概率論-2.5--隨機(jī)變量的函數(shù)的分布

1、2.5 隨機(jī)變量的函數(shù)的分布,一、隨機(jī)變量的函數(shù) 二、離散型隨機(jī)變量的函數(shù)的分布 三、連續(xù)型隨機(jī)變量的函數(shù)的分布,在許多實(shí)際問題中,常常需要研究隨機(jī)變量的函數(shù)的分布問題, 例:,測(cè)量圓軸截面的直徑d,而關(guān)心的卻是截面積：,d為隨機(jī)變量, S 就是隨機(jī)變量d的函數(shù)。,背景,設(shè)隨機(jī)變量 X 的分布已知，Y=g (X) (設(shè)g 是連續(xù)函數(shù)），如何由 X 的分布求出 Y 的分布？,一 隨機(jī)變量的函數(shù),設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量，Y是X的函數(shù)，Y=g(X), 則在一些 條件下，Y也是一個(gè)隨機(jī)變量。 當(dāng)X取值x時(shí)，Y取值為y=g(x),本節(jié)的任務(wù)：,已知隨機(jī)變量X的分布，并且已知Y=g(X),要求隨機(jī)變量Y的分布

2、(分布律或概率密度),二、離散型隨機(jī)變量的函數(shù),解： 當(dāng) X 取值 1，2，5 時(shí)， Y 取對(duì)應(yīng)值 5，7，13，,而且X取某值與Y取其對(duì)應(yīng)值是兩個(gè)同時(shí)發(fā)生的事件，兩者具有相同的概率.,故,第 一 種 情 形,注意,例.,第 二 種 情 形,例. 已知X 的分布律為,求Y=2X1，Z=X21的分布律。,解 ,故Y的分布律為,故Z 的分布律為,求Z=X21,設(shè)隨機(jī)變量 X 具有以下的概率函數(shù)，,解: Y 有可能取的值為 0，1，4.,且 Y=0 對(duì)應(yīng)于 ( X-1)2=0， 解得 X=1，,試求Y = (X-1)2 的概率函數(shù).,所以, PY=0=PX=1=0.1,例.,同理, PY=1=PX=

3、0+PX=2=0.3+ 0.4=0.7,PY=4= PX= -1= 0.2,所以，Y=(X-1)2 的概率函數(shù)為：,Y=(X-1)2,例.（續(xù)）,例.,例. （續(xù)）,. 分布函數(shù)法（一般的函數(shù)都適用）, 先求,的分布函數(shù), 再利用,的分布函數(shù)與概率密度之間,的關(guān)系求,的概率密度為,三、連續(xù)型隨機(jī)變量的函數(shù)的分布,區(qū)域找對(duì)至關(guān)重要,解 先求 Y =2X +8 的分布函數(shù),設(shè)隨機(jī)變量X 具有概率密度：,例,試求Y =2X +8 的概率密度,得 Y =2X +8 的概率密度為,利用,可以求得,連續(xù)型隨機(jī)變量的函數(shù)分布不一定是連續(xù)型。,解：隨機(jī)變量X服從-1,1的均勻分布，Y=sgnX,求Y的概率分布

4、。,例,X的概率密度為：,連續(xù)型隨機(jī)變量的函數(shù)分布不一定是連續(xù)型。,0,Y是一個(gè)離散型 隨機(jī)變量。,設(shè)隨機(jī)變量X 具有概率密度,求 Y = X 2 的概率密度.,解：(1) 先求 Y = X 2 的分布函數(shù) FY(y)：,例,故當(dāng),時(shí)，,當(dāng),時(shí)，,（2）關(guān)于y復(fù)合求導(dǎo)，,解: 由題意可知,的取值范圍為,例：,，求,的概率密度。,解: 由題意可知,的取值范圍為,絕對(duì)值符號(hào),定理：,設(shè)隨機(jī)變量 X 具有概率密度,則 Y =g(X ) 是一個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量 Y，其概率密度為,其中 h(y) 是 g(x) 的反函數(shù)， 即,. 公式法（只適用于單調(diào)函數(shù)）,定理（續(xù)）,注： 只有當(dāng)g( x)是x的嚴(yán)格單調(diào)

5、可導(dǎo)函數(shù)時(shí)，才可用以上公式；, 注意定義域的選擇。,例如 用公式法,故g(x)嚴(yán)格單調(diào)增，其反函數(shù)為,從上例中可以看到，在求P(Yy) 的過程中，關(guān)鍵的一步是設(shè)法從 g(X) y 中解出X, 從而得到與 g(X) y 等價(jià)的X 的不等式 .,用 代替 X2 y ,這樣做是為了利用已知的 X的分布，從而求出相應(yīng)的概率.,這是求r.v的函數(shù)的分布的一種常用方法.,證 X的概率密度為：,例,由定理的結(jié)論得：,法1、分布函數(shù)法,法2、定理,設(shè)隨機(jī)變量,試證明X的線性函數(shù),也服從正態(tài)分布。,，滿足定理的條件，,的反函數(shù)為：,且,特別地，取,得,即有,例 設(shè)隨機(jī)變量X在(0,1)上服從均勻分布，求Y=-2lnX的概率密度.,解：,在區(qū)間(0,1)上,函數(shù) lnx0,故 y=-2lnx0,于是 y在區(qū)間(0,1)上單調(diào)下降，有反函數(shù),由前述定理得,注意取 絕對(duì)值,注：(1)當(dāng)f ( x)在(a , b)外取值為 0 時(shí)，只要求y = g ( x ),在(a , b)上單調(diào)就可用公式。,(2)若g(x)不單調(diào)？,在每個(gè)單調(diào)區(qū)間上用公式，再相加。,先將單調(diào)區(qū)間算出，,單調(diào)增，,單調(diào)減，