1第7章控制系統(tǒng)的計算機輔助分析xin.ppt

1、1,本章內(nèi)容 (1)利用MATLAB求取系統(tǒng)的各種特性函數(shù)； (2)利用MATLAB分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性； (3)利用MATLAB求取系統(tǒng)在典型和任意輸入信號作用下的時域 響應(yīng)； (4)利用MATLAB繪制系統(tǒng)的根軌跡，在根軌跡上可確定任意點 的根軌跡增益K值，從而得到系統(tǒng)穩(wěn)定的根軌跡增益K值范圍； (5)利用MATLAB繪制系統(tǒng)的Bode圖、Nichols圖和Nyquist圖等， 并求取系統(tǒng)的幅值裕量和相位裕量； (6)利用MATLAB分析系統(tǒng)的能控性和能觀測性.,第7章 控制系統(tǒng)的計算機輔助分析,2,7.1.1 矩陣函數(shù),1 矩陣行列式 矩陣Aaij的行列式定義為 Adet(A)=(-1)ka

2、1k1 a2k2ankn MATLAB求矩陣行列式函數(shù)的調(diào)用格式為 det(A) 計算矩陣的行列式有多種算法,在MATLAB 中采用的方法為LU分解法。,7.1 系統(tǒng)的特性函數(shù),3,2 矩陣求逆 對于一個已知的nn維非奇異方陣A來說，如果有一個同樣大小的C矩陣滿足 ACCAI 式中 I為單位陣，則稱C矩陣為A矩陣的逆矩陣，并記作CA1 。 MATLAB提供了一個求取逆矩陣的函數(shù)inv( )，其調(diào)用格式為 inv(A),4,3 矩陣的跡 假設(shè)一個方陣為 Aaij,i,j=1,2,n;則矩陣A的跡定義為 亦即矩陣的跡為該矩陣對角線上各個元素之和。由代數(shù)理論可知矩陣的跡和該矩陣的特征值之和是相同的。

3、在MATLAB中提供了求取矩陣跡的函數(shù)trace( )，其調(diào)用方法為 trace(A),5,4 矩陣的秩 對于nm維的矩陣A，若矩陣所有的列向量中共有 rc個線性無關(guān)，則稱矩陣的列秩為rc，如果rc=m， 則稱A為列滿秩矩陣，相應(yīng)地，若矩陣A的行向量中有rr個是線性無關(guān)的，則稱矩陣A的行秩為rr, 如果rrn，則稱A為行滿秩矩陣。 MATLAB提供了一個內(nèi)部函數(shù)rank( )來用數(shù)值方法求取一個已知矩陣的秩，其調(diào)用格式為 k=rank(A),6,5 矩陣的三角分解 矩陣的三角分解又稱為LU分解，它的目的是將一個矩陣A分解成一個下三角矩陣L和一個上三角矩陣U的乘積，亦即可以寫成ALU。 在MAT

4、LAB下也給出了矩陣的LU分解函數(shù)lu( )，該函數(shù)的調(diào)用格式為 L,U=lu(A),7,6 矩陣的奇異值分解 cond(A) 7 矩陣的范數(shù) N=norm(A,選項),表7-2 矩陣范數(shù)函數(shù)的選項定義,8,8 矩陣的特征值與特征向量 V，D=eig(A) 其中 A為要處理的矩陣，D為一個對角矩陣，其對角線上的元素為矩陣A的特征值，而每個特征值對應(yīng)的V矩陣的列為該特征值的特征向量，該矩陣是一個滿秩矩陣，它滿足AVVD，且每個特征向量各元素的平方和（即2范數(shù)）均為1。 9 矩陣的特征多項式、特征方程和特征根 MATLAB提供了求取矩陣特征多項式系數(shù)的函數(shù)poly( ），其調(diào)用格式為 P=poly

5、(A),9,其中 A為給定的矩陣，返回值P為一個行向量，其各個分量為矩陣A的降冪排列的特征多項式系數(shù)。即 P= a 0 a 1 a n MATLAB中根據(jù)矩陣特征多項式求特征根的函數(shù)為roots( )，其調(diào)用格式為 V=roots(P) 其中 P為特征多項式的系數(shù)向量，而V為特征多項式的解，即原始矩陣的特征根。,10,7.1.2 數(shù)值分解,1. 數(shù)據(jù)處理 如果給定一組數(shù)據(jù)xi，i=1,2,n, 則可利用MATLAB將這些數(shù)據(jù)用一個向量表示出來，即 x=x1,x2,xn 利用MATLAB的函數(shù)max( )和min( )便可求出這組數(shù)據(jù)的最大和最小值，命令格式如下 xM,i=max(x) xm,i

6、=min(x),11,2. 按實部或幅值對特征值進行排序 MATLAB的函數(shù)esort( )和dsort( )的調(diào)用格式為 s,ndx=esort(P) 或 s,ndx=dsort(P) 其中 esort(P)對連續(xù)系統(tǒng)，根據(jù)實部按遞減順序?qū)κ噶縋中的復(fù)特征值進行排序，ndx為索引矢量,12,3. 多項式及多項式矩陣求值 如果f(x)函數(shù)為下面的一個多項式 f(x)=a0 xn+ a1x(n-1)+an-1x+an 則可以求出該函數(shù)的導(dǎo)數(shù)函數(shù)為 f (x)=n a0 xn-1+(n-1)a1xn-2+an-1 在MATLAB中提供了多項式求值函數(shù)polyval( ) 和多項式求導(dǎo)的函數(shù)poly

7、der( )它們的調(diào)用格式分別為 f(x0)=polyval(p,x0) 及 p1=polyder(p),13,4. 數(shù)值積分 對于函數(shù)f(x)的定積分 可利用MATLAB quad( )函數(shù)來求取定積分，調(diào)用格式為 y=quad(函數(shù)名,a,b,tol),14,5. 非線性方程求解 對于非線性方程 f(x,t)=0 MATLAB提供了函數(shù)fzero( )和fsolve( )可以方便地求得解，它們的調(diào)用格式分別為 x=fzero(函數(shù)名，初值) 和 x=fsolve(函數(shù)名，初值),15,6. 函數(shù)的極值 MATLAB中提供了兩個基于單純形算法求解函數(shù)最小值的函數(shù)fmin( )和fmins(

8、)，它們分別對應(yīng)于單變量和多變量的最優(yōu)化問題的求解，其調(diào)用格式分別為 x=fmin(函數(shù)名，初值，選項) x=fmins(函數(shù)名，初值，選項),16,7. 函數(shù)圖形的繪制 MATLAB還允許調(diào)用fplot( )函數(shù)來直接繪制出函數(shù)的圖形，該函數(shù)的調(diào)用格式為 fplot(函數(shù)名,t0,tf,N) 其中 t0,tf為繪制區(qū)間,N為點數(shù)，N默認時將取N25，函數(shù)名既可為自定義的任意m函數(shù)，也可為基本數(shù)學函數(shù)。,17,7.1.3 求系統(tǒng)的阻尼系數(shù)和自然頻率,MATLAB函數(shù)damp( )和ddamp( ) 的調(diào)用格式為 n,=damp(A) n, p=ddamp(A) n, p=ddamp(A,Ts)

9、,18,7.1.4 求控制系統(tǒng)的增益,MATLAB的函數(shù)dcgain ( )的調(diào)用格式為 K=dcgain(num,den) 或 K=dcgain(A,B,C,D) 其中 返回值K為系統(tǒng)增益，即放大系數(shù)。對于單變量系統(tǒng)，K為標量；對于多變量系統(tǒng)，K為向量或矩陣。,19,3.顯示打印線性系統(tǒng) MATLAB的printsys( )函數(shù)可按特殊格式打印出狀態(tài)空間和傳遞函數(shù)表示的系統(tǒng)。 printsys(num,den,s) %顯示打印連續(xù)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，默認方式； printsys(num,den,z) %顯示打印離散系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)； printsys(A,B,C,D) %顯示打印狀態(tài)空間形式的

10、系數(shù)矩陣； printsys(A,B,C,D,ulabels,ylabels,xlabds) %用ulabels,ylabels,xlabds中指定的符號標記出系統(tǒng)矩陣A,B,C,D。,20,7.2 控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析,對于連續(xù)時間系統(tǒng)，如果閉環(huán)極點全部在S平面左半平面，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的。 對于離散時間系統(tǒng)，如果系統(tǒng)全部極點都位于Z平面的單位圓內(nèi)，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的。 若連續(xù)時間系統(tǒng)的全部零極點都位于S左半平面；或若離散時間系統(tǒng)的全部零極點都位于Z平面單位圓內(nèi)，則系統(tǒng)是最小相位系統(tǒng)。,一、系統(tǒng)穩(wěn)定及最小相位系統(tǒng)判據(jù),21,1.利用極點判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性 判斷一個線性系統(tǒng)穩(wěn)定性的一種最有效的方法是直接

11、求出系統(tǒng)所有的極點，然后根據(jù)極點的分布情況來確定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。,例exp4_1.m 系統(tǒng)模型如下所示，判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性，以及系統(tǒng)是否為最小相位系統(tǒng)。,22,clear clc close all %系統(tǒng)描述 num=3 16 41 28; den=1 14 110 528 1494 2117 112; %求系統(tǒng)的零極點 z,p,k=tf2zp(num,den) %檢驗零點的實部；求取零點實部大于零的個數(shù) ii=find(real(z)0) n1=length(ii); %檢驗極點的實部；求取極點實部大于零的個數(shù) jj=find(real(p)0) n2=length(jj); %判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)

12、定,if(n20) disp(the system is unstable) disp(the unstable pole are:) disp(p(jj) else disp(the system is stable) end %判斷系統(tǒng)是否為最小相位系統(tǒng) if(n10)|(n20) disp(the system is a nonminimal phase one) else disp(the syetem is a minimal phase one) end %繪制零極點圖 pzmap(p,z),23,z = -2.1667 + 2.1538i -2.1667 - 2.1538i -1

13、.0000 p = -1.9474 + 5.0282i -1.9474 - 5.0282i -4.2998 -2.8752 + 2.8324i -2.8752 - 2.8324i -0.0550 k = 3,ii = Empty matrix: 0-by-1 jj = Empty matrix: 0-by-1 the system is stable the syetem is a minimal phase one,24,25,ii=find(條件式) 用來求取滿足條件的向量的下標向量，以列向量表示。,例如 exp4_1.m中的條件式為real(p0)，其含義就是找出極點向量p中滿足實部的值

14、大于0的所有元素下標，并將結(jié)果返回到ii向量中去。這樣如果找到了實部大于0的極點，則會將該極點的序號返回到ii下。如果最終的結(jié)果里ii的元素個數(shù)大于0，則認為找到了不穩(wěn)定極點，因而給出系統(tǒng)不穩(wěn)定的提示，若產(chǎn)生的ii向量的元素個數(shù)為0，則認為沒有找到不穩(wěn)定的極點，因而得出系統(tǒng)穩(wěn)定的結(jié)論。,pzmap(p,z) 根據(jù)系統(tǒng)已知的零極點p和z繪制出系統(tǒng)的零極點圖,26,已知離散系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為 判斷單位負反饋系統(tǒng)的穩(wěn)定性,27,num0=5 4 1 0.6 -3 0.5; den0=1 0 0 0 0 0; num,den=cloop(num0,den0); r=roots(den); ii=

15、find(abs(r)1); n1=length(ii); if(n10) disp(system is unstable,with ,int2str(n1), unstable pole); else disp(system is stable); end,執(zhí)行結(jié)果顯示：system is unstable,with 1 unstable pole,r = -1.0700 -0.1762 + 0.8552i -0.1762 - 0.8552i 0.5793 0.1763,28,num0=5 4 1 0.6 -3 0.5; den0=1 0 0 0 0 0; num,den=cloop(num

16、0,den0); r=roots(den) k=0; for i=1:length(r) if(abs(r(i)1) k=k+1; end end if(k0) disp(system is unstable,with ,int2str(k), unstable pole); else disp(system is stable); end,29,2.利用特征值判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性 系統(tǒng)的特征方程 |sI-A|=sn+a1sn-1+an-1s+an0 的根稱為系統(tǒng)的特征值，即系統(tǒng)的閉環(huán)極點。當然判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性同樣可利用特征值來判斷。,30,矩陣的特征多項式、特征方程和特征根 MATLAB提供了求

17、取矩陣特征多項式系數(shù)的函數(shù)poly( ），其調(diào)用格式為 P=poly(A) 其中 A為給定的矩陣，返回值P為一個行向量，其各個分量為矩陣A的降冪排列的特征多項式系數(shù)。即 P= a 0 a 1 a n MATLAB中根據(jù)矩陣特征多項式求特征根的函數(shù)為roots( )，其調(diào)用格式為 V=roots(P) 其中 P為特征多項式的系數(shù)向量，而V為特征多項式的解，即原始矩陣的特征根。,31,例exp4_2.m 已知某系統(tǒng)的模型如右所示：,要求判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。,32,a=1 2 -1 2;2 6 3 0;4 7 -8 -5;7 2 1 6; p=poly(a); r=roots(p); ii=find(

18、real(r)0) n1=length(ii); if(n10) disp(the system is unstable) disp(the unstable pole are:) disp(r(ii) else disp(the system is stable) end pzmap(p,z),33,執(zhí)行結(jié)果：ii = 1 2 the system is unstable the unstable pole are: 7.8449 + 0.3756i 7.8449 - 0.3756i,34,3.用李雅普諾夫第二法來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性,線性定常連續(xù)系統(tǒng) (7-2) 在平衡狀態(tài)xe=0處，漸近穩(wěn)定

19、的充要條件是：對任給的一個正定對稱矩陣Q，存在一個正定的對稱矩陣P，且滿足矩陣方程 ATPPAQ 而標量函數(shù)V(x)=xTPx是這個系統(tǒng)的一個二次型形式的李雅普諾夫函數(shù)。 MATLAB提供了李雅普諾夫方程的求解函數(shù)lyap( )，其調(diào)用格式為 P=lyap(A ,Q),35,例：設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為： 其平衡狀態(tài)在坐標原點處，試判斷該系統(tǒng)的穩(wěn)定性。,36,A=0 1;-1 -1; Q=eye(size(A); P=lyap(A,Q); i1=find(P(1,1)0);n1=length(i1); i2=find(det(P)0);n2=length(i2); if(n10 end,37,7.3

20、 時域響應(yīng)分析,功能：描述系統(tǒng)的動態(tài)性能 響應(yīng)：是指零初始值條件下某種典型的輸入函數(shù)作用下對象的輸出。,38,7.3 時域響應(yīng)分析,階躍響應(yīng) 脈沖響應(yīng) 零輸入響應(yīng) 任意輸入響應(yīng),step( ),impulse( ),initial( ),lsim( ),39,1.任意信號函數(shù) 生成任意信號函數(shù)gensig( )的調(diào)用格式為 u,t=gensig(type,Ta) 或 u,t=gensig(type,Ta,Tf,T) 其中 第一式產(chǎn)生一個類型為type的信號序列u(t)，周期為Ta，type為以下標識字符串之一：sin正弦波；square方波；pulse脈沖序列；第二式同時定義信號序列u(t)的

21、持續(xù)時間Tf和采樣時間T。,40,例7-11 生成一個周期為5秒，持續(xù)時間為30秒，采樣時間為0.1秒的方波。 解 Matlab窗口中執(zhí)行以下命令可得圖7-3所示結(jié)果。 u,t=gensig(square,5,30,0.1); plot(t,u) axis(0,30 0.5 1.5),41,圖7-3,42,2.連續(xù)系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng) 單位階躍響應(yīng)函數(shù)step( )的調(diào)用格式為 y,x,t=step(num,den,t) 或 y,x,t=step(A,B,C,D,iu,t) 式中 t為選定的仿真時間向量， 一般可以由t=0:step:end等步長地產(chǎn)生。函數(shù)返回值y為系統(tǒng)在各個仿真時刻的輸出所組

22、成的矩陣；而x為自動選擇的狀態(tài)變量的時間響應(yīng)數(shù)據(jù)。 如只想繪制出系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線，則可以由如下的格式調(diào)用此函數(shù) step(num,den,t) step(A,B,C,D,t) 線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)值可以通過函數(shù)dcgain()來求取，其調(diào)用格式為： dc=dcgain(sys); dc=dcgain(a,b,c,d); dc=dcgain(num,den),43,例：假設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 試求該系統(tǒng)在單位負反饋下的階躍響應(yīng)曲線和最大超調(diào)度。,num0=20; den0=1 8 36 40 0; num,den=cloop(num0,den0); t=0:0.1:10; y,x,t=step(n

23、um,den,t); plot(t,y) M=(max(y)-1)/1)*100; disp(最大超調(diào)量M=,num2str(M),%) dc=dcgain(num,den),44,執(zhí)行結(jié)果顯示：最大超調(diào)量M=2.5546%dc = 1,45,例7-13 對于典型二階系統(tǒng) 試繪制出無阻尼自然振蕩頻率n=6，阻尼比分別為0.2,0.4,1.0,2.0時系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線。,46,解 MATLAB程序如下： 執(zhí)行后可得如圖7-5所示 的單位階躍響應(yīng)曲線。 wn=6; zeta=0.2:0.2:1.0,2.0; figure(1); hold on for I=zeta num=wn.2; de

24、n=1,2*I*wn,wn.2; step(num,den); end title(step response); hold off,圖7-5,47,3.離散系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng) 離散系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)函數(shù)dstep( )的調(diào)用格式為 y,x=dstep(num,den,n) 或 y,x=dstep(G,H,C,D,iu,n) 式中 n為選定的取樣點個數(shù)，當n省略時，取樣點數(shù)由函數(shù)自動選取，其余參數(shù)定義同前。,48,例7-15 已知二階離散系統(tǒng) 試求其單位階躍響應(yīng)。 解 MATLAB程序為 num=2 -3.4 1.5; den=1 -1.6 0.8; dstep(num,den); 執(zhí)行后得如

25、圖7-7所示的 單位階躍響應(yīng)曲線。,圖7-7,49,仿真時間t的選擇： 對于典型二階系統(tǒng)根據(jù)其響應(yīng)時間的估算公式 可以確定。 對于高階系統(tǒng)往往其響應(yīng)時間很難估計，一般采用試探的方法，把t選大一些，看看響應(yīng)曲線的結(jié)果，最后再確定其合適的仿真時間。 一般來說，先不指定仿真時間，由MATLAB自己確定，然后根據(jù)結(jié)果，最后確定合適的仿真時間。 在指定仿真時間時，步長的不同會影響到輸出曲線的光滑程度，一般不易取太大。,50,clc clear close all %系統(tǒng)傳遞函數(shù)為G(s)=1/(s2+0.1s+5)(s3+2s2+3s+4) num=1; den=conv(1 0.1 5,1 2 3 4

26、); %繪制系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線 t=0:0.1:40; y=step(num,den,t); t1=0:1:40; y1=step(num,den,t1); plot(t,y,r,t1,y1),51,52,4.單位脈沖響應(yīng) 單位脈沖響應(yīng)函數(shù)impulse( ) 和dimpulse( )與單位階躍函數(shù)step( )和dstep( )的調(diào)用格式完全一致，這里就不一一列寫了。,53,5.系統(tǒng)的零輸入響應(yīng) 對于連續(xù)系統(tǒng)由初始狀態(tài)所引引起的響應(yīng)，即零輸入響應(yīng)，可由函數(shù)initial( )來求得，其調(diào)用格式為 y,x,t=initial(A,B,C,D,x0) 或 y,x,t=initial(A,B,C,

27、D,x0,t) 其中 x0為初始狀態(tài)，其余參數(shù)定義同前。,54,6. 任意輸入函數(shù)的響應(yīng) 連續(xù)系統(tǒng)對任意輸入函數(shù)的響應(yīng)可利用MATLAB的函數(shù)lsim( )求取，其調(diào)用格式為 y,x=lsim(num,den, u,t) 或 y,x=lsim(A,B,C,D,iu,u,t) 其中 u為給定輸入序列構(gòu)成的矩陣，它的每列對應(yīng)一個輸入，每行對應(yīng)一個新的時間點，其行數(shù)與時間t的長度相等。其他用法同step( )函數(shù)。,55,時域分析應(yīng)用實例,求系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)和脈沖響應(yīng)。,時域響應(yīng)分析可直接用于多入多出系統(tǒng)因此編寫MATLAB程序并不因為系統(tǒng)輸入輸出的增加而變得復(fù)雜。,56,a=-2.5 -1.22

28、 0 0;1.22 0 0 0;1 -1.14 -3.2 -2.56;. 0 0 2.56 0; b=4 1;2 0;2 0;0 0; c=0 1 0 3;0 0 0 1; d=0 -2;-2 0; %繪制閉環(huán)系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線 figure(1) step(a,b,c,d); title(step response) xlabel(time-sec) ylabel(amplitude) figure(2) impulse(a,b,c,d) title(impulse response) xlabel(time-sec) ylabel(amplitude),57,58,59,y,x,t=ste

29、p(a,b,c,d); plot(t,y),60,61,clear clc close all %輸入典型二階系統(tǒng)參數(shù)，確定系統(tǒng)傳遞函數(shù)模型 alph=input(please input alph=); wn=input(please input wn=); num=wn2; den=1 2*alph*wn wn2; %判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定 z,p,k=tf2zp(num,den); jj=find(real(p)0); n2=length(jj);,if(n20) disp(the system is unstable) disp(it is no use for getting 動態(tài)參數(shù))

30、else %調(diào)用求取二階系統(tǒng)階躍響應(yīng)動態(tài)參數(shù)的函數(shù)文件 y,x,t=step(num,den); plot(t,y) pos,tr,ts2,tp=stepchar(y,t) end grid on,62,function pos,tr,ts2,tp=stepchar(y,t) %find pos and tp %返回階躍響應(yīng)輸出y列向量的最大值mp及對應(yīng)下標值ind mp,ind=max(y); %求取時間向量的長度dimt dimt=length(t); %確定最終的穩(wěn)定值yss yss=y(dimt); pos=100*(mp-yss)/yss; tp=t(ind); % find ris

31、e time tr %確定輸出為0.1時的時刻 i=1;j=1;k=1;q=1; while y(i)0.1 i=i+1; end t1=t(i); %確定輸出為0.9時的時刻,63,while y(j)=1.02 n=1; end end,t1=t(i);i=dimt+1;n=0; while n=0 i=i-1; if y(i)t2 ts2=t1; else ts2=t2; end end,64,7.4 根軌跡法,所謂根軌跡是指，當開環(huán)系統(tǒng)的某一參數(shù)從零變化到無窮大時，閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程根在s平面上所形成的軌跡。一般地，將這一參數(shù)選作開環(huán)系統(tǒng)的增益K，而在無零極點對消時，閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的

32、根就是閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點。 根軌跡分析方法是分析和設(shè)計線性定常控制系統(tǒng)的圖解方法，使用十分簡便。利用它可以對系統(tǒng)進行各種性能分析，例exp4_18.m,65,66,（1）穩(wěn)定性 當開環(huán)增益K從零到無窮大變化時，圖中的根軌跡不會越過虛軸進入右半s平面，因此這個系統(tǒng)對所有的K值都是穩(wěn)定的。如果根軌跡越過虛軸進入右半s平面，則其交點的K值就是臨界穩(wěn)定開環(huán)增益。 （2）穩(wěn)態(tài)性能 開環(huán)系統(tǒng)在坐標原點有一個極點，因此根軌跡上的K值就是靜態(tài)速度誤差系數(shù)，如果給定系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差要求，則可由根軌跡確定閉環(huán)極點容許的范圍。 （3）動態(tài)性能 當00.5時，閉環(huán)極點為復(fù)數(shù)極點，系統(tǒng)為欠阻尼系統(tǒng)，單位階躍響應(yīng)為阻尼振蕩

33、過程，且超調(diào)量與K成正比。,67,二、根軌跡分析函數(shù),通常來說，繪制系統(tǒng)的根軌跡是很繁瑣的事情，因此在教科書中介紹的是一種按照一定規(guī)則進行繪制的概略根軌跡。在MATLAB中，專門提供了繪制根軌跡的有關(guān)函數(shù)。,pzmap：繪制線性系統(tǒng)的零極點圖 rlocus：求系統(tǒng)根軌跡。 rlocfind：計算給定一組根的根軌跡增益。 sgrid：在連續(xù)系統(tǒng)根軌跡圖和零極點圖中繪制出阻尼系數(shù)和自然頻率柵格。,68,1、零極點圖繪制 exp4_19.m,MATLAB提供了函數(shù)pzmap()來繪制系統(tǒng)的零極點圖，其用法如下：,p,z=pzmap(a,b,c,d)：返回狀態(tài)空間描述系統(tǒng)的極點矢量和零點矢量，而不在屏

34、幕上繪制出零極點圖。 p,z=pzmap(num,den)：返回傳遞函數(shù)描述系統(tǒng)的極點矢量和零點矢量，而不在屏幕上繪制出零極點圖。 pzmap(a,b,c,d)或pzmap(num,den)：不帶輸出參數(shù)項，則直接在s復(fù)平面上繪制出系統(tǒng)對應(yīng)的零極點位置，極點用表示，零點用o表示。 pzmap(p,z)：根據(jù)系統(tǒng)已知的零極點列向量或行向量直接在s復(fù)平面上繪制出對應(yīng)的零極點位置，極點用表示，零點用o表示。,69,%零極點圖的繪制 clc clear close all %已知系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述模型 a=0 3;-3 -1; b=0 1; c=1 3;d=2; p1,z1=pzmap(a,b,c,d

35、) subplot(221) pzmap(p1,z1) subplot(222) pzmap(a,b,c,d),70,%已知系統(tǒng)傳遞函數(shù)模型 num=2 25 51 10; den=11 57 78 40; p2,z2=pzmap(num,den) subplot(223) pzmap(p2,z2) subplot(224) num1=2 4; den1=88 3 1; pzmap(num1,den1),71,72,2、根軌跡圖繪制 exp4_20.m,MATLAB提供了函數(shù)rlocus()來繪制系統(tǒng)的根軌跡圖，其用法如下：,rlocus(a,b,c,d)或者rlocus(num,den)：根

36、據(jù)SISO開環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述模型和傳遞函數(shù)模型，直接在屏幕上繪制出系統(tǒng)的根軌跡圖。開環(huán)增益的值從零到無窮大變化。 rlocus(a,b,c,d,k)或rlocus(num,den,k)： 通過指定開環(huán)增益k的變化范圍來繪制系統(tǒng)的根軌跡圖。 r=rlocus(num,den,k) 或者r,k=rlocus(num,den) ：不在屏幕上直接繪出系統(tǒng)的根軌跡圖，而根據(jù)開環(huán)增益變化矢量k ，返回閉環(huán)系統(tǒng)特征方程1k*num(s)/den(s)=0的根r，它有l(wèi)ength(k)行，length(den)-1列，每行對應(yīng)某個k值時的所有閉環(huán)極點。或者同時返回k與r。 若給出傳遞函數(shù)描述系統(tǒng)的分子項n

37、um為負，則利用rlocus函數(shù)繪制的是系統(tǒng)的零度根軌跡。（正反饋系統(tǒng)或非最小相位系統(tǒng)）,73,3、rlocfind()函數(shù),MATLAB提供了函數(shù)rlocfind()來找出給定的一組根（閉環(huán)極點）對應(yīng)的根軌跡增益。其用法如下：,k,p=rlocfind(a,b,c,d)或者k,p=rlocfind(num,den) 它要求在屏幕上先已經(jīng)繪制好有關(guān)的根軌跡圖。然后，此命令將產(chǎn)生一個光標以用來選擇希望的閉環(huán)極點。命令執(zhí)行結(jié)果：k為對應(yīng)選擇點處根軌跡開環(huán)增益；p為此點處的系統(tǒng)閉環(huán)特征根。 不帶輸出參數(shù)項k,p時，同樣可以執(zhí)行，只是此時只將k的值返回到缺省變量ans中。,4、sgrid()函數(shù),sg

38、rid：在現(xiàn)存的屏幕根軌跡或零極點圖上繪制出自然振蕩頻率wn、阻尼比矢量z對應(yīng)的格線。 sgrid(new)：是先清屏，再畫格線。 sgrid(z,wn)：則繪制由用戶指定的阻尼比矢量z、自然振蕩頻率wn的格線。,74,例7-20 已知某負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 試繪制系統(tǒng)根軌跡，并分析系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范圍。 解 MATLAB的程序為 num=1; den=conv(1,0,conv(1,1,1,2); rlocus(num,den); k,p=rlocfind(num,den),75,執(zhí)行以上程序，并移動鼠標到根軌跡與虛軸的交點處單擊鼠標左鍵后可得如圖7-13所示的根軌跡和如下結(jié)果,sele

39、cted_point = 0.0000 - 1.4142i k = 6.0000 p = -3.0000 0.0000 +1.4142i 0.0000 - 1.4142i,圖7-13,76,由此可見根軌跡與虛軸交點處的增益K=6，這說明當K 6時，系統(tǒng)不穩(wěn)定；利用rlocfind( )函數(shù)也可找出根軌跡從實軸上的分離點處的增益K =0.38, 這說明當0 K 0.38時，系統(tǒng)為單調(diào)衰減穩(wěn)定，當0.38 K 6時系統(tǒng)為振蕩衰減穩(wěn)定的。,77,7.5 控制系統(tǒng)的頻域分析,頻率響應(yīng)研究系統(tǒng)的頻率行為，從頻率響應(yīng)中可得帶寬、增益、轉(zhuǎn)折頻率和閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性等系統(tǒng)特征。MATLAB的控制系統(tǒng)工具箱提供了多

40、種求取線性系統(tǒng)頻率響應(yīng)曲線的函數(shù)，如表7-5所示。,78,1. 產(chǎn)生頻率向量 頻率向量可由logspace( )函數(shù)來構(gòu)成。此函數(shù)的調(diào)用格式為 =logspace(m,n,npts) 此命令可生成一個以10為底的指數(shù)向量(10m10n )，點數(shù)由npts任意選定。,79,2.系統(tǒng)的伯德圖（Bode圖）,連續(xù)系統(tǒng)的伯德圖可利用bode( )函數(shù)來繪制，其調(diào)用格式為 mag,phase,=bode(num,den) mag,phase,=bode(num,den,) mag,phase,=bode(A,B,C,D) mag,phase,=bode(A,B,C,D,iu) mag,phase,=bo

41、de(A,B,C,D,iu,) 式中 num,den和A,B,C,D分別為系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)和狀態(tài)方程的參數(shù)，而為頻率點構(gòu)成的向量。,80,有了這些數(shù)據(jù)就可以利用下面的MATLAB命令 subplot(2,1,1);semilogx(w,20*log10(mag) subplot(2,1,2);semilogx(w,phase) 在同一個窗口上同時繪制出系統(tǒng)的Bode圖了，其中前一條命令中對幅值向量mag求取分貝(dB)值。,81,如果只想繪制出系統(tǒng)的Bode圖，而對獲得幅值和相位的具體數(shù)值并不感興趣，則可以采用如下簡單的調(diào)用格式 bode(num,den,) bode(A,B,C,D,iu,

42、） 或更簡單地 bode(num,den) bode(A,B,C,D,iu),82,例7-22 已知二階系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 繪制出取不同值時, n在0.1到10之間的頻率范圍上的Bode圖。 解 當n=6，取0.2,0.4,0.6,0.8,1.0時二階系統(tǒng)的Bode圖可直接采用bode( )函數(shù)得到。MATLAB程序為,83,wn=6;zeta=0.2:0.2:1; num=wn.2; w=logspace(-1,1); figure(1); for k=zeta den=1 2*k*wn wn.2; mag,phase,w1=bode(num,den,w); subplot(2,1,1);

43、hold on semilogx(w1,mag);grid on; subplot(2,1,2);hold on semilogx(w1,phase);grid on; end hold off,84,執(zhí)行后得如圖7-15所示Bode圖。 從圖中可以看出，當0時，相角趨于0，當時，相角趨于 -1800，當=n時，相角等于 -900，此時的幅值也最大。,圖7-15,85,wn=6;zeta=0.2:0.2:1; num=wn.2; figure(1);hold on;grid on for k=zeta den=1 2*k*wn wn.2; bode(num,den); end hold off

44、 grid,86,87,3.幅值裕量和相位裕量 在判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性時，常常需要求出系統(tǒng)的幅值裕量和相位裕量。利用MATLAB控制系統(tǒng)工具箱提供的margin( )函數(shù)可以求出系統(tǒng)的幅值裕量與相位裕量，該函數(shù)的調(diào)用格式為 Gm,Pm,Wcg,Wcp=margin(num,den) 或 Gm,Pm,Wcg,Wcp=margin(A,B,C,D) 式中 Gm和Pm分別為系統(tǒng)的幅值裕量和相位裕量，而Wcg 和Wcp分別為幅值裕量和相位裕量處相應(yīng)的頻率值。,88,例7-23 給定系統(tǒng)的開環(huán)狀態(tài)空間表達式為 求系統(tǒng)的幅值裕量和相位裕量，并畫出Bode圖。 Example7_23.m,89,a=0 1 0 0

45、;0 0 1 0;0 0 0 1;-62.5 -213.8 -204.2 -54; b=0;0;0;1; c=1562 1875 0 0; d=0; w=logspace(-1,2); Gm,Pm,Wcg,Wcp=margin(a,b,c,d) bode(a,b,c,d,1,w) grid on disp(幅值裕量=,num2str(20*log10(Gm),db,相位裕量=,num2str(Pm),90,執(zhí)行后得如下數(shù)據(jù)及圖7-16所示Bode圖。,圖7-16,91,Gm = 4.4922 Pm = 23.0705 Wcg = 12.6466 Wcp = 5.8275 幅值裕量kg=4.4922=13.0492dB，相位裕量r =23.0706度。,92,除了根據(jù)系統(tǒng)模型直接求取幅值和相位裕量之外，MATLAB的控制系統(tǒng)工具箱中還提供了由幅值和相位相應(yīng)數(shù)據(jù)來求取裕量的方法，這時函數(shù)的調(diào)用格式為 Gm,Pm,Wcg,Wcp=margin(mag,phase,) 式中 頻率響應(yīng)可以是由bode( )函數(shù)獲得的幅值和相位向量，也可以是系統(tǒng)的實測幅值與相位向量，為相應(yīng)的頻率點向量。,93,4.系統(tǒng)的奈奎斯特圖（N