功法。,1.6 建立結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)方程的一般方法,3) 利用哈密頓原理來(lái)建立運(yùn)動(dòng)方程變分法 分析力學(xué)中學(xué)過(guò)哈密頓原理。通過(guò)建立系統(tǒng)動(dòng)能、勢(shì)能和耗能（分別記作 T、EP、V），獲得如下哈密頓泛函,根據(jù)哈密頓原理，可由令哈密頓泛函的一階變分等于零來(lái)建立“動(dòng)平衡方程”運(yùn)動(dòng)方程。 當(dāng)

12、沒(méi)有耗能時(shí)，所得到的是無(wú)阻尼的方程。否則，是有阻尼情況。 用哈密頓原理時(shí)和上兩方法不同，不再考慮慣性力、阻尼例和彈性恢復(fù)力等，它們通過(guò)能量變分來(lái)得到。,二、體系的運(yùn)動(dòng)方程建立,2.1 建立運(yùn)動(dòng)方程的基本步驟 2.2 運(yùn)動(dòng)方程建立舉例 2.3 體系運(yùn)動(dòng)方程的一般形式 2.4 應(yīng)注意的幾個(gè)問(wèn)題 2.5 剛度法、柔度法列方程的步驟 2.6 運(yùn)動(dòng)方程建立總結(jié),2.1 建立運(yùn)動(dòng)方程的基本步驟,作為本科學(xué)習(xí)，這里只討論用達(dá)朗泊爾原理通過(guò)列平衡方程得到運(yùn)動(dòng)方程的“直接平衡法”。以下討論中一律認(rèn)為系統(tǒng)的阻尼是等效粘滯阻尼。 直接平衡法列方程的一般步驟為： 1) 確定體系的自由度質(zhì)量獨(dú)立位移數(shù)； 2) 建立坐標(biāo)

13、系，確定未知位移（坐標(biāo)正向?yàn)檎?3) 根據(jù)阻尼理論確定質(zhì)量所受的阻尼力； 4) 根據(jù)達(dá)朗泊爾原理在質(zhì)量上假想作用有慣性力（注意：慣性力是實(shí)際的，但它不作用在質(zhì)量上）； 5) 取質(zhì)量為隔離體并作受力圖； 6) 根據(jù)達(dá)朗泊爾原理列每一質(zhì)量的瞬時(shí)動(dòng)力平衡方程，此方程就是運(yùn)動(dòng)（微分）方程。,列平衡方程稱剛度法,2.1 建立運(yùn)動(dòng)方程的基本步驟,作為本科學(xué)習(xí)，這里只討論用達(dá)朗泊爾原理通過(guò)列平衡方程得到運(yùn)動(dòng)方程的“直接平衡法”。以下討論中一律認(rèn)為系統(tǒng)的阻尼是等效粘滯阻尼。 直接平衡法列方程的一般步驟為： 1) 確定體系的自由度質(zhì)量獨(dú)立位移數(shù)； 2) 建立坐標(biāo)系，確定未知位移（坐標(biāo)正向?yàn)檎?3) 根據(jù)

14、阻尼理論確定質(zhì)量所受的阻尼力； 4) 根據(jù)達(dá)朗泊爾原理在質(zhì)量上假想作用有慣性力（注意：慣性力是實(shí)際的，但它不作用在質(zhì)量上）；,列位移方程稱柔度法,5) 將動(dòng)力外荷、慣性力、阻尼力作為“外力”，按位移計(jì)算公式求各質(zhì)量沿自由度方向的位移，其結(jié)果應(yīng)該等于未知位移（滿足協(xié)調(diào)），由此建立方程。,2.2 運(yùn)動(dòng)方程建立舉例,2.2.1 單自由度體系運(yùn)動(dòng)方程 例-1) 試建立圖示結(jié)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)方程。,h,m,EI,P(t),解：由于橫梁剛度無(wú)窮大，結(jié)構(gòu)只能產(chǎn)生水平位移。設(shè)x坐標(biāo)向右（右手系）。,又設(shè)橫梁（質(zhì)量m）位移為u，以它為隔離體，受力如圖所示。,P(t),h,列x方向全部力的平衡方程，即可得結(jié)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)方程為

15、,圖中Fs1和Fs2可由圖是有位移法（實(shí)際直接可由形常數(shù)）得到,2.2 運(yùn)動(dòng)方程建立舉例,2.2.1 單自由度體系運(yùn)動(dòng)方程,解：圖示結(jié)構(gòu)只能產(chǎn)生豎向位移，顯然這是單自由度對(duì)稱振動(dòng)。設(shè)質(zhì)量豎向位移為v，向下為正。,將慣性力fI、阻尼力fd如圖所示加于梁上，根據(jù)達(dá)朗泊爾原理和阻尼假定,l/2,l/2,m,例-2) 試建立圖示抗彎剛度為 EI 簡(jiǎn)支梁的運(yùn)動(dòng)方程。（不計(jì)軸向變形）,l/2,l/2,fI,fd,P(t),P(t),由位移計(jì)算可知，單位荷載下簡(jiǎn)支梁跨中豎向位移為,因此在所示“外力”下，質(zhì)量的位移為,2.2 運(yùn)動(dòng)方程建立舉例,2.2.1 單自由度體系運(yùn)動(dòng)方程 例-3) 試建立圖示結(jié)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)方

16、程。,h,m,EI,P(t),解：由于橫梁剛度無(wú)窮大，結(jié)構(gòu)只能產(chǎn)生水平位移。設(shè)質(zhì)量m位移為u，向右為正。根據(jù)達(dá)朗泊爾原理和假設(shè)的阻尼力理論，加慣性力和阻尼力后受力如圖。,P(t),h,由超靜定位移計(jì)算可得（如圖示意）,h,1,因此，外力下位移為,顯然，整理後結(jié)果和例-1）相同，k= -1,2.2 運(yùn)動(dòng)方程建立舉例,2.2.1 單自由度體系運(yùn)動(dòng)方程,解：圖示結(jié)構(gòu)只能產(chǎn)生豎向位移，顯然這是單自由度對(duì)稱振動(dòng)。設(shè)質(zhì)量豎向位移為v，向下為正。,l/2,l/2,m,例-4) 試建立圖示抗彎剛度為 EI 簡(jiǎn)支梁的運(yùn)動(dòng)方程。（不計(jì)軸向變形）,P(t),因此由所示“外力”平衡可得,1,R,利用對(duì)稱性由（形常數(shù)）

17、可得質(zhì)量點(diǎn)處所加支桿單位位移時(shí)的R（=？）。以m為隔離體，加上慣性力fI、阻尼力fd如圖所示，根據(jù)達(dá)朗泊爾原理和阻尼假定,顯然,整理後結(jié)果和例-2)相同，k= -1,2.2 運(yùn)動(dòng)方程建立舉例,2.2.1 單自由度體系運(yùn)動(dòng)方程,解：將慣性力fI、阻尼力fd如圖所示加于梁上，根據(jù)達(dá)朗泊爾原理和阻尼假定,僅在P(t)作用下m的位移由位移計(jì)算得,l/2,l/2,m,例-5) 若例-2)簡(jiǎn)支梁動(dòng)荷載作用在3l/4處,試建立其運(yùn)動(dòng)方程,l/2,l/2,fI,fd,P(t),P(t),由位移計(jì)算可知，單位荷載下簡(jiǎn)支梁跨中豎向位移為,作業(yè)： P -1的 物理意義 是什麼？,因此在所示“外力”下，質(zhì)量的位移為,

18、2.2 運(yùn)動(dòng)方程建立舉例,2.2.1 單自由度體系運(yùn)動(dòng)方程,解：設(shè)質(zhì)量水平位移為u，向右為正。,例-6) 試建立圖示質(zhì)量、彈簧、阻尼器抽象化模型的運(yùn)動(dòng)方程。,因此由所示“外力”平衡可得,m,k,以m為隔離體，加上慣性力fI、阻尼力fd如圖所示，此外還有彈簧的彈性恢復(fù)力fe 。根據(jù)達(dá)朗泊爾原理和阻尼假定,c,m,P(t),由這些例子顯然可見(jiàn)，不管什麼單自由度結(jié)構(gòu)，運(yùn)動(dòng)方程的最終形式都是一樣的。,2.2 運(yùn)動(dòng)方程建立舉例,單自由度體系運(yùn)動(dòng)方程建立小結(jié),任何單自由度結(jié)構(gòu)，運(yùn)動(dòng)方程都可寫(xiě)為,式中：m質(zhì)量；c阻尼系數(shù)；k剛度系數(shù)；Peq為等效動(dòng)荷載。 當(dāng)動(dòng)荷載直接作用在質(zhì)量上時(shí)，Peq為動(dòng)荷載的合力在運(yùn)

19、動(dòng)方向的投影； 當(dāng)動(dòng)荷載不作用在質(zhì)量上時(shí)，Peq為動(dòng)荷載作用下限制沿自由度運(yùn)動(dòng)的支座反力。,用剛度法還是用柔度法建立方程，看具體問(wèn)題是求剛度系數(shù)方便、還是求柔度系數(shù)方便來(lái)定。,沒(méi)有等效動(dòng)荷為自由振動(dòng)，沒(méi)第二項(xiàng)為無(wú)阻尼振動(dòng),2.2 運(yùn)動(dòng)方程建立舉例,2.2.2 兩自由度體系運(yùn)動(dòng)方程,解：結(jié)構(gòu)為兩自由度體系。設(shè)水平、豎向位移為u、v，分別向右、向下為正。,例-7) 試建立圖示結(jié)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)方程。各桿長(zhǎng)度為l，抗彎剛度為EI。,式中cij 為j方向單位速度引起的i方向的阻尼力。,m,根據(jù)達(dá)朗泊爾原理和阻尼假定,Px(t),為用柔度法建方程，沿位移正向加單位力的單位彎矩圖如圖所示。,m,Px(t),2.2

20、 運(yùn)動(dòng)方程建立舉例,2.2.2 兩自由度體系運(yùn)動(dòng)方程,由圖示單位彎矩圖 可求得,因此，在所示“外力”下u、v分別為,2.2 運(yùn)動(dòng)方程建立舉例,2.2.2 兩自由度體系運(yùn)動(dòng)方程,以矩陣方程表示，整理後可得,記作d 稱位移陣,記作P稱荷載陣,記作f 稱柔度陣,記作M 稱質(zhì)量陣,記作C稱阻尼陣,2.2 運(yùn)動(dòng)方程建立舉例,2.2.2 兩自由度體系運(yùn)動(dòng)方程,解：為用剛度法建方程，沿位移正向加限制位移的支座如圖所示。,例-8) 試用剛度法建立結(jié)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)方程。,圖中,由位移法或彎矩分配法可做出支座單位位移的彎矩圖如圖示。,1,1,M1,M2,M3,M4,2.2 運(yùn)動(dòng)方程建立舉例,2.2.2 兩自由度體系運(yùn)動(dòng)方程,圖中,1,1,k11,k22,M1,M2,M3,M4,由此可求得圖示反力(剛度)系數(shù)kij,取質(zhì)量為隔離體，加慣性力fIx、 fIy，阻尼力fdx 、 fdy和彈性恢復(fù)力fex、 fey。,2.2 運(yùn)動(dòng)方程建立舉例,2.2.2 兩自由度體系運(yùn)動(dòng)方程,由達(dá)朗泊爾原理、阻尼理論和上述結(jié)果可得,列平衡方程并以矩陣方程表示，則得運(yùn)動(dòng)方程如下,記作k稱剛度陣,由兩例系數(shù)結(jié)果可證k=f-1,2.2 運(yùn)動(dòng)方程建立舉例,2.2.2 兩自由度體系運(yùn)動(dòng)方程,解：為用剛度法建方程，沿位